1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987).djvu), страница 2

В настоящее время особенно хорошо разработаны две системы обслуягивания: система с ожиданием и система с потерями. При первой системе обслуживания вызов, поступивший на станцию и нашедший все линии занятыми, становится в очередь и ожидает, когда все поступившие ранее требования будут обслужены. При второй организации работы каждыи вызов, поступивший в момент, когда все линии заняты, получает отказ (происходит потеря требования) и все дальнейшее течение обслуя'иванна происходит так, как будто бы этот вызов вообще не поступал. Заметим, что только что описанные системы обслуживания отличаются не только техническими особенностями, но и характером возникающих при их научении аадач.

Действительно, для оценки качества обслуживания системой с ожиданием наиболее существенным является определение среднего времени ожидания начала обслуживания. Для систем с потерями время оя~идания не представляет ни технического, ни математического интереса. Здесь важна другая характеристика — вероятность отказа (потери требования). Но если во второй постановке задачи вероятность отказа дает достаточно полное представление о том, на что можно рассчитывать при данной организации и технике обслуживания, то в первой аадаче положение оказывается более сложным, Средняя длительность ожидания является важной, но не исчерпывающей характеристикой работы систем.

Весьма существенно выяснить также возможный рааброс фактических длительностей ожидания около нх среднего знаяения. Далее представляет интерес средняя длина очереди и распределение длины очереди. Важно также выяснить, насколько загружейы обслуживающие приборы. Нет нужды говорить, что ситуация, которая создается около театральной кассы (как, впрочем, и около иной кассы), когда в нее обращаются за билетами, весьма напоминает описание системы обслуживания абонентов на телефонной станции.

Если только в первоначальной постановке задачи шла речь о телефонных линиях, то теперь вопрос касается занятости кассира. Стремчение рационально обслуживать потребителей приводит к необходимости изучения закономерностей образования очередей. Знание этих закономерностей должно, в частности, помочь решению вопроса о числе касс, которые рационально установить для продажи билетов на железнодорожной станции нли в магазине.

Содержание каждой кассы вызывает некоторые расходы, но и потеря требований также наносит определенный ущерб. Возникает вопрос о разыскании некоторого оптимума. Быть может, в экономическом отношении еще важнее вопрос организа- ВВЕДЕНИЕ ции на крупных пРедпРиятиях пунктов выдачи инструмента. Если такой пункт один, то квалифицированные рабочие теряют много времени на получение необходимого им инструмента и, кроме того, простаивают станки, которые могли бы в это время работать. Если же таких пунктов много, то их работники будут слабо загружены. Само собой разумеется, что только что затронутые вопросы имеют общий интерес и воаникают при расчете пропускной способности аэропортов, подъездных путей, шлюзов, портовых причалов, больниц и пр. В тридцатые годы в связи с автоматизацией станков в промышленности наметился переход на обслунивание одним рабочим нескольких станков.

Станки в случайные моменты времени в силу тех пли иных причин выходят из строя и требуют к себе внимания рабочего. Длительность операции по приведению станка в порядок, вообще говоря, не постоянна и является случайной величиной. Спрашивается, как велика вероятность того, что в определенный момент времени (при заданном режиме работы станка и рабочего) будет ожидать обслуживания то или иное число станков.

Дальнейшие естественные и важные для практики вопросы таковьп как велико среднее время простоя станков при том или ином числе станков, порученных рабочеыуг Сколько станков при заданной организации труда экономически оправдано поручить одному рабочемуг Как рациональнее организовать обслуживание: поручить ли п станков одному рабочему или т станков г рабочимг Мы не станем сейчас продолжать перечисление дальнейших вопросов, которые возникают при глубоком анализе проблемы обслуживания нескольких станков. Известно, что в ряде отделов современного естествознания, в частностп в ядерной физике, широко используются так называемые счетчики Гейгера — Мюллера. Одна из особенностей работы этого прибора состоит в том, что частица, попавшая в счетчик, вызывает в нем рааряд. В первом приближении можно считать, что такой разряд продолжается некоторое определенное время т, в течение которого вновь попадающие в счетчик частицы уже не регистрируются счетчиком.

По этой причине счетчик показывает, как правило, не истинную картину, а несколько искаженный ход явлений, в связи с чем возникает задача построения поправок к покааанням счетчиков. На первое место при этом выдвигается подсчет вероятности потерь того или иного числа частиц при регистрации их счетчиком за опРеделенный промежуток времени 8. другая важная задача для многих конкретных вопросов состоит в том, чтобы по показаниям счетчика восстановить истинный поток частиц, поступающий в счетчик.

Для многих реальных задач научного, производственного и экономического характера естественны не только задачи, в Введение которых рассматривается обслуживание с потерями и ол~идапие без ограничения времени. В самом деле, зачастую мы отказываемся от обслуживания только из-за возможной длительной задержки с началом обслу;кивапия. Так, если.в очереди к продавцу имеется более пяти покупателей, то порой мы уходим из магазина и откладываем предполагаемую покупку. Точно так же, сделав заказ иа междугородный телефонный разговор, мы нередко ограничены временем и предупреждаем, что если разговор не будет дан до определенного момента, то наше требование должно быть снято.

Несколько иная ситуация меняет создаваться, когда ограничено не время ожидания, а время пребывания в системе обслуживания. С такой постановкой задачи приходится встречаться при продаже скоропортящихся продуктов: от ьшмента изготовлеяия до употреблепия должно пройти не более чем т единиц времени, так как иначе эти продукты теряют свои ценные качества и могут представлять угрозу для здоровья потребителя. Другой реальной иллюстрацией такой постановки вопроса является обслуживание лиц, попавших в уличную катастрофу. Для них время пребывания в системе обслуживания ограничено и притом ограничено случайной величиной т, поскольку способность лица дождаться конца обслуживания зависит от полученной травмы и от его физических качеств.

Под временем нахождения в системе обслуживания мы должны понимать все время от момента аварии до момента излечения (т. е. ожидаыие кареты скорой помощи, транспортировку, осмотр врачом, операцию и излечение) . Хорошо известно, что пе каждое потерпевшее лицо способно дождаться конца обслуживания, а иногда даже его начала. Таким образом, вполне естественна постановка следующей группы близких по характеру задач. Требования, поступающие для обслужизапия, остаются в очереди, если число ранее прибыв1пих и ожидающих обслуживания требований не превосходит заданного числа й, в противном случае требование теряется. Каждое требование остается в обслуживающей системе не более чем время т, даже если началось его обслуживание.

Возможна также и третья постановка вопроса: ограничено время он~идания величиной т, но если до истечения этого срока обслуживание началось, то опо доводится до конца, Во всех трех случаях особый интерес представляет вычисление среднего числа потерь за определенпьп| промежуток времени, среднего времени ожидания начала обслуживания или потерянного времени на ожидание. Во второп постановке задачи естественно различать средиее число потерь не совсем обслужеиных требований, обслуживание которых все-такп было начато.

В только что обрисованных, но еще недостаточно строго математически поставленных задачах мы исходили из предполо- Ввкденне жения, что обслуживающие приборы обладают абсолютной надежностью и сами никогда не выходят из рабочего состояния. Известно, что такое положение несколько идеализирует реальные системы. В результате возникает естественная и важная задача учета влияния на эффективность системы обслуживания порчи обслуживающих приборов. Изучение этой задачи началось сравнительно недавно.

Возможное разнообразие практически интересных вопросов здесь совершенно не ограничено. Для примера укажем на такую задачу: самолеты после каждого вылета проходят профилактпческий осмотр, а затем с некоторой вероятностью а направляются в ремонт или с вероятностью $ — сэ возвращаются в строй действующих. Учет выхода обслуживающих приборов из рабочего состояния для некоторых постановок задач можно включить в иную вадачу, которая получила название обслуживания с преимуществом. Эта задача состоит в следующем: в систему обслуживания поступает не один, а несколько потоков требований. Требования потоков с меньшими номерами пользуются преимущественным правом обслуживания и становятся при появлении в очередь впереди всех ранее поступивших требований с более высокими номерами породивших их потоков. Здесь приходится рассматривать две постановки вопроса: требование высокого ранга не прерывает обслуживания требований менее высоких рангов; требование высокого ранга прерывает уже проводящееся обслуживание более низкого ранга.