1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987).djvu), страница 9

Поскольку в первом интервале работает и + 1 элементов, веронтность того, что не от- кажет за время 1 ни один из них, равна Р,(1) =е '".+"1'. Во вто- ром интервале работает только п элементов. В силу свойства по- казательного распределения вероятность того, что они все прора- ботают без отказа время 1, считая от момента Г„равна е "". Наконец, в последнем интервале работает толька один элемент. Вероятность того, что после момента Г„ он проработает время 1, есть е ". Среднее время работы системы равно з+1 з-Ы Т,= М,); т»=,~, Мт,= — (1+ —, + ... + —,). 1 ( 1 г »=1 »=-1 Если п велико, то известно, что 1 ((- ... + — ж 1п (и + 1) + С, т 2 ''' А+1 где С = 0,5772157...— постоянная Эйлера.

Сравнение формул для средней длительности безотказной ра- боты системы в случае пенагруженного и нагруженного резерва дает (л+ Ф) 3. '1в (в+ В' 44 Гл. ь ЗАДАчи ткогии массоВого ОБслужиВАния Этот выигрыш растет с увеличением кратности резервирования. т, т, Так, при л = 2 имеем — ' ж 2,72, а при п = 4 имеем — ' ж 3,12. б. О существовании решений уравнений гибели и раамножения. В случае процесса чистого размножения система уравнений (1) — (2) разрешалась очень просто путем последовательного интегрирования, поскольку дифференциальные уравнения имели вид рекуррентных соотношений.

Общие уравнения процесса гибели и размножения имеют иную структуру и последовательное определение функций Р„(1) уже невозможно. В настоящее время условия существования и единственности этой системы хорошо выяснены работами Феллера 111, [21, Карлина и Макгрегора 111, 121 и Ройтера 11]. Оказалось, что равенство Х РА(1) = 1 а=о выполнено не всегда.

Для того чтобы это было так, достаточно расходимости ряда (8) Если вдобавок ряд сходится, то существуют пределы РА=1ппРЗ(1) (й= О, 1, ...). с (1О) Это условие, в частности, выполняется во всех случаях, когда, начиная с некоторого у, выполнено неравенство Как правило, это неравенство в задачах тсорпи массового обслуживания выполняется. Оно, в частности, выполнено для рассмотренной нами задачи обслуживания с ожиданием. Интуитивно эти условия ясны: они означают, что поступление в систему обслуживания не должно слишком быстро возрастать по сравнению с возрастанием быстроты обслуживания. По частному поводу в и. 4 4 1.2 об этом уже была речь.

Чтобы определить пределы (10), достаточно решить алгебраическую систему, которая получается из (1) — (2), если в них положить Р;(1) = 0 и заменить Р~(1) на Рь Эта система уравнений 5 ьз. ПРоцкссы Гпввлп и РАзмножкнпя имеет, следовательно, впд -ЛР,+рР,=О, — ().,+р,)Р,+)„Р„+р„, „„=О (й~Ц.

(11) Введем обозначение "= — ) Р+Н" Р-, (й=О 1 ...) В этих обозначениях уравнения (11) принимают вид з,=О, з,— з,,=О. Отсюда следует, что при всех й ~ О а„= О. Находим, что ь Р = 1- Р„, = П ' — ' Р еь (12) Из условия нормировки ~~л'„Рь = 1 определяем Р,: а=а .-~.фп'— -;] . (13) Р,(1) =.'У', л,ри (1). Начальные условия для системы уравнений (1) — (2), если мы имеем лишь распределения состояний системы в начальный момент, могут быть записаны в таком виде: Р,(О) = пе 1= О, 1, 2, ...

Для частного случая эти вычисления уже были проведены в 1 1.2. 7. Уравнения, обращенные в прошлое. Уже было сказано в п. 2, что обозначение Р~(1) для вероятности состояния в момент т неудачно, поскольку оно пе отражает того, в каком состоянии находилась система в момент 1=0. Было бы естественнее ввести более полное обозначение Ре(1), из которого было бы сразу видно, что вероятность перехода за время г из состояния Е, в состояние Е; равна Ре(г).

Однако ради краткости записи, пока не было опасности ошибки, мы использовали упрощенное обозначение. Если состояние в момент 1= О нам было известно, то Ре(т) представляет собой абсолютную вероятность системе в момент т находиться в состоянии Е,. Если, наконец, нам известно только распределение вероятностей т; начального состояния Ео то вероятность находиться в состоянии Е; в момент 1 равна по формуле полной вероятности ГЛ, <.

ЗАДАЧИ ТЕОРПГХ Ъ|АССОВОГО ОБСЛУХ<Ч<ВАННЯ В частности, если в начальный момент система находится в со- стоянии Е<, то (1 при у=<, Р<,(О) =1 [О при 1'~<. Уравнения (1) — (2) были получены посредством сравнения вероятностей в моменты 1 и 1+ Й.

Мы шли, так сказать, из прошлого в будущео. В ряде случаев представляет интерес иная задача: известно состояние системы в момент времени 1, спрашивается, какова вероятность, что система пришла в это состояние из состояния Е<2 Составление новой системы уравнений для нас не представит труда, если мы заменим правило составления этих уравнений: фиксируем момент г и затем сравниваем способы перехода в состояние Е; из различных состояний в моменты < = << и ~ О.

Приведем эти уравнения без вывода, поскольку вывод не вызывает затруднений, (14) Ро<(<) = Ао~ о3(<) + АоРтэ(<) при 1>1 Р<<(г)= — (Х<+ р )Р«(г) +)<<Ро«,<(г)+ р<Р«-,<(г). (15) Для сравнения выпишем уравнения (1) — (2) в новых обозначениях Р<о(<) = — АоР<о(г) + Р<Р«(г)< (1') при < >1 Р<<Я = — (Ц+ Р.,) Ри(Г) + Х; <РЕ; г(1)+ Ро<.<Р<л<+г(~) (2') Полученные уравнения представляют собой частный случай известных уравнений А. Н.

Коль<егорова, которые управляют стохастически непрерывным марковским процессом. Для примера рассмотрим простую задачу А< = Х при 1 ~ О, ц<= О; в момент 1 в системе имеется и требований. Найти вероятность того, что в момент времени.О в системе находилось то или иное число требований. Мы имеем процесс чистого раамножения, поэтому < может принять только значения О, 1, 2, ..., и. Система (14) — (15) принимает следующий вид: Р„„(г) = — ХР„„(<) при О(1~я — 1 Р; Я = — АР<„(г) + ХР< „,(г). Начальные условия задачи: Р„„(О)=1, Р<.(О)=О, < Фя. Решение дается формулами Р,(~)=е ", Р„, „(<)=Ие «, ... о ЬА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГИБЕЛИ 47 $1.4.

Использование процесса гибели и размножения в теории массового обслуживания величина Ро определяется из равенства т о=о Подстановка сюда значений Р, из (1) дает 1 1-4 Ро=(1+р+ о Р + ° + ~ р ~ где р = я./р, Таким образолс, при О ~ Й ( т — р lс! л +Об Х" ~ ''' ' т! (2) 1. Система с потерями. Имеется и обслуживающих приборов, каждый из которых доступен, когда он свободен, для каждого из поступающих в систему требований и одновременно способен обслуживать только одно требование.

Время обслунсивания случайно, и его длительность имеет показательное распределение с параметром 44. Поток требований — простейший с параметром Х. Каждое требование, поступившее в систему, начинает обслуживаться немедленно, если в ней имеется хотя бы один свободный прибор. Если же все приборы заняты, то требование теряется, получает отказ. Как мы уже говорили во введении, основной характеристикой качества обслуживания для систем с отказами является вероятность отказа (вероятность потери требований). Если под Ел понимать то состояние системы, когда в пой находится Й требований, то рассматриваемая система может находиться лишь в состояниях Е„ Е„ ..., Е . Вероятность перехода из состояния Е„ в состояние Е44, (при Й С т) за время Й равна ХЙ+ о(Ял), остаться в состоянии Е„(при Й ~ т) за тот же промежуток времени равна 1 — "АЙ вЂ” ЙЙ44+ О(Й), перейти из состояния Е, в состояние Е,, (при Й ~ О) равна Йрй+ о(Й).

Мы находимся в условиях схемы процессов гибели и размножения, для которой Ясл=)с при Й< т и 14=0 при Й ) и, 44,=0 при Й= О и Й> и, р, = Ясял при 1 ~ Яс ~ т. Легко составить дифференциальные уравнения задачи, подставпв в уравнения (1) — (2) $1.3 только что выписанные значения Ясл и 444. Стационарные решения мы получаем нз равенств (12) з 1.3, а именно: 48 Гл, с зАЛАчи теОРии мАссОВОГО ОвслужиВАния н, стало быть, 4 Ро = — рое 0.

л (4) Зта формула может быть полезна прн вычислении вероятностей Р, при больших и и не слишком больших р. Заметим, что в формулах (2) и (3) величина р может принимать любые значения > О. Формулы (2) позволяют найти среднее число загруженных приборов т а = ~йРо=р(1 — Р ). (б) о=о Для иллюстрации быстроты возрастания Вероятности потерь с увеличением загрузки (величины р) приведем небольшие табт= 2 05 ЦО од 2,0 5,О 5,0 0,0769 ~ 0,2000 0,0335 0,4000 0,5294 0,6054 лнчки.

Мы ограничиваемся случаем только т = 2 и т = 4 и выбираем при атом такие значения р, чтобы они соответствовали одинаковой интенсивности потоков, приходящихся на один прибор. Полученные формулы носят наименование формул Эрланга по имени впервые нашодшего их Эрланга. Со времени работ Эрланга было предпринято большое число попыток обобщения результата Эрланга в различных направлениях. Позднее мы докажем один общий результат, полученный Б.

А. Севастьяновым и подготов ленный многими исследователями, согласно которому (2) сохраняют для задачи с потерями свой вид при любом распределении длительности обслуживания, лишь бы его среднее значение было равно 4/р. При а = и формула (2) дает нам вероятность того, что в данный момент приборы системы заняты обслуживанием и, следовательно, каждое требование, поступившее в этот момент, получит отказ.

Итак, вероятность отказа равна —,р" (з) 0=0 Обратим внимание на то, что если в системе обслуживания имеется бесконечно много приборов, то Р,=е ' $ Е4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГПБЕЛП 49 Из табличек замечаем, что при малых загрузках большое число приборов существенно уменьшает вероятность потерь, Например, при т = 2 и 0 =0,3 вероятность потери равна 0,0335, в то время как при т = 4 и р = 0,6 вероятность потери лишь 0,0030, при 2и = 6 и р = 0,9 вероятность потери только 0,0003. Если же т= 4 О,з О,Е е,о е,о е,е 2,0 0,000! ~ 0,0060 0,0952 0,3407 0,0454 0,4696 0,5746 р = 3, Рт = 0,5294, а = 0,9412; р=6, Р =04696, а =21216; р= 9, Р =0,4405, а =3,3570.

т=2, т=4, и!= 6, 2. Системы с ограниченным числом мест ожидания. Предположим теперь, что в рассматриваемой системе массового обслуживания созданы некоторые удобства для требований, заставших все приборы занятыми обслуживанием ранее прибывших требований. Для них имеется ограниченное число мест ожидания: некоторое число кресел, в которых клиенты парикмахерской могут подождать приближения своей очереди; определепного объема бункерные устройства, в которых ожидают своей очереди обработки на станке детали, и т.

д. Пусть таких мест г. Если требование застает хотя бы один свободный прибор или хотя бы одно свободное место ожидания, то оно остается в системе, в противном случае происходит потеря требования. Остальные условия сохраняются такими же, как и в предыдущем разделе. Мы вновь находимся в условиях теории процессов гибели и Размножения. Итееем: Йе =Х при 0» Й» !и+ г, Хе=О при ~ и+ г, до = О, де = Й!А при 1» Й» т, дн = и!е при т» Й» » !и+ г, !ее = О при Й ) т+ г.