1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987).djvu), страница 10

Уравнения (12) 9 1.3 приводят к фоРмулам и Р„= — Р о (1<Й< т), (6) Р„= Р, (п~<Й~<и!+ г), и (7) .=[х,:-', .-„х,Ж~ В В, Гнеденко, П. н. Кононенко (6) загрузки велики, то положение почти выравнивается, и мы полу- чаем такие данные; 50 Гл. 1. ВАЛАчи теОРии мАссОВОГО ОвслужпВАпия Легко убедиться, что при г=О равенства (6) — (8) приводят к формулам Эрланга, а прн г = — к (12), (13), (15) 9 1.2. Вероятность является, очевидно, вероятностью потери требований. Среднее число занятых приборов в установившемся процессе обслуживания равно ю — 1 Р' 4 Ш гп-гг аее з! а~„= ~10Рд+ и ~~ Р, — ' ',„ 5=1 о=я-01 а! 5=-О Приведем небольшпе таблички, которые для случаев лт = 2, г= 1 и лт = 4, г= 1 при выбранных в предыдущем разделе значениях р дают значения вероятностей потери требоваянй.

я=2,г=1 ол 5,О в,о 0,5 о,в 1,0 1,О Ро ь 0,0188 0,0002 0,0909 0,2857 0,0033 0,4426 0.5477 т=4,г=1 о,з 6,0 1,0 1,0 В,о 0,5345 0,2447 0.4133 0,0454 0,0038 0,0004 Таолицы показывают, что даясе одно место ожидания позволяет значительно уменыпить вероятность потери требований при не очень больших загрузках. Легко подсчитать, что при наличии мест ожидания увеличивается средняя загрузка приборов. 3. Распределение времени ожидания начала обслуживания. Сохранив обозначенпя п.

6 3 1,2, можно почти без изменения повторить проведенные там рассуждения и получить следующие 9 1.1, ИСПОЧЬЭОВАНПЕ ПРОЦЕССА ГИВЕЛП формулы: ~о-О~ — 1 й-т 30+ Г 1 роР(у~ )= ~ р. ~ Ч.(г)= — =О 0 — 1 0 — 1 Б! '1 01/ 0=0 о=э 1-0 Ь=-О л е- 1>1 ~э~ ~' ~( Р )' ( Р )") ((О) Р01 где л = —. При г= вновь получается формула (22) $1.2. 4 —— т Песложные вычисления позволяют получить среднюю длительность ожидания Му= ) Р(у)С)ог= ~ ~1 — 2~ — Р) +(Р ) ~ (ц) о Заметим, что рассмотренную постановку задачи естественно обобщить в таком направлении: поступающие требования обслуживаются немедленно, если имеется хотя бы один свободный прибор.

Если в момент поступления требования все приборы заняты и, кроме того, уже имеется очередь на обслуживание, состоящая из й — т единиц, то вновь поступившее требование остается в очереди с вероятностью Ьо, зависящей от числа требований, уже находящихся в очереди. В такой постановке в ряде случаев задача ближе к реально возникающим вопросам. Действительно, каждый из нас знает по себе, что зачастую при входе в парикмахерскую или в магазин мы остаемся в очереди лишь с известной вероятностью, завксящей от величины очереди. Мы не будем останавливаться на решении возникающих здесь вопросов, поскольку принципы их решения достаточно ясны пз предыдущего изложения. 4. Обслуживание станков бригадой рабочих, В тридцатые годы, когда наметился массовый переход на автоматические станки и связанный с этим процесс увеличения числа станков, поручаемых одному рабочему, появился ряд интересных задач теории массового обслуживания.

Эти задачи в различных условиях служат и теперь поводом серьезных исследований. Здесь мы рассмотРим решение одной из них в предпосылках, предложенных шведским исследователем Пальмом Щ Вригада из г рабочих обслуживает и однотипных станков или нных механизмов (г -6 и) . Каждый из этих станков в случайные и~менты времени может потребовать к себе внимания рабочего. ткацком деле, например, существуют особые бригады наладчи- 4» 52 Гл. !. 3АдАчи твогш1 мАссОВОГО ОвслужнвАнпя ков, которые по мере надобности обслуживают пору*генные им станки. Предположим, что каждый рабочий может обслуживать в каждый данный момент не более чем один станок и каждый станок обслуживается только одним каким-либо рабочим. Станки выходят из рабочего состояния независимо один от другого.

Вероятность того, что станок, работавший в момент 1, потребует к себе внимания до момента 1+ й, равна Ай+о(й). Вероятность того, что станок, работоспособность которого восстанавливается в момент г, будет восстановлен к моменту 1 + й, равна Уй + о(й).

Параметры Х и у не зависят ни от 1,ни от п, ни от числа восстанавливаемых станков. Обозначим через Е, событие, состоящее в том, что в момент 1 неисправны й станков. Очевидно, что рассматриваемая система может находиться только в состояниях Е„Е„Е„..., Е . Легко понять, что мы имеем дело с процессом гибели и размножения, для которого ХА=(п — й)А при О~ й си, А„=О; 11, =О, рз = йУ при 1(й(г; р,=гг при г~й~п.

Формулы (12) и (13) $ 1.3 приводят к равенствам: при 1 ~ й < г (12) при г~й<и (13) В частности, при г= 1 для 1 ( й ( л (15) (16) 5. Числовой пример. После того как получены общие формулы, мол!Ио решать многие частные задачи, естественно возникающие при организации производства. Рассмотрим один из такого рода примеров. Обслуживание восьми станков поручено двум рабочим. Как рациональнее организовать работу: поручить ли зсе станки обоим рабочим с тем, чтобы по мере надобности к остановившемуся станку подходил один из свободных рабочих, илн же каждому из рабочих поручить по четыре определенных станка7 Вычисления 9 тм.

ИСПОЛЬЗОВАННЕ ПРОЦЕССА ГНБЕЛН проведем в предположении, что 0 = 0,2. Результаты расчетов собраны в таблички, п=з, г=2, 0=02 инала неааботаю щит отведав Число неработа~ощих отанков Чволо овабодных рабочих Чноло овобадны х ргбочих Средное число простаивающих в каждый момент станков нз-за того, что рабочие запяты другими станками, равно ~~~ з(7г — 2) Рд = 0,3045. а=в Иными словами, в течение рабочего дня все станки непроизводительно простаивают (в ожидании начала обслуживания) меньше одной трети рабочего дня. В среднем за рабочий день все вместе взятые станки простаивают из-за восстановления и ожидания начала восстановления ~~ йРд = 1,6875. д=х Мы видим, что на прямые простои затрачивается сравнительно небольшая доля времени. и=4, г=1, р=02 число неработакядих атавков Чиода нерабо.

тающих отвык он Чилло свободных рабочих Чио. овоболкых рабочих 0,1914 0,3189 0,3984 0,0760 0,01 53 Среднее свободное время рабочих равно 2 0,2048+ 0,3277 =0,7373. Иными словами, каждый рабочий свободен 0,3686 рабочего дня От обслухсивапия станков. 0 1 2 3 4 триада станков, ожт1даю-' щих обалуи<и- ваиия Число отаниав, ожт1да~ощйх обслужи- вания 0,2048 0,3277 0,2294 0,1417 0,0687 Число отавков, ожидающих оболужи- вания Чиоло станков, ожидаю-' Ктвт обслужи- вания 0,0275 О,ОО8З 0,0017 О',ООО2 54 ГЛ.

Ь ЗАДАЧИ ТЕОРШ! МАССОВОГО ОВСЛУ1КИВАНИЯ Средние потери рабочего времени каждымп четырьмя станказш на непроизводительные простои (пз-за ожидания начала обслуживания) равны 1 0,1914+ 2 0,0760+ 3 0,0153=0,3893. Вся группа из восьми станков потеряет 0,7786 рабочего дня одного станка, т.

е. потери рабочего времени из-за ожидания возрастут более чем в два с половиной раза. Общее потерянное время на восстановление и на ожидание каждой группой из четырех станков равно в среднем 1 0,3189+ 2 0,1989+3 0,0760+ 4 0,0153 =0,9909. Все восемь станков теряют, таким образом, 1,9818 рабочего дня одного станка. Рабочий в среднем свободен 0,3984 рабочего дня.

Таким образом, хотя при этом методе организации работы станки простаивают больше, рабочий занят меньше. Мы не занимаемся здесь другими интересными вопросами: каково экономически оправданное число станков, которое следует поручать рабочему; как организовать восстановление станков— в порядке очередности потери работоспособности или же в порядке близости остановившегося станка к ремонтному рабочему и др.? 6. Дублирование с восстановлением (ненагруженный резерв). Используем теперь процессы гибели и размножения для рассмотрения важной задачи теории надежности, которая была рассмотрена в работе Б.

Эпштейна и Т. Хосфорда [1). Некоторое устройство в процессе работы может выходить из рабочего состояния. Для того чтобы поддерживать рабочий режим непрерывно, имеется тождественное дублирующее устройство, которое немедленно включается в работу, как только основное устройство отказывает. Отказавшее устройство сразу же начинают восстанавливать.

После восстановления оно полностью восстанавливает свои свойства. В резервном состоянии устройство не портится. Длительность безотказной работы устройства подчинена распределению Р(х)= = 1 — е '*. Длительность восстановления случайна и имеет распределение б(х)=1 — е '*. Спрашивается, как распределено время безотказной работы дублированной системы, если отказ системы наступает тогда, когда оба устройства находятся в нерабочем состоянии7 Мы можем указать три состояния системы: Е„ Е,и Е2 — в системе имеются О, 1 и 2 отказавших устройства. Вероятности переходов из одного состояния в другое за промежуток времени Ь таковы: Р(Е,Я- Е,(1+ Ь)) =Ей+о(й), Р(Е,(1)- Е,(1+ Ь)) =уй+о(й), Р(Е,(1)- Е,(1+ Ь)) =Ьй+ о(й), Р(Е,(1)-~.