1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987).djvu), страница 12

Эта вероятность равна з Х'' (А11) -Х 1 (~21) 4 (Ь вЂ” з)1 э=о Согласно формуле бинома Ньютона эта сумма равна (('ч + ~з) ') -(х„-ь~,,)1 Ь1 Требуемое доказано. Обозначим через ре(1) вероятность того, что в момент ~ заняты обслуживанием требований первого типа г приборов н второго типа 1 приборов. Если учесть, что число занятых приборов не может превзойти общего числа приборов, то всегда должнгт быть выполнены неравенства О ~1+у ( т. Положим, далее, Р1, (1) = ~ РП (1) и Р 1(Г) = ~', РП (1).

Очевидно, что р,.(~) и р.1(~) означают вероятности того, что в момент 1 обслуживаются 1 требований первого типа, соответственно 1 требований второго типа. Мы уже говорили, что р,(1) означает вероятность потери требования первого типа, которое прибыло в момент й Сумма Х Рп(г) И-1=-т представляет собой вероятность потери требования второго рода, поступившего в момент й Вероятность потери обслуживаемого требования второго рода, если в момент 1 поступило требование первого рода, равна, как легко видеть, разности Х Рп (~) — Р - (~) 1+1 =тй 3.

УРавнениЯ длЯ опРеделениЯ Рв(Г). Мы не бУдем останавливаться на выводе уравнений для определения вероятностей рц(1), поскольку это не добавит ничего к тому, что нам уже известно нз теории процессов гибели и размножения. Ограничимся приведением их в готовом виде: Роз(г) = (Ат+ )"з) Роз(г) + )А1Р1о(г) + )Азро1(г)~ ('1) о !Л. ПРИОРИТЕТНОЕ ОВСЧУЖПВАНПЕ при 1<1'(ьч ) !Р -уо(!) + + (1 + 1) р~Р!т (у) + Рто(1) = ЛУР!Рто(1) + Лу(рт-!о(1) + Рт-у,!(!))! (3) при 1<1(ло Роу(1) = (Л! + Ло + Л!о) Ро! (!) + ЛоРо,у-! (1) + + РуРу(1)+ 11,(1+1)Ро,,о!(Г), (4) Рот (!) = (Л1+ у!ура) Рот (!) + ЛоРо,т-! (!)! (О) при !~1, 1>1, 1+1< т Р!1(1) = — (Л, + Ло+ 1(о! + 7ро) РО (Г) + Л„Р;,; (!) + + Лоро;,(!) + (1+ 1) РчР!у.у,у(!) + Р,Р;,;+1 (!); (6) при!)О, у)0, !+у =т, 1Фт, 1Фт РОС(1) = (Л + 19 + И!о) РП (!) + Л (Р! — Л (!) + + Р! —,у+ (Г)1+ ЛоР1-1, (!) (7) Б результате суммирования уравнений (1), (4) и (7) по всем значениям у от О до уп, многочисленных сокращений и перехода к обозначениям, введенным в и.

2, получаем уравнение Ро (1) = Л1Ро (1) + РТР! (!). (8). Суммирование уравнений (2), (6) и (7) по у от 0 до т — 1, сокращение одинаковых членов и переход к обозначениям р„(!) приводят при 1(1< т к уравненням Р;. (Г) = — (Л, + 1)о,) р! (1) + Л,Р1, (!) + (1+1)р,Р!+, (!). (9) Уравнение (3), очевидно, может быть записано в форме Р .

(1) = — ш!1,Р . (!) + Л,Р -'(!). (10) Полученные уравнения (8) — (10) лишь обозначениями отличауотся от дифференциальных уравнений процесса гибели и размножения для обычной задачи с потерями при наличии только преимущественного потока требований. Суммирование уравнений (1), (2) и (3) по 1 приводит к равенству Р о (1) = Ло(Р.о (1) — Рто (1)) + Л!Рт-!л (1) + )оор ! (1) Суммирование (4), (6) и (7) по 1 для 1<1< !в дает Р '(') = — (Л.

+ П ) (Р. (!) — Р -уту (!)) + Ло (Р у-у (!)— Р~-!. !л-! (1)) + О + 1) рор уог(!) лгоР~ — учу(1) — Л11у -Лу(!) + Л1Р -1-1,!у- Я. 62 ГЛ. !. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Уравнению (5) можно придать такой вид: Р. (1) = — (Л, + тР,2)Р, (1) + Л,[Р. (1) — Р, 1(1)). Роо (2) = (л1+ ло) Роо (2) + )21Р12(1) + 122Р21(1)> Р12(2) = )21Р12(1) + л1(Роо(1) + Р21(1)) Роо(2) = (л1+ 222) Рог(2) + лороо(2). Решение этой системы уравнений не представляет трудностей, поэтому мы ограничимся приведением окончательных результатов,предполагая при этом,что Р,.(О)=1, Р„(О)=О, Р.,(О)=О. Имеем Л1 1„(~) = ' (1- ('+"" )'), 1+ "1 А В л л '1 2 с-(1,+ой~ (л, + ~,) (,+ в.—.1)' Л1 2 1, Л е-('1+'2+Род л, (но — в1) (1,+„,) л, + л,)(л, + в, — в,) ' + + ° -(,+,+ й л ~2 2+~2 ~ 1 е Р21 (1) (Л, '+ Р,) (А1+ Ло+ Ро) (,, ',— ° .—, л,л (л, + в,) (л, + ло+ ио) (л, (~) ~1( 1 ' 12) Р1+ Р1)(л1+ л + во) ( ( а1 ( Отсюда Л1 Р1.

(1) = Р12(2) = „(1 — е (' й ); Выписанные уравнения показывают, что для второго потока положение резко отлично от положения первого потока: на состояние требований второго потока решающее влияние оказывает первый поток. Зто заключение было нам ясно и интуитивно. 4. Рассмотрение частного случая. Изучим теперь. более подробно случай л2=1. Здесь вычисления могут быть доведены без всяких затруднений до конца. Система уравнений (1) — (7) сводится к следующим трем: 5 1.5. пРНОРнтетное Овсчужнвьние Л, (Л1 +'Ло+ Во)+ И1 (Л1+ "') Р.о( ) (Ллт )21) (Лл+ Ло+ )22) Л Л 1 2 -(112-Вл)1+ (Л +)л )(Л +)л,— И ) Л,-)-в,)Л,+Л,+в, Л,+в,— в,,) ' Л в Р1(') = Ро'( ) (Л, + в,) (Л, + Л, + в,) + + ч 2 -(11-52,)1 ЛЛ (Л1+ )21) (Л2+ 2 Р1) ! Иа выписанных формул видно, что релпения при увеличении 1 до бесконечности очень быстро прнближаклтся к предельным значениям Роо = )21 (Лл ' )12)1((Л1 + )11) (Лл + Ло + Р'1)) Рол = Р.

= Лорл!((Лл + )21) (Лл+ Ло + ро)), Р10 = Р1. = Л14Л1+ р1) Ро. = )211(Л1 + Рл)~ л (л +) +во)+и (л +и) Р.о (Л, + Н,) (Лл —,- Ло+ )12) 11усть в данный момент обслуживается требование второго типа. Чему равна вероятность того, что оно будет обслужено до конца? Это случится тогда и только тогда, когда на обслуживание потребуется меньше времени, чем до момента поступления требования первого типа. Если на обслуживание необходимо времн х, то обслуживание будет благополучно доведено до конца, если в течение срока х не появится ни одного требования первого типа.

Вероятность етого равна )лое ~2"с 11"2(х; по формуле полной вероятности искомая вероятность равна )лое ( ' ~2) 1лх = = Л, + Р, о ранил! обравом, вероятность того, что требование второго типа, принятое на обслуживание, не будет обслужсно до конца, равна 1 Л,+„ 64 ГЛ. !, ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО бвссСУЖИВАНПЯ 5. Учет возможности отказа обслуживающих приборов.

Задачи, описанные в настоящем параграфе, могут быть интерпретированы несколько иначе. Для большого числа практически важных вопросов приходится учитывать возможность отказа самих обслуживающих приборов. На телефонной станции может выйти из строя линия, и для восстановления нормального обслуживания необходимо затратить время на ее ремонт. Погрузочные средства в порту могут нуждаться в восстановлении, и для того чтобы они приняли участие в разгрузке судна, необходимо затратить некоторое время, вообще говоря, зависящее от случая. В сложных радиотехнических устройствах из-за отказа того или иного злемента может наступить отказ всего устройства, в результате чего приходится прекратить обслуживание поступающих требований до обнаружения неисправности и до ее ликвидации. Важность рассмотрения задач теории массового обслуживания с учетом возможности выхода обслуживающих приборов из рабочего состояния, в результате чего сам обслуживающий прибор начинает требовать обслуживания, очевидна.

Имеется большое число постановок вопросов, в которых необходимо учитывать возможность выхода обслуживающего прибора из рабочего состояния. Различие происходит из-за того, что в одних случаях требования остаготся ожидать окончания восстановления, как бы долго ни продолжалось ожидание. В других случаях требование теряется мгновенно, как только обслуживающий прибор потерял способность работать. В третьих — время пребывания в системе обслуживания не превосходит некоторого времени т. Различие может происходить и по иным причинам.

Так, например, обслуживающий прибор выходит из рабочего состояния только во время работы, в других — одинаково возмонсен его выход из строя как во время работы, так и во время ожидания требования. Возмоскны также случаи, когда вероятность выхода из строя В период рабочего состояния больше, чем в период ожидания работьс. Заметим, что требование, которое обслуживалось на испортившемся приборе, может теряться независимо от того, имеются или не имеются в системе свободные приборы. Но может быть и иная система, когда требование с испортившегося прибора переходит на любой из свободных приборов„Здесь нет нужды говорить о других ситуациях. Задача, которая была изучена в настоящем параграфе, может быть интерпретирована как задача учета поломок обслуживающих устройств.

Действительно, достаточно рассматривать поток поломок как поток первого типа. В атом случае каждому ясно, что поток поломок имеет приоритет. Поломка нетерпелива и не доясидается конца проводящегося обслуживания. Мы вдобавок считали, что во время ремонта новых поломок в ремонтируемом приборе не возникает (требование первого типа теряется, если прибор занят обслуживанием требования первого типа).

Рассмотренный нами выход приборов из ра- % 1.6. пгпнципы постРОения мАРкОВских модвлеи 65 бочего состояния одинаково возможен как в период работы, так и з период бездействия. Позднее мы вновь вернемся к этим задачам, но в более общих предположениях.