Матвеев А.Н. Квантовая механика (Матвеев А.Н. Квантовая механика.djvu), страница 5

Поскольку скорость волнового пакета равняется скорости частицы, возникает идея представить частицу как волновой пакет. Эта идея кажется особенно привлекательной потому, что с помощью ее представляется возможным объединить в одном образе волну и частицу, т. е. считать частицу волновым пакетом. Несостоятельность гипотезы волновых пакетов.

Однако эта идея оказалась неправильной. Главный аргумент против нее состоит в следующем. Частица является стабильным образованием. В процессе своего движения частица как таковая не изменяется. Очевидно, такими же свойствами должен обладать н волновой пакет, который призван представлять частицу. Поэтому надо потребовать, чтобы с течением времени волновой пакет сохранял свою форму или, по меньшей мере, сохранял свою ширину.

Однако именно этим необходимым свойством волновой пакет не обладает: с течением 21 времени он расплывается, так как фазовая скорость различных монохроматических волн, составляющих волновой пакет, различна. Поэтому представление частицы в виде волнового пакета оказывается несостоятельным.

й 6. Теоретическое рассмотрение дифракции волн де-Бройля иа кристаллических структурах Длина волн де-Бройля материальных частиц очень мала. Первоначально покоящаяся частица с зарядом е и массой т0 в результате прохождения разности потенциалов У приобретает скорость о, котору|о можно определить из закона сохранения энергии, имеющего в случае нерелятивистских скоростей и « с следующий вид: способ — — = е~l. 2 Отсюда следует, что Принимая во внимание уравнение (5.2), получаем для длины волны де-Бройля Л следующее выражение: Л 2а т'2 ,и ' Подставив в эту формулу численные значения постоянных, находим у'и где У задано в вольтах.

Отсюда видно, что если С/ имеет порядок нескольких вольт, то длина волны де-Бройля будег порядка нескольких ангстрем. Поэтому для наблюдения явлений дифракции и интерференции электронных волн необходимо пользоваться методами, известными в теории дифракции и интерференции рентгеновых лучей, т. е. необходимо использовать дифракцию электронных волн на кристаллической решетке. Существует несколько методов наблюдения дифракции волн на кристаллической решетке.

Теория всех этих методов основывается на формуле Вульфа — Брэггов. Формула Вульфа — Брэггов. Кристалл представляет совокупность атомов, групп атомов или ионов, закономерно и упорядоченно расположенных в узлах пространственной решетки. При падении волны на кристаллическую решетку узлы решетки становятся источниками излучения вторичных волн. Согласно принципу Гюйгенса, для того чтобы найти движение волнового фронта, необходимо каждую точку фронта волны рассматривать как источник излучения элементарной сферической волны.

Суперпозиция элементарных вторичных волн через бесконечно малый промежуток времени дает новое положение волнового фронта. С этой точки зрения процесс отражения волны от плоской отражающей поверхности сводится к тому, что каждая точка поверхности становится источником вторичных волн. Если вместо сплошной отражающей поверхности имеется совокупность достаточно плотно расположенных иа этой поверхности точечных источников вторичных волн, то в картине отражения ничего не изменится. Поэтому, если через некоторую совокупность узлов пространственной решетки провести плоскость, эта плоскость будет отражать падающую волну так, что угол падения будет равен углу отражения.

Через узлы пространственной решетки можно провести много плоскостей и каждая из них будет отражать волну в соответствующем направлении. Интенсивность отраженной волны, очевино, тем больше, чем более плотно расположены узлы кристаллической решетки на соответствующей отражающей плоскости. Отражение падающих волн различными плоскостями, проведенными через узлы кристаллической решетки, показано схематически на рис. 11. Рассмотрим отражение от некоторой плоскости.

Волна отражается от этой плоскости в таком направлении, что угол отражения равен углу падения, причем это условие не зависит от длины волны: волны всевозможных длин отражаются одинаково. Однако в действительности в данном направлении отражение происходит не только от данной рассматриваемой плоскости, но и от всех других плоскостей, параллельных данной. В результате этого в данном направлении будет распространяться совокупность волн, когерентных между собой, поскольку они являются вторичными волнами от одной и той же первичной волны. Следовательно, эти волны должны интерферировать между собой.

Результат интерференции волн зависит от разности их фаз, которая определяется разностью хода. На рис. 11 изображены два луча, отраженные от двух плоскостей. Как непосредственно видно на рис. 11, разность хода этих лучей равна 2 дз(п О, где Π— угол скольжения лучей, д — расстояние между отражающими плоскостями. Для того чтобы волны усилили друг друга, необходимо, чтобы разность хода равнялась целому числу л длин волн Л.

Поэтому условие отражения может быть записано в виде 2йз)пО=-пЛ, (и= — 1, 2, 3, ...) (ОЛ) Формула (6.!) называется формулой Вульфа — Брэггов по имени установивших ее Ю. Г. Вульфа и У. Г. Брэгга и У. Л. Брэгга (отец и сын). Фактически отражение происходит одновременно не от двух параллельных поверхностей, а от всех параллельных поверхностей. Эти отражения высшего порядка не изменяют условия отражения (6.!), а лишь делают интерференционную картину более резко выраженной. Из формулы (6.!) следует, что от данной системы параллельных поверхностей, проведенных через углы кристаллической решетки, возможно лишь отражение волн вполне определенной длины, которые удовлетворяют условию (6.1).

Для нахождения этих длин волн надо решить уравнение (6.1), в котором й и 9 — постоянные величины. Если падающая волна монохроматичная, то ее отражение от данной системы поверхностей произойдет лишь в том случае, если ее длина удовлетворяет условию (6.1). В противном случае никакого отражения не произойдет. Если на кристалл падает совокупность волн со всевозможными длинами, то от данной системы поверхностей отразятся лишь волны с длиной волны, удовлетворяющей условию (6.1).

Таким образом, от каждой системы параллельных поверхностей, проведенных через узлы пространственной решетки кристалла, для определенной длины волны в определенном направлении получается интерференционный максимум. Наблюдение этих интерференционных максимумов позволяет сделать заключение о длине волны, если пространственная структура кристаллов известна, и, наоборот, если известна длина волны, то можно сделать заключение о структуре кристалла.

В случае дифракции электронных волн всегда можно воспользоваться кристаллами с известной структурой, изученной, например, с помощью рентгеновых лучей. При выводе формулы Вульфа — Брэггов (6.!) не учитывалось преломление волн при входе и выходе из кристалла. Благодаря наличию преломления волн условие (6.1) для максимума интерференции несколько изменяется. Методы наблюдения дифракции волн на кристаллах. Известны три способа наблюдения дифракции волн на кристаллах.

1. С п о с о б Л а у э. Монокристалл облучается пучком лучей с непрерывным спектром. Каждая из систем параллельных поверх- 24 носгей, проведенных через узлы монокристалла, отражает в соответствующем направлении определенную длину волны. Интенсивность отраженного луча будет заметна лишь в том случае, когда атомы в соответствующей плоскости расположены достаточно густо. Поэтому практически будут наблюдаться отражения от небольшого числа поверхностей.

Если на пути отраженных от различных поверхностей лучей поставить фотопластинку, то на ней получится система пятен — лауэграмма (рис. 12). Зная геомегрию опыта, можно установить соотношение между лауэграммой, структурой кристалла и длинами волн. 2. Способ Брэгга. В этом случае кристалл облучается пучком монохроматических лучей. Исследуется отражение от определенной системы параллельных поверхностей при Рис. И вращении кристалла (рис.

!3). В соответствии с формулой (6.1) отражение должно наблюдаться лишь при определенных углах падения, которые удается наблюдать. По формуле (6.1) можно рассчитать величину д для соответствующей системы параллельных поверхностей. Вместо вращения кристалла при практическом осуществлении опыта часто бываег удобнее изменять направление падающих лу- Рис.

гз чей, оставляя кристалл неподвижным (рис. 14). В принципиальном отношении это ничего нового в сравнении с вращением кристалла не содержит. 3. Способ Деба я — Шерер а. Монокристаллы больших размеров получить обычно трудно. Гораздо проще получить порошок, который состоит из маленьких монокристаллов, ориентированных беспорядочно. Способ Дебая — Шерера использует днфракцию волн на этих поликристаллах. 25 Если данный поликристаллический порошок облучать лучами определенной длины, то среди кристалликов всегда найдутся такие, ориентация которых относительно падающего пучка удовлетворяет условию Вульфа — Брэггов (6.1).

Если в направлении падающего луча установить фотопластинку, то ввиду аксиальной симметрии отраженных лучей на пластинке отраженные лучи оставят след в виде кольца. Поскольку отражение одновременно происходит от разных систем поверхностей и имеются отражения различных порядков, на фотопластинке наблюдается система колец. Все три способа наблюдения Рис.

И дифракции волн на кристалличе- ских структурах были успешно использованы для изучения дифракции рентгеновых лучей. После того как де-Бройль выдвинул гипотезу о наличии волновых свойств у материальных частиц, встал вопрос об экспериментальной проверке этой гипотезы путем наблюдения дифракции материальных частиц. Вскоре такие опыты были осуществлены. Эти опыты блестяще подтвердили формулы де-Бройль. й 7. Опыты Дэвидсона и Джермера В 1927 г. Дэвидсон и Джермер наблюдали дифракцию электронных волн по способу Брэггов.

При этом они использовали два метода. Первый метод состоит в том, что на монокристалл направляются электронные волны определенной длины, т. е., иначе говоря, направляется пучок электронов определенной энергии. Затем изменением угла падения пучка электронов на кристалл находят углы, при которых происходит отражение. Зная углы и структуру кристалла, можно определить длину волны по формуле (6.1). Скорость и энергия пучка электронов, падающего на кристалл, известны. Следовательно, можно проверить справедливость формулы де-Бройля (5.2).