Матвеев А.Н. Квантовая механика (Матвеев А.Н. Квантовая механика.djvu), страница 8

Естествеыно считать, что число этих носителей дд' дается распределением Больцмана: Д1(1 Д( (т где Жо — полное число носителей энергии. Отсюда для средней энергии колебаний с частотой (о находим ~(о) (е) .= е ((о) -- = е ((о) е Следовательно, о(о! 9,„(Т) =, е((о) е (11.9) Вин, исходя из общих термодинамических с(юбражений, показал, что е ((о) в этой формуле должно быть пропорционально частоте, т.

е. е ((о) — й(о, где й есть коэффициент пропорциональности. Таким образом, окончательно формула (11.9) принимает следующий вид; хо Е (Т)= ~,— е "'. (1 1. 10) Это есть известная формула излучения Вина. Как показало изучение спектра излучения абсолютно черного тела, закон Вина выполняется довольно хорошо лишь для достаточно больших частот излучения, т. е. для достаточно малых длин волн. При переходе к меньшим частотам между экспериментом и формулой (11.10) наблюдаются очень большие расхождения. Таким образом, формулы Рэлея — Джинса и Вина описывают лишь концы спектра излучения абсолютно черного тела со стороны малых и со стороны больших частот. Они абсолютно не в состоянии описать среднюю часть спектра.

Формула Лланка. Планк в 1900 г. предположил, что формулы Рэлея — Джинса и Вина являются предельными случаями точной формулы, которую он попытался установить как интерполяционную формулу. Он предложил формулу следующего вида: е (т)=- „",", (11.11) ахт ! где Ь = 1,05 х 1О " дж/сек — постоянная Планка. В случае Ьы < ИТ имеем Йм — Лм ехт Мт ' н формула (11.!1) переходит в формулу Рэлея — Джинса (11.8). В случае Ьы » йТ имеем ья ыо рт 1,ьт и формула (1! .! 1) переходит в формулу Вина (11.10).

Таким образом, формула Планка (11.1!) действительно переходит в формулы Рэлея — Джинса и Вина в предельных случаях, в которых эти формулы правильно описывают спектр излучения абсолютно черного тела. Сравнение формулы Планка с экспериментом дало блестящее подтверждение этой формулы по всему спектру для всевозможных частот.

Она правильно объяснила законы излучения абсолютно черного тела. На основании (11.11) для полной плотности энергии излучения получаем Учитывая, что О> ~з,в па о ет 1 !а ' находим У = аТ', а = — —,— о = 7,56 10ом дж. м 'град ', (! 1. 12) выражающую закон Стефана — Больцмана. Постоянная а называется постоянной Стефана — Больцмана. Ее численное значение, полученное нз теории, хорошо подтверждается результатами измерений в спектре излучения абсолютно черного тела.

формула (11.11) правильно объясняет закон смещения Вина. Переходя от частот к длинам волн Л= —, получаем О СО ОЪ ~ О» с(со — ~ Ло — Ь с(Л= ~ Ох с(Л. о о о Следовательно, можно написать 2лс !6леас йх = Ло- рш = Ло злое отх Максимум энергии излучения находится из условия (дух/дЛ) = О, которое для определения Л „ дает следующее трансцендентное уравнение: хе" 2ллс — „— =5, х= —.-- е" — ! ' Й'ГЛщ„„ Решение этого трансцендентного уравнения дает х = 4,96. Поэтому получаем Л„о„Т= = 0,0029 м.град. (! 1.13) Это есть закон смещения Вина, который показывает, что с увеличением температуры максимум интенсивности излучения смещается в сторону более коротких длин волн.

Противоречие формулы Планка закономерностям классической физики. Таким образом, формула Планка (11.! 1) хорошо описывает спектр излучения абсолютно черного тела и удовлетворительно объясняет все основные закономерности излучения абсолютно черного тела.

Однако она не может быть получена на основании классических представлений. Чтобы вывести эту формулу теоретически, необходимо воспользоваться некоторыми новыми представлениями, которые чужды представлениям классической физики. Электромагнитные волны излучаются материальными телами. Простейшим излучателем электромагнитных волн в классической электродинамике является осциллятор, колеблющийся с соответствующей частотой.

Поэтому с точки зрения взаимодействия излучения с материальными телами мы можем представить материаль- 37 ные тела как совокупность осцилляторов. Электромагнитные волны поглощаются и излучаются осцилляторами. В состоянии равновесия количество поглощаемой в единицу времени энергии равно количеству испускаемой энергии. В формуле (11.7) величина <е) есть средняя энергии излучения, приходящаяся на частоту еа. Однако это излучение находится в равновесии с осцилляторами, которые излучают данную частоту. Естественно предположить, что в состоянии равновесия средняя энергия (е'=, приходящаяся на частоту еа, равна средней энергии осцилляторов, излучающих и поглощающих данную частоту. Если бы этого равенства не было, то энергия должна была бы перетекать от поля к осцилляторам или наоборот.

Следовательно, под величиной (е) мы можем понимать среднюю энергию осцилляторов, излучающих частоту еа. Распределение числа осцилляторов по энергиям должно подчиняться распределению Больцмана. Следовательно, число осцилляторов Ж (е), имеющих энергию е, равно е И(е) .Ае ет Ас — е» 1 а —— 'ИТ ес а В классической физике осцилляторы могут иметь всевозможные энергии. Следовательно, е в последней формуле непрерывна.

Средняя энергия осцилляторов в этом случае равна е етд (.) = ' = — --1п ~ е-ае(е Я. д е да А ( 1'где о о Подставляя полученное значение (е) в формулу (1!.7), мы получим формулу (11.8), т. е. закон Рэлея — Джинса. Таким образом, на основании классических представлений„примененных к излучателям, также не удается получить правильной формулы для излучения абсолютно черного тела. Введение представления о квантовании энергии. Планк предположил, что энергия осциллятора может принимать не любые, наперед заданные значения, а лишь дискретный ряд значений, пропорциональных некоторой минимальной энергии е,: е„.—.-пе„п=.-О, 1„2,... В этом случае для вычисления средней энергии осциллятора следует пользоваться формулой „, еп е„е ет (е> = = = — —.

1п У, е — е'ж == —— е=0 д ез е~ е ее да е' еае( Х ет е а=в Подстановка этого значения для в формулу (1!.7) дает щэ е Ю= — „.:,, средней энергии осциллятора 6~ м ! хт где величина е, остается пока неизвестной. Для того чтобы эта формула совпала с интерполяционной формулой, правильно описывающей спектр излучения абсолютно черного тела, необходимо положить й 12. Теория теплоемкостей Теплоемкость одноатомных газов. В классической статистической механике есть теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы, согласно которой на каждую степень свободы статистической системы приходится в среднем энергия л77 2, где Т вЂ” температура системы.

В случае одноатомного газа каждый атом обладает тремя трансляционными степенями свободы, и, следовательно, средняя энергия, приходящаяся на один атом одноатомного газа, равна 3 ЬТ12. Если У есть число атомов в одном грамм-атоме, то энергия одного грамм-атома равна К вЂ” — 'лТЫ вЂ” ЯТ, где )т = й)У есть газовая постоянная. Отсюда для теплоемкости при постоянном объеме получаем следующее выражение: ~мг~ з з Численное значение — Я равно трем калориям на грамм-атом. 2 Закон Дюлонга и Пти. В случае твердого тела атом колеблется около положения равновесия, удерживаемый упругими силами. Его колебания имеют также три степени свободы.

По теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, на каждую степень свободы колебаний атома должна приходиться 39 где постоянная й == 1,05 !б м дж.сек — постоянная Планка. Таким образом, чтобы получить формулу (11.11), правильно описывающую спектр излучения абсолютно черного тела, пришлось допустить, что энергия осцилляторов не может изменяться непрерывно, а может принимать лишь некоторый дискретный ряд значений. Это представление совершенно чуждо классической физике, поскольку в классической физике состояние движения механической системы, а также ее энергия могут изменяться только непрерывно.

энергия йТ12. Однако в этом случае наряду с кинетической энергией имеется также и потенциальная энергия. Хорошо известно из классической механики, что средняя кинетическая энергия осциллятора равняется его средней потенциальной энергии. Следовательно, обшая энергия, приходящаяся на один атом твердого тела, равна 3 йТ, а энергия одной грамм-молекулы равна (г'= ЗйТИ = ЗКТ.

Рис. 19 Отсюда для удельной теплоемкости твердого тела при постоянном объеме находим С„= ~ —,-) = Зй=б кал/моль. Гбю х (,ьт 3, (12.1) Это есть закон Дюлонга и Пти, являющийся следствием общих законов классической механики. Поведение теплоемкости при низких температурах. Однако закон Дюлонга и Птн не подтверждается экспериментально при низких температурах.

Общее поведение удельной теплоемкости в зависимости от температуры показано на рис. 19. При достаточно высокой температуре теплоем кость твердого тела действительно стремится к постоянной величине (12.1), соответствующей закону Дюлонга и Пти. Однако при низких температурах теплоемкость с уменьшением температуры уменьшается и при Т вЂ” ~О стремится к нулю как Т'. Закон «Тиь стремления теплоемкости к нулю при стремлении температуры к нулю называется законом Дебая и в целом хорошо выполняется.