Матвеев А.Н. Квантовая механика (Матвеев А.Н. Квантовая механика.djvu), страница 4

Более строгие расчеты (формула Резерфорда) подтверждают это заключение. 1 Эффект Рамзауэра и Таунсенда. ! В 1921 г. Рамзауэр исследовал 1 1 упругое рассеяние электронов на 1 атомах аргона при энергиях электрона вблизи ! эв. Одновременно ~ 7эз 1Зээ аналогичные исследования проводились Таунсендом. Они измеряли зависимость эффективных сечений упругого рассеяния от энергии электрона. В результате этих исследований было обнаружено замечательное явление, получившее название эффекта Рамзауэра — Таунсенда. Оно состоит в следующем. При уменьшении энергии электрона от нескольких десятков электрон-вольт эффективное сечение его упругого рассеяния на аргоне растет, как это и предсказывается теорией. Затем при энергии около 16 эв эффективное сечение достигает максимума и при дальнейшем уменьшении энергии электрона уменьшается.

При энергии электрона вблизи 1 эв эффективное сечение близко к нулю и затем начинает увеличиваться. Зависимость эффективного сечения упругого рассеяния электронов на атомах аргона от энергии электрона приведена на рис. 8. Увеличение эффективного сечения с ростом энергии электрона и тем более почти полное исчезновение рассеяния нельзя понять с точки зрения классических представлений, так как при определенной энергии атомы аргона становятся как бы прозрачными для электронов, электроны проходят через 2 Заказ М 1ОМ 17 аргонный газ не рассеиваясь.

Оказалось, что такое удивительное поведение эффективного сечения свойственно не только аргону, но всем инертным газам. Интерпретация эффекта Рамзауэра — Таунсенда. В течение нескольких лет после открытия эффект Рамзауэра — Таунсенда не мог был удовлетворительно интерпретирован. Лишь несколько лет спустя стало ясно, что он является доказательством наличия у электронов волновых свойств. В предыдущей главе были рассмотрены корпускулярные свойства света. Было пока— — — — эано, что многие эксперименты приводят к заключению, что свет, который длиl тельное время рассматривался как чисто волновой процесс, обладает также и Рис, 9 свойствами частиц. Электроны, атомы и другие материальные частицы долгое время рассматривались как частицы.

Многие эксперименты приводят к заключению, что частицы обладают волновыми свойствами. Одним из первых экспериментальных свидетельств такого рода является эффект Рамзауэра — Таунсенда. Объяснение эффекта Рамзауэра — Таунсенда в общих чертах состоит в следующем. Благодаря особенности строения атомов благородных газов поле их ядра очень хорошо экранируется полем электронов. В результате этого поле атома благородного газа обрывается с расстоянием очень резко.

Следовательно, взаимодействие электрона с атомом происходит в пределах сравнительно резко очерченной сферы. Допустим, что электрон обладает волновыми свойствами, т. е. в некотором смысле ведет себя как волна. Ясно, что, если длина волны электрона будет иметь порядок длины диаметра атома благородного газа, должно наблюдаться явление дифракции. Если непрозрачную сферу облучать потоком световых лучей, длина волны которых имеет порядок диаметра сферы, то вместо тени за сферой наблюдается светлое пятно (рис. 9). Это явление наблюдалось в оптике еще более 100 лет тому назад.

Аналогичное явление происходит и в эффекте Рамзауэра — Таунсенда. Если условия таковы, что длина волны электрона имеет порядок диаметра атома благородного газа, происходит огибание электроном атома и рассеяние практически отсутствует: электрон двигается так, как будто атом совершенно прозрачен для электрона. Это означает, что эффективное сечение рассеяния электрона при этих условиях близко к нулю. Этим и объясняется эффект Рамзауэра — Таунсенда.

В дальнейшем, когда де-Бройль дал свои уравнения, характеризующие волновые свойства частиц, было показано, что эффект Рамзауэра — Таунсенда хорошо объясняется указанным образом не только с качественной точки зрения, но и с количественной стороны. Поэтому необходимо прежде всего познакомиться с идеями де-Бройля. й 5. Уравнения де-Бройля В предыдущей главе были рассмотрены эксперименты, показавшие, что в зависимости от обстоятельств свет проявляет либо свои волновые свойства, либо свои корпускулярные свойства. Уравнения Эйнштейна для света: е=йсс, (5.1) р=йк (5.

2) выражают связь между корпускулярными и волновыми свойствами квантов света — фотонов. Наличие у света корпускулярных свойств в течение длительного времени оставалось незамеченным. В связи с этим возникает вопрос, не имеют лн в свою очередь материальные частицы волновых свойств. Де-Бройль дал на этот вопрос утвердительный ответ, выдвинув гипотезу, что материальные частицы обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Необходимо было вывести уравнения, связывающие величины, характеризующие волновые н корпускулярные свойства частиц. Ясно, что эти соотношения должны быть релятивистски инвариантнымн.

Состояние движения материальной частицы характеризуется . Е'~ четырехмерным вектором энергии импульса (р„, р„, р„1 — ) . С друс) гой стороны, величины (й„, й„, й„с — ~, характеризующие плоскую с,г ' волну, также образуют четырехмерный вектор. Релятивистски инвариантное соотношение между этими двумя векторами должно иметь следующий вид: Рт Рй Рс Е ~х Р с или Е = Ь'сэр = Ис, (5. 3) где й' есть некоторая постоянная. Де-Бройль отождествил эту величину Л' в формуле (5.3) с универсальной постоянной Ь, входящую в формулы (5.1) (5.2) для фотонов, т. е. принял, что Ь' = Ь, (5. 4) где й =- 1,05.10 "дж.сек есть постоянная Планка. Последующие опыты полностью подтвердили это предположение. Итак, имеем Е = Ьы, р=йк. (5.5) Уравнения (5.5) и называются уравнениями де-Бройля.

Они выражают связь между корпускулярными и волновыми свойствами частиц. Плоские волны и фазовая скорость. Из оптики известно, что 2» ш плоская волна с частотой ь и волновым вектором й может быть представлена в комплексной форме в виде функции 1г'(г, 1) ==- Ае-'0"~-"П, где А есть амплитуда волны. На основании уравнений (5.5) можно сказать, что волновые свойства частицы„имеющей импульс р и энергию Е, описываются плоской волной: 'К(г, г) =- Ае " Фазовой скоростью волны называется скорость, с которой движутся точки волны с постоянной фазой. Если ось х направлена вдоль вектора р, то условие постоянства фазы имеет вид Ег — рх = сопз1, а фазовая скорость находится в результате дифференцирования этого уравнения по времени: дх Е тсх с — =о- = — =-- — =с.—.

г ~ Р ич ю Так как о (с, то фазовая скорость волн де-Бройля, соответствующих материальным частицам, всегда больше скорости света. Однако это не составляет какого-либо противоречия с теорией относительности, которая запрещает существование скоростей, ббльших, чем скорость света. Дело в том, что утверждение теории относительности справедливо лишь для процессов, связанных с переносом массы и энергии. Фазовая же скорость волны, вообще говоря, не характеризует скорости переноса энергии и массы частицы.

Скорость движения частицы характеризуется групповой скоростью волн де-Бройля, как это будет показано ниже. Волновой пакет и групповая скорость. Из плоских волн можно построить группу волн, т. е. совокупность волн, волновые числа л00 которых л заключены в достаточно ! узком интервале. Математически эту группу волн можно представить следующим образом: йо+е 1 ! Ф= ~ А(й) е-ц 'х~' —" ~гй, ! ~е — е 0 и о причем от суммы отдельных волн мы Рис.

10 перешли к интегралу и учли, что в рассматриваемой группе волн имеются лишь волны, волновые числа й которых лежат в узком интервале (йа — е, й, + е) вблизи волнового числа Ц (рис. 10). Представив фазу в подынтегральном выражении в виде ~4 — "х = ыоà — йох+ (ы — ыо) г — (й — /гэ) х, можно выражение для группы волн переписать следующим образом: Ф==Ве — Н о~ — х >, где ео+е 1 А (й) и-оц '-1" — "> с(й ео-е называется амплитудой группы волн.

Групповой скоростью воли называется скорость движения амплитуды группы волн. Условие постоянства амплитуды группы волн имеет вид (оо — соо) 1 — (й — йо) х сопз1. Отсюда для групповой скорости ес получаем следующее выра- жение: Лх со — ооо ~~е Во=о В случае достаточно узкой группы волн мы, очевидно, имеем Для волн де-Бройля групповая скорость равна ссо с'Е 0 «По с'р Учитывая, что получаем сЕ ср сер соти с ЛР .1гре+ осе Е тсо т. е. групповая скорость волн де-Бройля равна скорости частицы, движение которой описывается посредством волн де-Бройля. Группу волн с амплитудой, отличной от нуля в узком интервале значений волновых чисел (рис. 10), называют обычно волновым пакетом.