Матвеев А.Н. Квантовая механика (Матвеев А.Н. Квантовая механика.djvu), страница 9

Важной особенностью кривых, описывающих поведение теплоемкостей с температурой, является одинаковость их формы для различных веществ. Путем изменения масштабов по оси температур можно добиться совпадения кривых для различных веществ друг с другом. Это означает, что теплоемкостп С» представляются универсальной функцией С; = 7 (97Т), где 9 — некоторая постоянная величина, имеющая размерность температуры, характерная для данного вещества. Теория Эйнштейна для теплоемкости.

Объяснить эти особенности поведения теплоемкости в зависимости от температуры классическая физика оказалась не в состоянии. Необходимо было воспользоваться новыми идеями. Первый шаг в этом направлении был сделан Эйнштейном в 1907 г. Обшая энергия осцилляторов в грамм-молекуле вещества равна ью ьи В'= ЗИ (е> ЗИяТ вЂ” (еьг — 1) 1 =ЗКТ вЂ” (еьг — 1) 4, (12.2) 40 где принята во внимание, что осцилляторы могут колебаться в трех независимых направлениях. Это есть основная формула теории теплоемкости Эйнштейна. При больших температурах, когда мож- но считать, что величина (12.2) стремится к классическому значению ЗЙТ, что соответствует закону Дюлонга и Пти, подтверждаемому экспериментально.

При малых температурах нз формулы (12.2) получается: (12.3) ь» Сг — е ьт ъО Тт > который существенно отличается от закона С„- Т' — ~0. Теория Дебая. Дальнейшее развитие теории теплоемкостн твердого тела принадлежит Дебаю. Для того чтобы вычислить энергию единицы объема кристалла, надо принять во внимание число возможных колебаний, Число колебаний с данной поляризацией в интервале волновых чисел между й н й + г(й равно >!»> ! И вЂ” — = — —. гУг.

у.з э яэ Упругие колебания в твердом теле могут иметь три поляризации, которые соответствуют двум волнам сдвига и одной продольной волне. Следовательно, общее число колебаний на единицу объема в интервале волновых чисел А, й + Ы равно (12.4) Учитывая значения средней энергии одного колебания (е», имеем ьы зР ь>о яд2 ,и'т ! (12.5) 4! В соответствии с этой формулой теплоемкость при уменьшении температуры уменьшается, что качественно согласуется с экспериментом. Однако эта формула не в состоянии объяснить закона Дебая С„- Т' при низких температурах.

Вместо этого при Т вЂ” ъ0 она дает закон где А,„есть максимально возможное волновое число, которое определяется из (12.4) в результате интегрирования по И от 0 до /гш,„г з л = — —.—, 1 г" шах 2 ла (12.6) где и — число атомов в единице объема. При этом расчете предположено, что на каждый атом приходится по одному колебанию. Соотношение между волновым числом и частотой волны дается дисперсионным соотношением. В приближении Дебая принимается, что между частотой и волновым числом колебаний кристаллической решетки существует такое же соотношение, какое существует в непрерывной среде, т.

е. (12.7) где пе — скорость распространения волн. Принимая во внимание (12.6) и (12.7) и полагая х = ЬгагяТ, можно формулу (!2.5) переписать в следующем виде: шах Заета 1' ха дх 2лаааьа а5 е" — ! о где Величина 0 называется характеристической температурой Дебая. Дифференцируя (!2.8) по Т, получаем выражение для удельной темплоемкости СО', отнесенной к единице объема: хшах ~,г 9 ~т)а ~ е хаггх о (12.9) Кривая теплоемкостей, вычисленная по этой формуле, приведена на рис. 19 (в пересчете на грамм-молекулу). При Т » 0 теплоемкость стремится к ее классическому значению 3)с = 6 ка,г!.ко гь, соответствующему закону Дюлонга и Пти.

При Т « 0 формула (12.9) дает закон Дебая С„Т' для низких температур. В целом формула (!2.9) хорошо подтверждается экспериментально. При получении формулы (12.9) необходимо было принять, что колеблющиеся молекулы в твердом теле принимают лишь дискретный ряд значений энергии, так что средняя энергия одного колебания определяется формулой (12.5).

Таким образом, при объяснении удельной теплоемкости твердых тел приходится принять предположение о дискретности состояний движения атомных систем. Только после этого удается удовлетворительно объяснить зависимость теплоемкости от температуры. Классическая физика оказалась не в состоянии объяснить эту зависимость. 42 й 13. Опыты Франка — Герца 4 д 1 ! 1 1 ! 1 ! ! Изложенные в предыдущих параграфах соображения привели к мысли о дискретности состояний атомных систем. Однако прямого экспериментального доказательства дискретности состояний атомных систем эти соображения не дают. Прямое экспериментальное доказательство дискретности состояний атомных систем было дано в опытах Франка — Герца. Идея опытов Франка — Герца. При неупругих столкновениях первого рода между электроном и атомом электрон передает свою энергию атому.

Само собой разумеется, что прн этих столкновениях соблюдается закон сохранения энергии. Если состояния атомных систем дискретны, то энергия атома не может изменяться непрерывно, поскольку энергия может измениться лишь на конечную величину, равную соответствующей разности энергий атома в двух возможных состояниях. Следовательно, при неупругом столкновении электрона с атомом электрон может передать атому лишь дискретные количества энергии. Если измерить возможные величины энергии, передаваемой электроном атому при столкновении, то можно сделать заключение о разности энергий между возможными состояниями атома. В этом заключается идея опытов Франка — Герца. Схема опытов.

Схема опытов Франка — Герца изображена на — ! рис. 20.Между горячим катодом ! К и сеткой А приложена раз- и ность потенциалов У, которая ускоряет электроны, испаряющиеся с катода. Электроны ускоряются в атмосфере паров ртути при малом давлении около ! мм Ня. В процессе движения электроны испытывают столкновения с атомами ртути. За сеткой А расположена пластина В. Между сеткой А и пластиной В приложен небольшой задерживающий электроны потенциал (У, (около 0,5 в). Таким образом, в пространстве между сеткой А и пластиной В электроны тормозятся. Если некоторый электрон проходит сетку А с энергией, меньшей, чем 0,5 эв, он не доходит до пластины В, Только электроны, энергия которых больше минимальной величины, определяемой задерживающим потенциалом, попадают на пластину В.

Число этих электронов может быть измерено по току через гальванометр 6. В экспериментах снималась вольт-амперная характеристика, т. е. зависимость тока 1 через гальванометр от разности потенциалов !/. Вольт-амперная характеристика, полученная в экспериментах Франка и Герца, показана на рис. 2!.

Максимальные значения 1 отстоят друг от друга на равных расстояниях. Расстояние между последовательными максимумами равно 4,9 в. Первый максимум расположен при напряжении 4,1 в. Однако это есть измеряемая вольтметром разность потенциалов между катодом и сеткой — анодом. Фактическая же разность потенциалов несколько отличается от этой величины. Дело в том, что в ускоряющих трубках с горячим катодом катод и анод сделаны из различных металлов. Следовательно, между катодом и анодом существует некоторая контактная разность потенциалов, которая ускоряет электроны даже в отсутствии приложенной извне разности потенциалов. В опытах Франка — Герца эта контактная разность потенциалов равнялась 0,8 в. Поэтому для того, чтобы получить фактическую разность потенциалов, которая ускоряет электроны, необходимо к величине У прибавить 0,8 в.

Таким образом, вся кривая на рис. 21 сдвинется на 0,8 в вправо. Расстояние между максимумами от этого не изменится, но первый максимум будет при разности потенциалов 4,9 в. Интерпретация результатов опытов. Рис. 21 Чтобы объяснить такой характер вольт- амперной характеристики, необходимо допустить, что при столкновении электронов с атомами ртути последние могут поглощать лишь дискретные порции энергии, равные 4,9зв. Пока энергия электроновменьше4,9эв столкновения электронов с атомами ртути упругие, электроны приходят на сетку с энергией, достаточной для преодоления запирающего потенциала между сеткой А и пластиной В. Когда разность потенциалов достигает 4,9 в, электроны при неупругом столкновении с атомами ртути вблизи сетки отдают всю свою энергию, при этом атомы ртути приобретают эту энергию и переходят в ближайшее возбужденное состояние.

Электрон, отдавший в результате неупругого столкновения свою энергию атому ртути, не может преодолеть разности потенциалов между сеткой А и пластиной В. Следовательно, на пластину В могут попасть лишь электроны, не испытавшие неупругого столкновения, в результате чего ток при разности потенциалов 4,9 в начнет спадать. Когда разность потенциалов достигает такой величины, что достаточное число электронов после неупругого столкновения успевает приобрести энергию, необходимую для преодоления задерживающего потенциала, начинается новый рост величины тока. Если разность потенциалов достигает 9,8 в, электрон после одного неупругого столкновения приходит к сетке с энергией около 4,9 в, достаточной для второго неупругого столкновения.