Матвеев А.Н. Квантовая механика (Матвеев А.Н. Квантовая механика.djvu), страница 7

После ряда неудачных попыток представить свет как волновой процесс в некоторой среде, называемой эфиром, во второй половине Х1Х столетия постепенно установился взгляд на свет как на электромагнитные колебания, описываемые уравнениями Максвелла. Скоро были открыты электромагнитные колебания, не видимые глазом, частоты которых лежат вне пределов чувствительности человеческого глаза. Как показывает повседневный опыт, материальные тела обладают способностью поглощать, отражать и испускать электромагнитные волны.

Если температура тела достаточно высока, то максимум интенсивности излучения может попасть в область видимой части спектра и тело начинает светиться. Если температура тела не очень велика, то тело не светится, но продолжает излучать электромагнитные волны, которые не воспринимаются человеческим глазом. Наличие этого длинноволнового теплового излучения может быть обнаружено соответствующими приборами. Законы Кирхгофа. Если несколько материальных тел поместить в полость с теплонепроницаемыми стенками, то тела и стенки полости посредством излучения обменивакпся между собой энергией. В результате этого более холоднгие тела нагреются, а более горячие — охладятся, и установится тепловое равновесие.

В состоянии теплового равновесия температура всех тел одинакова, а плотность энергии излучения в полости достигает определенной 31 величины, которая дается известной формулой электродинамики: ((= 2 (еоЕ + р„Н'), (11.1) где Š— напряженность электрического поля, Н вЂ” напряженность магнитного поля; 1Π— э ее= — „- сек!ом.м, )та=4п !О-т ом сек(м являются соответственно диэлектрической и магнитной проницаемостями вакуума *. В полости существуют электромагнитные волны всевозможных частот. Распределение энергии излучения по частотам характеризуется спектральной плотностью излучения р, определяемой следующей формулой: е-=„—. (11.2) где го — круговая частота излучения.

Таким образом, величина о„т(го есть энергия излучения, приходящаяся на интервал частот (оз, оз + йю). Изучая явления равновесного излучения, Кирхгоф открыл два важных закона. П е р в ы й з а к о н Кирхгофа гласит: при постоянной температуре спектральная плотность излучения о„не зависит как от свойств и природы тел, находящихся в полости, так и от свойств и природы стенок самой полости.

Справедливость этого утверждения может быть доказана на сснове второго начала термодинамики. Допустим, что спектральная плотность д зависит от свойств и природы тел. Возьмем две полости, находящиеся при одинаковой температуре, но построенные из различных материалов, и соединим их между собой. В результате этого получается одна полость, в которой нет термодинамического равновесия, поскольку в ее различных частях существует различная спектральная плотность излучения о . Следовательно, между различными частями системы должен начаться обмен энергии, который приведет к возникновению разности температур.

Эту разность температур можно было бы использовать для получения работы. Таким образом, имея две системы, каждая из которых находится в термодинамическом равновесии при одинаковой температуре, было бы возможно получить работу и снова две системы, каждая нз которых находится в термодинамическом равновесии при одинаковой температуре. Таким образом, было бы возможно получить работу только за счет охлаждения адиабатической изолированной системы, состоящей в нашем случае из двух рассматриваемых под- " В этой книге используется Международная система единиц, н отношении электромагнитных единиц совпадающая с рационализонанной системой МКСА.

систем. Но это запрещается вторым началом термодинамики. Следовательно, допущение о том, что спектральная плотность равновесного излучения о зависит от свойств и природы тел, находящихся в термодинамическом равновесии, является неправильным. Поэтому спектральная плотность излучения о может, кроме частоты, зависеть еше только от температуры. Следовательно, математически первый закон Кирхгофа можно записать в виде о =-й„(Т).

(11.8) Второй закон Кирхгофа устанавливает соотношение между поглощательной и излучательной способностями тела. Энергия, излучаемая в единицу времени с единицы поверхности тела в интервале частот (ы, ы +- йо)„называется испускательной способностью тела и обозначается через Е . Поглощательной способностью тела называется отношение энергии, поглощенной телом в интервале частот (ы, а + дго), ко всей энергии, падающей на тело в этом интервале частот. Поглощательная способность характеризуется безразмерным числом а, равным указанному отношению. В т о р о й з а к о н Кирхгофа гласит: отношение испускательной способности к поглои(ательной способности пропориионально спектральной плотности излучения, причем коэффициент пропорциональности равен с!8п. Таким образом, математически второй закон Кирхгофа можно записать следующим образом: (11.4) Второй закон Кирхгофа показывает, что отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от конкретных свойств тела, а является универсальной функцией температуры и частоты.

Зная эту универсальную функцию, можно по поглощательной способности тела определить его нзлучательную способность и тем самым определить распределение энергии в спектре его излучения. Это обстоятельство объясняет то большое внимание, которое было уделено отысканию функции о (Т).

Тело, которое поглощает все падающие на него лучи, называется абсолютно черным телом. Из определения ясно, что поглощательная способность абсолютно черного тела равна единице (ж„= !). Для абсолютно черного тела из равенства (1!.4) получаем (1 !.5) ап~ -( Таким образом, задача определения вида функции о„(Т) сводится к задаче об определении закона излучения абсолютно черного тела. Прн решении этой задачи классическая физика столкнулась с непреодолимыми для нее трудностями. Формула Рэлея — Джинса.

В классической физике задача о плотности равновесного излучения абсолютно черного тела решалась следующим образом. В полости существуют электромагнитные 3 замаз м ш94 ЗЗ колебания всевозможных частот. Поскольку имеется равновесное состояние, никакого движения энергии в рассматриваемой полости нет. Следовательно, поле излучения может быть представлено в виде суперпозиции стоячих волн. Представим себе полость в виде куба со стороной й н выберем систему координат, осн которой направлены вдоль трех ребер куба. Волновые числа стоячей волны пусть будут й„, й,, й,. Очевидно, что условие существования стоячих волн имеет вид Й„Е=л„п, А„Е=-пэи, й,й.=-п,л, где и„, лэ, п, — целые положительные числа.

Число волн 4(!у, волновые числа которых заключены между (А„, й, + 4И„), (йа, й„+ 4(йг), (/г„й, + Ы,), Равно числУ целых чисел в интервале (л„, и„+г(п„), (и„, а„+4(п„), (п„п, +г(п,), т. е. дИ= — г(п„йпэг(л,= ( — ) (И„4(йгс(й,. )(альнейшие вычисления удобно вести в сферической системе координат. Так как й„, й„, й, — величины положительные, то 4иь4 ЛН а 1 где йх=й'„+й„''+К. !1ринимая во внимание соотношение й= —, имеем с лл' ! мэ бз й йэгз (11.6) Для вычисления средней энергии (е), приходящейся на частоту о, возможны различные подходы.

С классической точки зрения естественно считать, что поле излучения представляет собой систему, части которой колеблются с различными частотами. В статистической механике известен закон, согласно которому энергия распределяется равномерно по всем степеням свободы статистической системы н на каждую степень свободы приходится энергия, равная йТ!2, где й = 1,38 х ! О " дж!град есть постоянная Больцмана. 34 Величина д!У/ьэ есть число колебаний в единице объема с частотамн между 44 н 4з + п4а.

Электромагнитные колебания могут иметь две поляризации. Следовательно, чтобы получить полное число электромагнитных колебаний, надо величину (11.6) умножить на 2. Плотность энергии излучения равна числу колебаний в единице объема, умноженному на среднюю энергию, приходящуюся на одно колебание с соответствующей частотой. Обозначая эту среднюю энергию через <е), мы можем написать следующее выражение для плотности энергии излучения: ц„, (Т) = —, -~- (е).

(1 !.7) Из механики хорошо известно, что при гармоническом колебании средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной. Следовательно, в случае гармонических колебаний средняя энергия, приходящими на колебание с частотой (о, равна (е) =- еТ. Поэтому для плотности энергии излучения можно написать следующее выражение: (11.8) Это известный закон Рэлея — Джинса. Как показало изучение спектра абсолютно черного тела, закон Рэлея — Джинса довольно хорошо описывает спектр лишь для достаточно малых частот, т.

е. для достаточно больших длин волн. При переходе к большим частотам между экспериментом и формулой (11.8) наблюдаются очень большие расхождения. Кроме того, формула (11.8) приводит к бесконечной полной плотности энергии излучения„ что неприемлемо. Таким образом, формула (11.8), полученная в соответствии с классическими представлениями о поле излучения, не подтверждается экспериментом. Формула Вина. Возможен и другой подход к выводу формулы для плотности излучения в рамках классических представлений. Каждое колебание с частотой (о является носителем определенной энергии е ((о).