Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика.djvu), страница 70

Чтобы пересчитать формулу (2) к единице объема, надо помножить зто равенство на среднюю плотность воздуха р'=1,25 кг/ма. Умножая еще на разность температур (20'С), получаем из формулы (2) р.ср.20'= ' ' '9 ' 6,0 ккал/ма. о 12535220 (3) 430 Указания к решению заэач Заметим, что вследствие постоянства давления и расширения воздуха при нагревании значительная доля его выходит из комнаты. Каково должно быть отопление, необходимое для поддержания температуры 20'С, зависит от проницаемости и теплопроводности стенок н окон н, следовательно, лежит за рамками нашего расчета. Энергия, подводимая при нагревании комнаты, согласно Эмдену (см. $ 6, и. 6), вновь уходит в виде внутренней энергии воздуха, выходящего из комнаты.

Мы не можем, однако, не подвергнуть критике уравнение Эмдена (6.19). В нем упущен пз виду тот факт, что энергия всегда определена лишь с точностью до некоторой постоянной. Поэтому уравнение (6.19) нужно заменить следующим уравнением: (4) и — из= С(Т То). Здесь Т, может означать любую температуру выше температуры конденсации, при которой еще справедливо уравнение состояния идеального газа.

Таким образом, поскольку и, = ри, имеем по=с РТ+е(по сзТо) (5) Здесь первый член в правой части не зависит от Т в силу уравнения состояния рТ = рр/Л., Однако этого нельзя сказать о втором члене, который благодаря большой теплоте испарения положителен и значительно превосходит первый член. Следовательно, Эмден не прав, ограничиваясь в своих уравнениях (6.19) и (6.20) только первым членом.

Однако моясво показать, что второй член (опять благодаря условисо р=рр(ВТ) уменьшается прн нагревании. Следовательно, плотность энергии не остается постоянной, как полагает Эмден, а даже уменьшается при отоплении. Тем более оказывается справедливым достойный внимания вывод о первенствующей роли энтропии по сравнению с энергией. ЕЗ. Если рабочим веществом в цикле Карно является идеальный газ, то для одного моля его при изотермических переходах 1-о 2 и 3-+4 справедливы следующие Указании к решению задач выражения (Π— подведенное количество тепла): г «1н = О, е(д = р е(о, Д, = ~ р еЬ = ВТ, 1п — ', $ Ф ! е(о=рдо, (з = ~ реЬ=ЙТе1п— а сея=О, и, следовательно, Т, 1и 'з'з/1'з 4,-= т, ы.з,.з С другой стороны, для адиабатических (изознтропическпх) переходов 2 -+ 3 и 4 -к 1, согласно уравнению (5.3а), имеем Тзез ' =Тепе ~ или Тео", ~ =Т,~о, '.

(2) С, с Т=азТз+аеТе, ае — — С, «е —— с с . (1) — с,+, —,+,. Согласно уравнению (5.10), для идеальных газов 1 и 2 при постоянном объеме ЬГ, = С, 1и —, ЬЮ, = С, 1п— 1 Исключая Т, или Т„отсюда окончательно получаем равенство отношений о,/о, и о /ее. Вследствие этого уравнение (1) переходит в (6.8). Таким образом, в силу (6.7) действительно е (0) = Т, как было постулировано в выраражении (6.7а). 1.4.

Под теплоемкостыо С понимают количество тепла, требуемое для нагревания тела на 1'. Так как удельная теплоемкость относится к единице массы, то при постоянном объеме получаем С=Ма„где ЛХ вЂ” масса рассматриваемого тела. Во всех задачах теплопроводности объем является заданным, следовательно, е(ее' = 0 н НУ = ееез. Поэтому здесь можно пользоваться теорией теплорода; последняя дает «правило смешения» Указания и реизению задан и благодаря аддитивности энтропии имеем М=М, -И,=(С,+С))пт — С,)пт,— С )птх. Согласно второму началу для замкнутой системы Ы > О.

Отсюда, поделив на С,+С, и использовав равенство (1), получим а Т + а. Т > Т",~ Т",', где ахЧ ах=1. (2) (При а,=а,='/х получаем известное правило о том, что среднее арифметйческое больше среднего геометрического.) Неравенство (2) гласит: если при образовании среднего арифметического величины Т„Т, входят с весами а„а„ то при образовании среднего геометрического они входят в степенях, равных соответствующим весам. Только в тривиальном случае Т, = Т, неравенство переходит в равенство. При наличии п газов, находящихся во взаимном тепловом контакте, вместо (2) получаем а Т +...а„Т„> Т ... Т„'", где ах+... а„=1.

(3) Алгебраический вывод этой теоремы имеется в литературе '). Читателю предлагается попытаться применить этот метод к исследованию других необратимых процессов. 1.5. Пусть исходное состояние задано параметрами Т„о, р . Вычисляя интеграл от давления по объему в пределах от У, до 2г'а, получаем при а) р=р„б) р=р — ', в) р=р,— ' соответствующий рнд выражений для работы расширения 1 — 2 а) НТо б) ЛТо)п2, в) ВТа 1 †Количество подведенного тепла дается интегралом от г!д= с,йТ1 ре!о= с„ЫТ вЂ” ос!р. Для него соответственно '! Р о ! Уа, 8 х ад о, Ле!даЬев ивй 1еЬгхаххе, Вег!!в, 1925; На г й». Ь! ! ! ! е»го гад Ро!»а.

!геааард!еа. Сагаьг!аае. 1934. Укаваиия г рпиеиию вадгч 433 получаем ряд выражений: а) КТо Р, б) КТо1п2, в) О. Изменение энтропии в каждом из трех случаев определяется выражением г = с„1п Т + Л 1п о+ сонэс и равно а) с 1п2, б) 771п2, в) О. 1.6. Согласно (7.8) и (7.8а), имеем Иг = — (Ыи '„-рг(о)= — "с7Т-1-( — -) ~Ь.

1, с„ / др'~ Т Т ( дТ)ц Выражая (Ыр/ЫТ)„из соотношения (2) в решении задачи 1.1 и вводя коэффициент теплового расширения а и сжимаемость х, получаем пг = — пТ+ — сЬ. т з Таким образом, поскольку для адиабаты с(г=О, наклон ее в плоскости Т, о дается формулой Поэтому наклон адиабаты слева от минимума на кривой о, Т положителен (так как там а < 0), а справа от него (там, где а.> 0) отрицателен. В минимуме касательная к адиабате параллельна оси о.

Вычертив качественно изобары в плоскости Т, о, легко сообразить, что не существует адиабат, соединяющих две указанные в задаче изотермы, если только процесс проводится в области давлений, при которых минимум объема на изобаре лежит между 2 и 6'С. 1.7. При постоянном объеме имеем с(д =- с„йТ = с„(дТ(др) Ыр. При постоянном давлении Ыо = с йТ = = ср(дТ(ди) Йи. Поэтому в общем случае получаем Т Иг = йу =- с„( — ) Ио+ с, ( — ) г(р. (1) 434 Укавания к решению гадки Адиабатичесную сжимаемость получим, если в соотношении (1) положим <Ь= О. Тогда имеем В последнем преобразовании было использовано соотношение (2) из решения задачи 11.

1.8. Согласно (7.8) и (7.8а), имеем Йд = Ии + р еЬ = с„е1Т + Т ( — ~Р ) а'и. При изотермичесном сжатии е7Т = О. Далее Йи=(ди(др)тдр. Тогда, согласно соотношению (2) из решения задачи 11, получаем Таким образом, считая ноэффнциет теплового расширения постоянным в данном интервале давлений, находим подведенное количество тепла Нд = — Тиамр = — 293 град 1 дмг 2 10 а град ' ° 19 ат = = — 1,113 л ат = — 26,1 кал (тан нак 1 л ат =1 дмз 1 кл см '=23,43 кал). Затраченная работа равна =1 дмг 0,5 ° 10 а ат ' — (400 — 1) ат' = 1 =10 з л аж=0,23 кол. 1.9. См.

т. П, Механика деформируемых сред, $ 7. 1.10. Уравнение Эйлера (т. П, уравнение (11.5)] в отсутствие внешних сил для стационарного [(дт/дг) =0] и безвихревого (гоь т = 0) течения гласит (если учесть уравнение (11.6) в т. 11] т' 4 8гай —, = — — 8гай р. 2 р Укаваная к решению вадик 435 фигурирующее в т. П условие несжимаемости [уравне- ние (11.4)] здесь следует заменить соотношением между р и р для адиабатического процесса р=р.( — „')". (2) После исключения из уравнения (1) р при помощи соотношения (2) уравнение (1) интегрируется и мы получаем (3) Согласно соотношению (5.3а), (р/р )<т-<Пт = Т/Та.

Таким образом, ив а1 — — — =с Т вЂ” е„Т. .а — р в Следовательно, разность удельных кинетических энергий, как утверждалось, равна разности удельных энтальпии срТа и срТ В нашем примере ср — — 0,49 кал г 'град ', 7=1,33. Следовательно, из формулы (3), полагая о, -О, получаем о=880 л</сек. Читателю предлагается сравнить это значение со средней скоростью молекул водяного пара при 300'С, равной 770 л</сек (см. $22). Температура после расширения равна 110'С. 1.11.

Прежде всего будем исходить из произвольного уравнении состояния. Состояние газа в <хй ячейке объемом описывается заданием температуры Т< и удельного объема о,. Тогда количество вещества, содержащегося в <-й ячейке, равно г'</о<. Пусть удельная внутренняя энергия в <-й ячейке равна и< (Т<, о<).

Тогда полная внутренняя энергия газа, содержащегося в этой ячейке, равна (Р</о<) и< (Т<, о,), а его потенциальная энергия равна (р </о;) як<, где е — ускорение силы тяжести. Если 1/— полная энергия, а Л вЂ” полное количество вещества в системе, то ~=2 — „',:. П=~ — '„.'[и<(Т„о<)+М. < < 436 Укаваник к уешению вадач Аналогично для полной энтропии Я получаем Ю= ~ — 'г,(Т,, о;), ие где гв(То эв) — удельная энтропия газа в 1-й ячейке.

Прп равновесии энтропия Ю имеет максимум относительно всех вариаций Т,, о,, совместных с условиями постоянства А' и (в'. Таким образом, если ввести два множителя Лагранжа Х и р, то должно иметь место равенство оЯ = — 3 [',в,' — 'гв (То о;)+) (Л' — ~~~~ — ')+ + к ((в' — ~~~~ — ' '(и » (Т;, о ) + дз ] ) ~ = О, 1 причем величины Т„о,, Х, р здесь считаются независимымп. Это дает Ув е' дв; ди; и; (.дТ; дТв,,~ "в 1 ' ди;( (2) Из уравнения (1) в силу соотношения дэДдТ; = = (1~'Тв)(ди;,~дТв), (см. соотношение (7.1)] следует, что р= 1,(Тв, т.

е. всеТ; одинаковы. Поэтому положим Т; = Т. Из уравнения (2) в силу соотношений (7.7) и (7.8) получаем (дш )те (дТв./ве ' (див)те ' (дТв)в, Р" и после небольшого преобразования д(Т, эв) :=ив+ дав — Тзв-( о;р; = — йТ. Слева здесь стоит удельный потенциал Гиббса для состояния в 1-и ячейке, причем к внутренней энергии добавлена потенциальная энергия. Правая часть равенства не зависит от е, следовательно, то же относится и к левой части. Для идеального таза имеем (для простоты прини- Указания к решению задач 437 маем, что удельная теплоемкость не зависит от температуры) и,.=с„Т-) и, г;=с„1пТ+ — 1по+г„, р,. = — —, В ВТ а еч где и — молекулярный вес.

Таким образом, поскольку д (Т, о,) не зависит от ( я, следовательно, от г, получаем О(г) ооаиаз)ат р (г) р е — иозжг Для искомого значения высоты з)г, определяемого равенством )здЬг = ВТ, окончательно находим я ЛТ Роио Ро Р6' д Род Это вместе с тем средняя высота зо ) зр (з) дз Ьг= о 1 р (з) аг о При р,=10о дик см о, р,=0,0012939 г см о, = 981 см сек ' для Ьг получаем Ьг=8.10о см= 8 км. Следовательно, если вертикальная протяженность газа значительно меньше 8 км, то падение давления с высотой при равновесии почти незаметно. Оно составляет для разности высот 80 м только 1%.

Однако на метеорологических станциях при корректировке барометров относительно высоты над уровнем моря зта величина учитывается. 1.12.1. Подстановка р нз уравнения состояния в термодинамическое соотношение (ди(до)т = — р + Т (др(дТ) „дает для и дифференциальное уравнение в частных производных ди а аТди — — — и+ — —. до о одТ' 488 Указании к решению задач Общее решение этого уравнения имеет вид и = о-ар (То'), где с(То") — произвольная функция.