Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика.djvu), страница 69

Какие выводы относительно механизма реакнии следуют из соотношений взаимности Онзагера (см. 1 21, п. 4)? К ГЛАВЕ В1 П1.1. Вертикально расположенный цилиндр закрыт поршнем с массой ЛХ, который может беспрепятственно двигаться под влиянием силы тяжести. В цилпндро вертикально (вверх и вниз) со скоростью с движется шар с массой т « ЛХ (фиг. 38). Шар упруго отражается от дна и от поршня.

Влиянием силы тяжести на шар пренебречь. М а) Отвлекаясь от размеров шара, установить условие равновесия для поршня н сравнить его с уравне- С кием идеального газа. б) Принять во внимание радиус шара г и сравнить полученное при этом условие равновесия с уравнением Ван-дер-Ваальса. в) ПоРшень медленно поднимает- Ф н г. зя. Оявоыер- ся со скоростью 1' (( с. Сравнить вый газ, состоящий получающу1ося при этом потерю энер- вз одной молекулы. гии шара с работой газа ЫЬ'=рЫ'г'.

П1.2. Пользуясь распределением Максвелла (23.9), вычислить: а) наиболее вероятную скорость, б) средшою скорость и в) корень из среднего значения квадрата скорости. Ш.З. Вычислить число молекул водорода Нм ежесекундно падающих на площадь стенки а =1 смз с перпендикулярной к стенке скоростью, превышающей 12000 м!сек.

Температура газа равна 0'С, полное число молекул в 1 смз равно 2 10". П1.4. Вычислить математическое ожидание выпадения числа 6 при бросании игральной кости (число бросаний й). Найти средний квадрат флуктуации, определяемый как (й — й)з. П1.5. Вычислить давление идеального газа на стенку, расположеннузо в плоскости х=-0 прямоугольной системы Зада»и координат, если стенка на больших расстояниях притягивает молекулы, а на малых отталкивает их с силой, описываемой потенциалом У= — Ае "+Ве-з и: а) если радиус действия сил мал по сравнению с длиной свободного пробега, б) если эти две величины сравнимы между собой.

Каков должен быть радиус действия сил стенки для гелия при нормальных условиях, чтобы они оказывали влияние на давление на стенку? П!.6. Идеальный газ находится в двух сосудах при одинаковой температуре Т и различных давлениях р, Ф иг. 39. Перевес массы и энергии сквозь узкое отверстие.

и р,. Сосуды расположены рядом, и в перегородке между ними имеется очень узкое отверстие с плошадью а (фиг. 39). а) Вычислить количество газа, протекающее в единицу времени в сторону меньшего давления в стационарном случае (р, = сопэь, р, = сопэС). б) Вычислить энергию, переносимую в единицу времени.

в) Какова средняя энергия, переносимая одной частицей? 3 г) Почему она больше, чем — йТ? 2 д) Что следует сделать, чтобы условия опыта сохранились стационарными? 1П.7. В газе при температуре Т находится подвижная пластина В между двумя закрепленными пластинами А и А . Расстояния между всеми пластинами малы а по сравненшо с длиной свободного пробега, так что столкновения между молекулами можно не учитывать. Пластины В н А, имеют температуру газа, а пластина Аа нагрета до несколько более высокой температуры Т'=Т+3Т.

К ееаее 1У 425 а) Какую силу испытывает подвижная пластина В, если каждая молекула при отражении садится на стенку, с которой она находится в тепловом равновесии? (Стенка бесконечно протяженная. Все пластины имеют одинаковые плошади Р.) б) Как, зная эту силу, определить давление газа? (Результаты атой задачи применяются при расчете высоко- вакуумного манометра.) К ГЛАВЕ Р1 1Ч.1. Пусть при каком-лпбо измерении возможно большое число п одинаковых по величине и независимых друг от друга элементарных ошибок, влияние которых на результат измерения ( те или — е) подчинено закону случая.

Показать, что вероятность отклонения результата измерения на величину х от истинного значения для больших л дается выражением И'= аехр( — хе(2пее). Для наглядности положить в основу вывода доску Гальтона. Шарик, ударившийся о гвоздь, с одинаковой вероятностью покатится налево или направо. 1Ч.2. Пусть ошибка отдельного измерения не остается постоянной, как и в предыдущей задаче, а принимает набор значений в целом интервале.

Пусть ~,(х)е(х вероятность того, что ошибка измерения лежит в интервале (х, х+е(х). а) Какой вид имеет в этом случае вероятность ошибки 1„(х) при налояеении п независимых однородных ошибок? б) Показать, что все функции 1„(х) суть функции Гаусса, если таковой является функция ~,. Как изменяется ширина гауссовой кривой? в) Как выглядит функция ~„для больших л, если 1,(х) = 1 прп )х ~ - е и /,(х) = О при (х ~ > е? Изобразить ~„~„~е для этого случая графически и выяснить пх геометрический смысл в многомерном кубе.

1Ъ.З. Вычислить статистический вес И' для ?Ч молекул: а) если все молекулы имеют равные по направлению и величине скорости +1, б) если половина молекул имеет скорость +1, а другая половина — скорость Эазачи в) если равные части молекул имеют скорости соот- ветственно ~ 1, Показать, что каждое следующее такое подразделение прн Л вЂ” ь оэ бесконечно вероятнее, чем предыдущее. 1Ч.4. Зеркальце висит на кварцевой нити с модулем кручения Р и освещается таким образом, что его пово- роты, вызванные ударами окружающих молекул газа (броуновское даик<ение), можно регистрировать на шкале. Пусть положение покоя соответствует ? = 0 (? — угол поворота).

Вероятность того, что значение угла поворота зеркала заключено между р и у + дс, согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, дается выражением И"е6? = Ае-яроь7итек?, Ерь1= — Р?е. Из наблюденного среднего по времени у~ можно вычи- слить постоянную Больцмана й.

Какое значение для числа Авогадро получается нз измерений при Т = 287' К, Р = 9,43 10 ь дин см, у~ = 4,18.10 ' н газовой постоянной Л = 8,32 10' рре7ерад моль (Капплер)? 1Ч.5. Пусть дан кубический кристалл, содержащий Х = 10" атомов. Энергия связи на один поверхностный атом составляет 9 ре. Вычислить отношение энергии связи к энергии теплового движения. При какой величине кристалла они сравнимы по величине? 1Ч.6. 1. Показать, что из уравнения для Э-функции — (иь-) ч Э,(г '~) = 2 ~~~ е соз(2п+1) зг в=э моя<но вывести сумму состояний ротатора о 2. При помощи трансформационной формулы (аналогичной формуле (15.8) в т. Ч1 для Э=Э,) 6,(г( ~)=( — ) е мичЭ ( и™~ — ), К влевв Лг 427 где 0в (з/г) = ~г', ( — 1)" ехр [гя (пзт+ 2пз)), вывести формулу + !!Э Я (д) = — ев (яд)нв ~ —.

е гвгв г?г. Ч эге с ОЭ Символ ~ означает здесь главное значение интеграла в смысле Коши. Прн выводе использовать известное из теории мероморфных функций разложение г/гйпг. 3. Вычислить главное значение интеграла в предыдущей задаче: а) разлагая 1/з!пг по степеням е", б) разлагая г/з!пг по степеням и Вывести отсюда используемуго в предыдущей задаче трансформационную формулу 0, — в 0в. 4. Разложение, полученное в задаче 1У.6.36, представляет собой полусходящнйся ряд, который для малых значений г? дает хорошие приближенные значения. Вычислить молярную энергию и малярные теплоемкости вращения из первого члена этого разлонгения н сравнить их с результатами $33. При каких значениях а ошибка при вычислении с, не превосходит 1в/в? 5.

Оценить влияние более высоких членов разложения на молярную теплоемкость н сравнить оба ряда прн о =0,458, его=2,5. 1т'.7. Распределение Бозе — Эгзггнгтейна. Пусть /!э /г, /г', ..., /гг ~ — вероятности того, что в г-й фазовой ячейке находится О, 1, 2, ..., п частиц, так что дополнительныеусловияпмеютвпд: 2 /, =1, ~ ~и/г =Л, гвг чг оп и !!, г ~~' и/г г ег — — гг . Вычислить функцшо распределения вЛ гг; = ~„п/г" в равновесном случае, если логарифм термои динамической вероятности дается формулой 1п Ие = — ~ (/"; 1и /чг+ /; '1п /(+ /; !п / =,' ), ! т.

е. представляет сумму больцмановских членов, Задачи 1У.8. Флуктуации плотности. Вычислить пространственные флуктуации плотности в элементе объема ар газа, заполняющего сосуд объема г'. Предполагается, что средняя плотность газа во всех точках одинакова. 1У.9.

Флуктуации плотности в критической точке. Рассмотрим реальный газ, Л молекул которого находятся в объеме У. а) Каков вид уравнения Ван-дер-Ваальса в этом случае и каковы критические значения? б) Вычислить термодинамическим путом логарифм сум- / 3 мы состояний из термического н налорического ~с, = —. ЯТ) уравнений состоянии, учитывая, что прн высоких температурах Т и малых плотностях Л'/У реальный газ ведет себя как идеальный. в) Определить относительную средщою флуктуацию числа частиц в объеме а'г' на основании формулы (=.) =- за)а н!л~ои „) Л'дна сод)Ча Рассмотреть случай малых отклонений от состояния идеального газа и критическое состояние. г) Обосновать эту формулу для флуктуаций, исходя из уравнения (40.15). К ГЛАВЕ У У.1.

При помощи законов сохранения энергии и импульса вывести формулы, связывающие скорости до удара т„ч, и скорости после удара ч,', т,', если массы равны т, и т,. Показать, что для этого преобразования справедлива теорема Лнувилля о равенстве фазовых объемов. Определить среднее отношение разностей энергий до и после удара.

При усреднении принять во внимание, что все направления линии центров равновероятны и что направления скоростей км т перед ударом статистически независимы. Указания к реиеениеа кадка 429 УЬАЗАНИИ Ж РЖШИНИЮ ЗАДАЧ' 1.1. Из равенства г=г(х, у) для произвольных приращений е/х, с/у получаем '=(23,"*+(~;)."' (ц Пусть теперь приращения с(х и сьу связаны таким образом, что Ыг исчезает. Тогда их отношение есть (ду/дх),, и из выражения (1) находим г~ (де/дх)р дх,/е (дг/ду)„' откуда легко получить доказываемое соотношение.

Подставляя в предыдушее соотношение вместо г(х, у) уравнение состояния р= р(Т, У), получаем (-',"-) ~Т) (У) =- или, принимая во внимание (1.5) и (1.6), 1 1 — И вЂ” „— „= — 1 Уа ра (3) т. е. рр =ахи'г. 1.2. Для нагревания комнаты от 0 до 20'С необходимо каждой единице массы сообщить количество тепла ср 20'.

Далее, (ср — сь)„,я,= В и, кроме того, для всех двухатомных газов (а следовательно, и для смеси их, в частности для воздуха) отношение с /с„=1,4. Отсюда следует ср маяь = 3 5В (1) ср 3,5 — = 3,5 — кал/г. еред. Л 2 (2) Здесь использовано значение В из (4.8); для )ь подставлено среднее число молей Хг и О,.