Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика.djvu), страница 65

К интеврирование кинетииеевоео уравнения овд получаем (в сокращенной записи) д Хци — д еР (ИЕЗЪ+ ' ' )+ Риеивии]+ д Гре + де [ (бый>и+ ° )+Р(дриеие+ ° ° )+ + р(дии и„+...)+ Ри;ии„и, ~— — ~~(/еб,.и +...) — (/,и и„+...). Вновь объединяя соответствующие члены, находим следующее, более обозримое выражение: ~ др 1е,, -— ~ „р+рйтц)(иеЪ -~ ...)+ + — ', [3„(Рф-/,+ф)+...~+ +р [о —.( р)+... ] +(р-~ йт(рп)] и и и„+ +р[ЯИ+'д и;)+ "1 Отсюда на основании уравнений (43.15), (43.18) и (43,.25), в которых следует положить о,д — — О, Я=О, и принимая во внимание, что р/р=(й/т) Т, получаем нли в силу (44.7) Хе „=Х( д. Ь д+... ) + (ИеУь +...

). (44.8) Ниже мы увидим, что величины Х,и и ом пропорциональны друг другу. Так как в левых частях уравнений (44.4) и (44.5) мы положили ом — — О, то следует также и в уравнении (44.8) опустить У „. Окончательно получаем УЦи — ( д дев+ д бы+ ддйц) (449) 396 Гл. 'в' Основи точной кинетической теории гавов Отсюда вытекает выражение для шнура л.= —— 5йр дТ чво т дй (44.10) 1 Г двУов д/в Пв = 1о1ов + 2 †, 'ев ( /о Эс †,„,~=, — + 1ов й-„й, ,~— в о Увч дв/о — — ~ ее ~ 1о -( 1ов э, э.

э, )-( .. (44.11) Так как первое слагаемое никакого вклада в момент не дает и так как квадратичные члены о„в и вл „, встречаются лишь в четвертом порядке, то искомый момент представляет собой в данном приближении линейную однородную функцию относительно ое, и (л „,.

Моменты в уравнениях (44.4а) и (44 ба) точно так же, как и коэффициенты а;к и Д;,к, являются симметричными тензорами. Так как в данном случае играют роль только тензоры опн (7;,.к и единичный тензор о;„, то можно утверждать, что моменты относительно интеграла столкновений имеют следующий общий вид: Уво —— аом, (44.12) У;,,= да„+ Е„.б.а+а,Р„+ Е„,б;,) В первом уравнении (44.12) отсутствует член, пропорциональный с,к, так как в силу однородности о,, = О. Используя уравнения (44.7) и (44.9), можно при помощи уравнений (44.12) вычислить коэффициенты разложения о;„и Д,,к. Они пропорциональны соответственно о;„и ((дГ(д() й,к-( (дТ)д7)йы -, '(дТ(д7с) 3;,.].

3. Вычисление моментов относительно интеграла столкновений. Моменты относительно интеграла столкновений даются выражениями (43.12а) или (43.13) и обращаются в нуль, если заменить ~ функцией распределения Максвелла. Следовательно, в данном случае необходимо учесть поправочные члены. Самые низшие члены в разложении произведения О, согласно (43.7), имеют вид д И. Л' интегрирооанию кинетического уравнения 397 Обозначения для множителей пропорциональности выберем в соответствии с (43.196) и (43.33а), тогда получим дТ о;„= — 2оепн ф = — к — .

(44.13) При этом последнее равенство в силу (43.24) вытекает из выражения для тензора (7;он: 2ис дТ дТ дТ Коэффициенты внутреннего трения и теплопров одно сти ч и к получаются из уравнений (44 12). Если в них подставить выражения (44.13) и (44.13а), то получатся два уравнения, которые надо отождествить с уравнениями (44.7) и (44.9): Хсн — — — 2~7ааси — — 2рани 2и(Ь+Ьс)(дТ + ) Ар ~ дТ + ) Отсюда находим т1= — —, и=в р 5Ьр 5 а /с а ' 2н(Ь+5с) 2 Ь+5с т = + — — — с. (44.14) Следовательно, чтобы определить о и к, необходимо лишь вычислить а и Ь+бс. Подставляя, выражения (44.13) и (44.13а) в (43.7), получаем для функции распределения Выраясопия (44.13) и (44.13о~) совпадают с (43.196) и (43.33а) и дают обоснование уравнений Навье — Стокса н уравнения теплопроводности, как уже было показано в (43.336).

Плотность источников энтропии (43.33) оказывается существенно положительной (как это и должно быть), если положительны величины и н т, (см. п. 4). 4. Коэффициенты внутреннего трения и теплопроводности. Мы должны еще вычислить интегралы (44.4а) и (44.5а) н связать нх с выражениями (43.13). В интег- ралах (44.4а) и (44.5а) можно преобразовать слагаемое с множителем 1'1а. Поменяем местами переменные т', та' и т, т,. В силу (41.12б) и (41.16а) значения с(Ес(Е, и ~ Че ~ при этом не изменяются; первый множитель меняет знак на обратный. Таким образом, можно представить (44.4а) и (44.5а) в виде т + 4 ~ (р +у ар Чг) 1ЯЧе~е(оасгЕегЕ, (44.16) и выполнить интегрирование в два этапа.

Так как функции распределения 1 н /, не зависят от направления вектора е, то прежде всего можно выделить интегрирование по углам: 1т=1т(т, т,) = + 4 ~ (р'4-Ч,' — Ч вЂ” Ч,)~Че~гаоа. (44.17) Рассматривая специально 1т при е = Е;Ед и Ч = ЕгЕ Ею имеем 1м — — + 4 ~ (Е(Ео+ Е(гЕ,'о — Е;Е,— ЕмЕ„) ~ Че~е(ао, (44.18) 1гао= + 4 $ (Е(ЕЕк+ Е(гЕ(йЕгк — ЕсЕń— ЕмЕмЕм) |Че | Ыоа. (44.18а) Здесь Ч вЂ” относительная скорость. Если ввести наряду 1 с этим среднюю скорость Е1= — (т+ тг), то получим т=и — — Ч, т,=Е)+ — Ч, 1 2 ' г 2 (44 19а) и на основании (41.12) где Ч' Ч вЂ” 2 (Че) е. ЗЕ8 Гл.

У. Основы точной кинетической теории гогов т =Е) — — ,'Ч, «;=Е)+ —,'Ч, (44,19б) (44.19в) у И. К интегрированию кинетического уравнении 399 После элементарного преобразования получаем (Ее!1»+ Е!еЕ!» — ЕеЕ» — Е еЕ д) = = 2 (Че)д еде» вЂ” (Че) ($'гед-~ $'де!) = Уц„(44.20а) (Ег!ЕеЕ»+ ЕееЕ!7Е!д — ЕеЕ,Ед — Е„ЕыЕм) = = (ЕРУ,, (. Ц,.У„. + ЕР„Ч,,). (44.20б) Интеграл (44.18) зависит, согласно (44.20а), только от вектора Ч. Так как результат должен представлять собой симметричный тензор со шнуром, равным нулео, имеем 4 ( ' д 3 за,е' ' Из (44.18а) и (44.20б) получаем 1е!д — — (Уг1! + ЕР,.7»е+ Ц,10).

(44.21) Постоянная 7 получаетсн из рассмотрения частного случая г г»УдУ» = 1— ' У' = — $ У е)' — у" (Че)') ~ Че ~ !Е = ! 2, елэд)ед ~ (ев ед),1е атв Чв В о Таким образом, 7 = — к и е!»ии — 4 де (! гве» у~о!д) . (44.22) Уравнение, определяющее момент относительно интеграла столкновений, согласно (44.16) и (44.17), имеет вид У, = ~ 7,1~! ЕЕ ЕЕ!. Здесь произведение рр! дается формулой (44.11). Первый член ее не дает никакого вклада. Две следующие пары слагаемых можно объединить, так как уравнения (44.21) и (44.22) симметричны относительно ч и т!. Получаем 400 Ги.

4е. Основы точной кинетической теории вазов При помощи интегрирования по частям производные можно перенесън на 1». Тогда вместо 112 появляется функция в — зт<П- »2 — уев (44.24) Отсюда следует„что интеграл по нечетным полнномам от У/(У) исчезает, так что (44.23) дает (осли принять во внимание (44.22) или (44.21)1 1н2=2» (<Звее $ з~ г»ве У»Уове(1й12 ~ ' ' ') ' Остальные члены суммы получаются круговой перестановкой индексов 1, 1', »с.

Интеграл в первом из выражений (44.25) симметричен относительно й и гг, н шнур его исчезает. Отсюда следует, что гу ср- УОУО2«12(12= (6~А2+'22622 — -422622) ау„зк, о (44. 25а) Численный множитель найдем, придавая индексам какие-нибудь конкретные значения; пусть, например, 2 =с=я, А =г=г. Тогда (1 + 1ев нв ) ~о/22 й1 2(12. Подставлна сюда вместо 12122 выРажение (44.24), можно выполнить интегрирование по 21 и по направлениям вектора че. Следовательно, находим Ов о или 2н" Чв 1 = — —, тпого~ — ') = — — лого (злйТ)212.

(44.26) 5 З И. Л' интегрированию кинетического ираененил 401 Подставляя (44.25а) в выражения (44.25), получаем в соответствии с формулами (44.12) 2 Хгк — — — (они У;„=-ж,„-;7(Е;„.5„' ".). 3 1 (44.27) Сравнение с (44.12) дает а=2 —, 6=3 —, с= — —, †. (44.27а) Х 1 1 1 р ' 3 Таким образом, из соотношений (44.14) и (44.26) находим з=. — Я= — „',( кт)н, (44.28) а Ь 15 Л (44.28а) 2 5+5с т 4 гн Для одноатомных газов измерения дагот следующие зна- чения: Не г(е Аг Кг Хе — = 0,98 1,00 0,98 1,02 1,03 дии ч дро о о ко дк т дх (44.29) Здесь р„— средний импульс одной молекулы в направлении оси у и — поток импульса через единицу площади элемента поверхности, перпендикулярной к осп х.

Во второе выражение (44.13) подставим соотношение (44.28а) и введем вместо температуры локальнуго энер- Согласие очень хорошее, особенно если учесть, что представление об атомах как о твердых шарах, казалось бы, должно быть пригодно лишь с качественной стороны.

Интересный результат получается при сопоставлении выражений (44.13), если применить первое нз них к ламинарному течениго, т. е. считать, что п=(0, и„(х), О). В этом случае мы имеем д дд. Проводимость и вааои Видемана — Франца 403 н далее СН, СО, С,Н, 1+ — =1,74 1,64 1,66 (вместо 1,75). В выражении (44.28) значение '~Т пропорционально средней скорости. Легко вычислить, что -о 2Р2 с мв с = — (ит1еТ)'!ь.

Отсюда следует 5и пьс 32Р2 ие' (44.30) Подставляя сюда выражение 1= 1/пагв )Г2 из (27.11) (1 имеет порядок длины свободного пробега), получаем 5а — р! с с= — р1с=— 32 2,04 (44.30а) (45.1) т' =т — 2(те) е. 1 45. ПРОВОДИМОСТЬ И ЗАКОН ВИДЕМАНА — ФРАНЦА 1. Кинетическое уравнение и уравнение переноса для электронов в металле. Кинетическое уравнение для электронов в металле отличается от уравнения Больцмана (41.18) следующими особенностями: во-первых, следует учитывать только столкновения между электронами проводимости и ионами решетки, во-вторых, поскольку последние гораздо тяжелее первых, можно считать, что при столкновениях ионам передается только импульс, но практически не передается энергия.

Очевидно„последнее строго не выполняется, так как электроны, согласно 3 39, участвуют в тепловом равновесии. Однайо в первом приближении закон сохранения энергии по сравнению с законом сохранения импульса можно не принимать во внимание. Если т — скорость электрона перед столкновением с ионом решетки, рассматриваемым сначала как твердый шар (фиг.