Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика.djvu), страница 68

1.5. Один моль идеального газа обратимо расширяется до удвоенного объема: а) при постоянном давлении, 418 Задачи б) изотермичесни, в) адиабатически. Каковы работа расширения, количество подведенного тепла и изменение энтропии газа? 1.6. Представим себе цикл Карно с водой в качестве рабочего вещества. Температуры холодильника и нагревателя равны 2 и 6'С, так что при 6'С имеет место изотермическое расширение, а при 2' С вЂ” изотермнческое сжатие. Следовательно, если давление является достаточно низким, то при обеих температурах подводится тепло (см. (7.10)) и полностью превращается в работу, что находится в противоречии со вторым началом.

Требуется разрешить это противоречие. Для этого удобно вычертить адиабаты и изотермы в плоскости Т, о прн температуре окружающей среды 4'С. 1.7. Показать, что в общем случае отношение изотермичесной сжнмаемости к аднабатической сжимаемости, как и в случае идеального газа (см. т. П, Механика деформируемых сред), равно отношению удельных тепло- емкостей при постоянном давлении н постоянном объеме, т. е. хг вэ — '= —, если хв= — — ~ — ~, хт= — — ( — ) хв с„' Для этого выразить дифференциал в(д через ап и в(р и показать, что Тдг — Йд — с ( — ) гЬ+св( — ) в7р, 1.6. Один килограмм воды изотермичесни сжимают при 20'С от давления 1 ат до давления 20 ат.

Вычислить затраченную работу, отведенное количество тепла н увеличение внутренней энергии. Средняя ся~нмаемость х=0,5 10 в на 1 ат, средний коэффициент теплового расшения а = 2 10 в на 1'. Использовать уравнение (7.7а) и приведенное в указании к решению задачи 1.1 соотношение (2). 1.9. Адиабатическое равновесие атмосферы. При так называемом конвекционном (адиабатическом) равновесии воздуха, которое особенно хорошо проявляется при ветре, величина рот не зависит от высоты, если ив молярный или удельный объем.

Если использовать связь К главе з между давлением и плотностью, справедливую при равновесии газа в поле тяжести, то из этого соотношения вытекает линейное падение температуры с высотой. Измерения дают величину 1' на 100 м. Найти соответствующее теоретическое значение и вычислить высоту атмосферы, описываемой в общем случае уравнением политропы ро" = сопэс, где и — степень политропы.

Вычислить, в частности, высоту адиабатической и изотермической атмосфер (для последней п = 1) при температуре Земли 0' С. 1.10. Истечение газов. Вычислить конечную температуру и верхшоюграницу скорости истечения перегретого водяного пара при начальных температуре 300' С и давлении 5 ат. Предполагается, что через соответствующее сопло газ адиабатически расширяется до давления 1 ат. При вычислении исходить из того, что кинетическая энергия не превышает (в крайнем случае равна) разности энтальпий сжатого и расширившегося газа (см. 14, и. 2).

Доказать это можно на основании уравнения Бернулли длн сжимаемой среды (см. т. П,Механика деформируемых сред, 1 11) при условии стационарности потока и отсутствия завихрений. 1.11. Изотермическое равновесие атмосферы. Газ находится в закрытом ящике в поле тяжести Земли. В этом случае к внутренней энергии добавляется потенциальная энергия. Последняя зависит от высоты над поверхностью Земли. а) Определить условия термодинамического равновесия, разделяя газ на ячейки (с номерами ~) объема Р, и высоты з, над поверхностью Земли.

Считать, что каждой из нчеек соответствует определенный удельный объем о, н температура Т;. Вычислить максимум энтропии при заданных энергии, количестве н объеме всего газа. б) Показать, что температура не зависит от места. в) Показать, что потенциал Гиббса не зависит от координат точки, если в его определение включить потенциальную энергию (ср. электрохимический потенциал в $18). г) Вычислить плотность как функцию высоты, предполагая справедливым уравнение состояния идеального газа. Задачи д) Вычислить разность высот, для которых разность потенциальных энергий одного моля составляет ЛТ.

1.12'). Дано уравнение состояния ро = еи(Т, о), где и(Т, о) — внутренняя энергия, а — постоянная. 1. Показать, что внутреннюю энергию и и удельную энтропию г можно представить в виде и = о-"р(То"), г = Е(То*), где р — произвольная функция своего аргумента и е' (х) = = хф' (х). 2.

Показать, что и/о=аТм+'Л», если плотность энер- гии и/о зависит только от температуры Т. Это справед- лино, например, для черного излучения при и =— (см. $ 20, п. 2) и для Бозе-газа из /т' частиц массы т ниже температуры Т, ь (йлз/ий) (Л'/о)чз при а= — .(кон- денсация Эйнштейна, см. 8 38). 3. Доказать, что вблизи абсолютного нуля функция ?(То") имеет степенной вид ? (То ) =СТ о (т > О). а) Определить связь между а и т, налагаемую усло- вием динамической стабильности (др/до)г < О. б) Пусть и — »О при Т вЂ” О. Тогда, согласно соотноше- нию неопределенности, о= о(Т, р) > О также при Т вЂ” » О.

Какое требование налагается неравенством о(Т, р) > О на связь между а и и? в) Найти выражение для внутренней энергии и вид уравнения состояния, учитывая результаты задач 112.3а и 1.12.3б. 4. Какой вид имеет степенной закон (задача 1.12.3), если прн Т вЂ” »О и(Т, о) стремится к некоторому конеч- ному пределу? К ГЛАВЕ 11 11.1.

Вывести из уравнения (14,11о), что выражение рУ представляет термодннампческий потенциал для независимых переменных Т, р, )»;. (Это обстоятельство суще- ') Ок. Н. Г) и Ы ей ег, Гауз. Вет., 74. 8С5(1948). Л' влавв в'в 421 ственно в теории больших канонических ансамблей в статической механике; относительно специального применения см. з 40.) П.2. Температурный ко»ффициент теплоты испарения вдоль кривой давления пара. В формуле (16.14а) было использовано экспериментальное значение для «1г/«1Т. Вычислить теоретическое выражение для этой величины, образовав ее дифференциал (исходя из определения г=йй).

Использовать уравнение Клаузиуса — Клапейрона и некоторые соотношения, приведенные в таблице з 7. П.З. В теплонепроницаемом закрытом котле объемом 20 л находится 1 кг воды при 10'С, образуя жидкую и парообразную фазы. Какую энергию следует подвести, чтобы нагреть содержимое котла до 200'С? Указание: удобно представить себе, что конечное состояние достигается в результате следующих переходов: а) изотермическое сн<атие вплоть до полного снвпжения, б) изотермнческое сжатие от давления пара р = 0,0125 ат при 10' С до давления р = 15,86 ат (давленпе пара прн 200'С), в) нагревание при постоянном давлении без образования пара (е„= 1 кал г 'град '), г) изотермическое расширение (испарение) до первоначального объема.

Количеством тепла, подведенным в процессе «б», и работой расширения в процессе «в» пренебречь (см. также задачу 1.8). При 10'С: теплота испарения с=591,6 кал/г, удельный объем жидкости о, = 1,00 дм»/кг, пара э, = 106,4 л«»/кг. При 200'С: в=463,5 кал/г, о, = 1,16 д.и",кг, о,=0,127 м'/кг. П.4. Реализация термодинамичеекой температурной «пиалы. Показать, что из уравнения Клаузнуса — Клапейрона Те/р/е/7 =г/(ов — от) можно вычислить абсолютную температуру Т, если величины г, еп и от известны как функции давления пара р. П.5. Давление паров ртути составляет: а) при 50'С 0,0127 торр и при 60'С 0,0253 торр, б) при 300'С 247 терр п при 310'С 305 торр.

Вычислить в этих интервалах теплоту испарения г, предполагая ее постоянной внутри каждого отдельного 422 овдачи интервала. Удельным объемом жидкости пренебречь; считать, что пар ведет себя как идеальный газ. В промежутке между двумя интервалами линейно интерполировать г и вычислить отсюда кривую давления ртутного пара.

Экстраполировать формулу для кривой давления пара к температурам выше 300' С и вычислить температуру кипения при давлении 1 атм = 760 торр (правильное значение 356,7'С). П.6. Рассмотреть газ, молекулы которого могут находиться в трех энергетических состояниях в„в„в, (вд — ев и в, — в — энергии возбуждения первого и второго возбужденных состояний), как смесь трех газов, молекулы которых обладают соответственно внутренними энергиями вв, в„в .

Вывести условия равновесия между ними, предполагая, что постоянная энтропии одинакова для трех газов и что возможны переходы О, 1 и 0 . 2. Показать, что результат не изменится, если возможны также и переходы 1 2. П.7. Л' принципу детального равновесия. а) Вычислить разности химических потенциалов «, — рв н р, — Э в в предыдущей задаче для незначительных отклонений чисел молей и< от их равновесных значений и;. б) Сделав следу<ощие предположения об изменениях чисел л„н„л;. изменение в секунду, например, величины и, происходит вследствие того, что часть частиц, пропорциональная наличному их числу йы п„переходит в состояния 0 и 2, в то время как части, пропорциональные и, и и, (ймно и й,вн,), переходят в состояние 1, написать уравнения для <<л</«с. Здесь содержится предполох<ение, что число переходов из одного состояния в другое зависит только от числа молекул, находящихся в первом состоянии, и пропорционально их концентрации. в) Показать, что из этого предполох<ения следует закон действующих масс [см.

уравнение (3) в указании к решени<о предыдущей задачи], если отношения и,/и, н и,/и, не зависят от и, и и,. Сравнение с упомянутым уравнением (3) дает два соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты /<ео г) Выразить величины и,. в найденных в задаче П.7б уравнениях для «и</Й через разности и,— р и р — ро К злаве Ш 423 при помощи соотношений, выведенных в задаче П.7а.