Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика.djvu), страница 66

37), то скорость т' после столкновения равна 404 Гл. 1', Осноои точной кинетической таврии еаооо Здесь, как н прежде, е — единичный вектор в направлении линии пентров. Изменение импульса Ьр = т (ч' — ч) = — 2т (че) е, (45.2) а изменение энергии 4Е = —, (»' — «') = О. (45.3) Если через 1 обозначить функцию распределения электронов, то левая часть кинетического уравнения (41.18) останется неизменной.

Однако интеграл столкновений изменится. В подинтегральном выражении останется только один множитель /. Другой множитель заменится вероятностью встречи электрона с ионом решетки. Последняя определяется плотностью ионов п,. Обозначив через г радиус иона, получим совершенно так же,каки в$41, п.4, лтот1 = = — поз~ ~ (че)1(г, ч,1)сЬ, 1 у с = —.п гт~ ~ че~/(г, ч— 2 (че) е, 1) сом. (45.4) Если ввести длину свободного пробега с =1(псков, то кинетическое уравнение примет вид — — + ч — + — Р— = — ~' ,че ~ Ц' — 7') с(а. (45.5) д/ д! 1 д/ 1 Г, дс дг т дч 2и1 Фиг.

37. К столкновениям между влектронами проводимости и ионами решетки. Здесь фуньпия 1' зависит от аргумента ч', определяемого выражением (45.1), так же как / зависит от ч. Согласно нашему исходному представлени1о, длина свободного пробега с должна быть постоянной. Однако это представление бесспорно является очень грубым. Чтобы оно лучше отражало действительное положение вещей, предположим, что с зависит от скорости электронов и от некоторых свойств д дд.

Проводимость и вакон Видемана — Франца 405 решетки — прежде всего от ее температуры. Более точное определение требует привлечения методов волновой механики, чего мы здесь делать не будем. Уравнение переноса для функции р(ч) получается аналогично уравнению (43.11).

Умножая уравнение (45.5) на р(ч) и интегрируя по ч, находим — (рср)+ с(1ъ. (Р<рч) — пр( — д ) = о'(ср). (45.6) Здесь о'(ср) обозначает момент функции ср относительно интеграла столкновений: Х(р) = — $ т (У' — Я с,7т К = = — $ — ссЕ ~ (<р' — ср) с1со. (45.5а) Очевидно, законы сохранения массы и энергии справедливы, как н прежде, так как прн ср= 1 и р=чв/2 имеем Ес' — ср = О. Однако вместо закона сохранения импульса появляется уравнение д —, (рч) -,'- П!ч [р (ч ! ч)] - пр = 2 ~ —, ссЕ ~ (ч' — ч) ! че ~ с(и.

(45.7) Интеграл по со, согласно (45.1), равен (ч' — ч) ~ че ) ест = — 2 ~ ) че ! (че) е Ыт = — 2кэч. (45.8) Отсюда следует, что правая часть представляет собой однородную вектор-функцию степени 2 от ч. Чтобы найти численный множитель, умножим (45.8) скалярно на ч и разделим на рв. Получим †, ~ (ч' — т)( че ,'сссо = — 2 ~ 1С1вЖс(~ = — 2а. Поэтому уравнение (45.7) принимает вид д, (Рч)+П)ч [р(ч/ч) — пр= — Р~ с е) . (45.9) 2. Приближенное решение кинетического уравнения.

Рассмотрим решения уравнения (45.5), близкие к равно- 406 Га. 4е. Основа точной кинетической теории завов вескому решению ~ . Их можно найти, если, как и в $42, исходить из принципа энтропии. Из выражения для плотности энтропии (38.9) 2тз Н = — к ~) и 1п п + (1 — п) 1п (1 — п) ) —, ее с после дифференцирования по времени получаем дН С н '2тз — = — к ~~ 1п — п — вК. дс 1 1 — и У В силу уравнения (45.5) и так как ~=(2тз,ейз) п, правая часть этого уравнения принимает вид 2тз ййт ~ т]п1пи+(1 — и) 1п(1 — п)] — „, е(з+ Следовательно, получаем —,+а)тЗ=С. дез' де Здесь п,зотносзпь потока энтропии 8= — й ~ т]п!пп+(1 — п)1п(1 — п)) — „,' с(з (45.11) н плотность источников энтропии и=по(Е), Е= 2' т'.

(45.12) Этот результат является очень неопределенным. Здесь сказывается пренебрежение взаимодействием электронов. Прп равновесии плотность источников С должна обращаться в нуль. Так как функция п/(1 — п) монотонно растет с увеличением п, то подпнтегральное выражение не может быть отрицательным. Поэтому равенство С =0 возможно лишь при п'=и.

Так как пз всех интегралов столкновений этому условво удовлетворяют лишь 1 и тз, то / должно быть функцией только энергии: д дд. Проеодиэеоензь и закон Виде. чана — Франва 407 Мы должны представить себе, что в уравнении (45.11а) к С присоединен еще один член [аналогичный соответ- ствуюэцему члену в (42.12)), обусловленный столкновения- ми между электронами. Обычно этот член мал.

Однако если выполняется условие (45.12), т. е. если л зависит только от энергии, то остается только он один. Если бы значение С определялось уравнением (42.12), то для получилось бы распределение Максвелла. Однако известно, что электроны подчиняются распределенизо Ферми. Не входя в обсуждения вопроса о возможном изменении выра- жения для плотности источников энтропии С, следует поло- жить, согласно (39.5), з 2 э7аз Уо аэ о 11в-П е +1 (45.12а) Здесь р и ( — параметры, которые в данном случае могуэ еще зависеть от координат и времени; 3 = 1)нТ, ( означает свободную энтальпию, приходящуюся на один электрон [см.

уравнение (39.4)]. Только в формуле (45.12а) и заключается различие между теориями электропроводности Зоммерфельда и Друде — Лорентца. Еще в одном пункте формулы (45.12) и (45.12а) отличаются от прежних результатов. Равновесное распределение более уже не относится к локальной средней скорости.

Математически отсюда следует, что импульс электрона прн столкновении не сохраняется. Физически также понятно, что распределение электронов изменяется, если система электронов движется относительно решетки, остающейся неподвижной. Это означает, что теперь в разложении функции распределения 7 по производным от равновесного распределения /о появляются также и производные первого порядка: д/о 1 д'/з 1 дз!о ~=1 — и — — —.а - — — К ° . + = о о д1„2р э~ д=„д1з бр '«дзод1~ дэ« (45.13) Следуя Зоммерфельду (и Лорентцу), используем здесь несколько иное приближение. Так как 7' зависит от энергии Е, член первого порядка можно записать в виде — ио — = — и (иаЕ„) !' дуо дно о 408 Го. И.

Основа точной кинетической теории вавов (дифференцирование по Е обозначается штрихом). Более высокие члены разложения в (45.13) содержат выражения такого же типа. Если О.,. =-, (О„8,. + О,Е.„+ Е„Ец) 2 (или если выделить из (вц часть такого вида), то в качестве вклада от члена третьего порядка получим (сия яв (ткЕА) ~~о+ з '~во ) аЕн8, Для этих выражений характерно, что они имеют форму У„(Е)Ен и что козффициенты Ук кроме координат и времени зависят еще от энергии Ь', но не зависят от направления скорости. Поступая таким же образом со всеми членами уравнения (45.13), получаем ряд следующего типа: !=~о(Й+Ук(Е) Ев+ — Уц (Е) ЕдЕ,+ .

(45 14) Можно считать, что здесь более высокие коэффициенты разложения представляют симметричные тензоры, шпуры которых исчезают. Таким образом, имеем Гон=О, У„ц — — О и т. д. Если, например, Уци ~ О, то этот тензор можно представить в виде (~цт = ('Йт+ (~'А. + ~' Етк+ ~'тбц) подобрав входящие сюда величины так, чтобы выполнялось условие Укк = О. Для это следует лишь положить Унд — — 5)е . Поэтому первый член принял бы нужную форму, а второй дал бы вклад в ряд (45.14) в виде 2 (РкЕн) Ее = — ~к (~) Е„.

3 в ЪК Это, очевидно, можно включить во второй член ряда (45.14). Подставим теперь выражение (45.14) в кинетическое уравнение (45,5), сохраняя в обеих частях уравнения а дб. Правадимаеть и вакен Виденана — Франца 409 (т, — '+ГД)= — ~ ~ге~(т' — т)еЬ. (45.15) Правая часть, согласно (45.8), равна — — о (Пт). 1 ! Поскольку уравнение (45.15) должно выполняться прн любой ориентации вектора т, получаем П ~ (УР+ ~й ) (45.16) Вследствие этого функция распределения в первом при- ближении имеет вид 1=/в (а вь + дв )' (45.17) 3.

Плотность электрического тока и потова анергии. Плотность электрического тока в и плотность потока энергии % даются интегралами типа %„= 1 Е У7'е(с. (45.18) Именно, (45.18а) (45.18б) Х = — вы'а, % =%'г Из соображений симметрии первый член в (45.17) не дает никакого вклада в интеграл (45.18). От второго члена после интегрирования по углам получаем ьь 'ье'а = — — ~ (~ег (- — ') (Е"оее1о о Введем обозначение я (а) = —, а = р(Š— ц) 1 (45 19) е'+ 1 только первые неисчезающие члены.

Ограничиваясь ста- ционарным движением (д//д1= 0), получаем »Ю Гл. Ьс, Осноеи точной кинетической теории еаеое и выраенм о иа соотношения Е = (2/т) оз; тогда получим % = — ~ в' (е) ~à — — — + — — ) 1Е» и с1Е. 16» де, е 1 ддй е дд~ » ' ЗЛз ') (, а д а дг ) (45.20) Полагая Гз Р Г д (45'21 ) 1 ддэь 1 дд К» = аз д б (в) 1Е" 6Е, (45.21а) получаем выражение (45.20) в виде Цу» =- К»ьз Гз+ К»ьз Рз (45.22) или для интересугощих нас частных случаев Х = — е (К,Р, + К Г,), КзГз 1 КзГз. (45.22а) Исключая отсюда величину Е' = — — Рз — — — афтаб р = Е+ — ягас) ~, (45.21б) находим Е' = —,Х-,' , «,-1«, 1 ' — угас) р, е'К, е«д (45.23) ЧГ Л+ Кз Кс«з ' — ягаб р.

еК, Кз В»к еК Т (45.24б) Это согласуется с формулами (21.18а) и (21.18б). Отсюда находим проводимость а =езКз, (45.24) коэффициент Пельтье и= К*, (45.24а) абсолютную термо-э.д.с. д бб. Проводивеооть и кокон Видетана — Франца 41! и тепееопроооднослеь К,Ко — К,' (45.24в) 4. Закон Ома. Закон Ома можно получизь, если принять, что величины 1 и р не зависят от пространственныт координат. Действительно, в этом случае из (45.21б) следует, что Е'= Е, и соотношение (45.23) дает ,7 = оЕ.

(45.25) Это — закон Ома. Если вычислить интеграл К, по формуле (45.21а) для полного вырождения (8 39, п. 2), то для проводимости из выражения (45.24) получим 16итео!о Зйо Здесь 4 и 1 — значения й и1на границе Ферми. Согласно формулам (39.7) и (39.7а), плотность частиц равна 8кт'; т 3 ' 3 Зьв о' о 2 Таким образом, выражение для а можно преобразовать следуеощим образом: (45.25а) т оо Это — формула Друде (39.2). Здесь оо — скорость на границе Ферми, а 1, — значенпо длины свободного пробега для электронов с этой скоростью. Естественно, величина 1„определяясь свойствами решетки, мояеет зависеть от температуры последней.

И протнвополопекость этому оо от температуры по зависит. Лишь в случае почти полного вырождения в соответствии с $39, п. 2 о обнаруживает слабуео температурную зависимость. Последняя дается членом порядка (1еТ1епи'„) и практически является ненаблюдаемой. Впрочем, значение 1 можно вычислить нз измерений проводимости. Например, для серебра при комнатной температуре получается значение (если считать, что каждый атом дает по одному электрону проводимости) 1о ои 5 1О о см.