Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 65

Если р (х) есть кет-вектор! ~р'=», то комплексно-сопряженная ей функция ~р* (х) есть соответствующий бра-вектор (~рф. Скалярное произведение определяется интегралом: < рЧ>=5 *(х)((х) (х. (22) В качестве базиса выбирается любая полная ортонормированная система функций чи(х). Разложению функций по векторам базиса отвечает разложение в обобщенный ряд Фурье.

Соответственно проекции вектора ~ф), данного разложением ~зр(х)) =х с~!ср~(х)), р находятся как коэффициенты Фурье, т. е. с~ = (ср~1ф) =~ гр„(х) ф (х) йх, В случае непрерывного базиса, нормированного на б-функцию, имеем разложение в интеграл Фурье: ~ р (х)) =1 с (А) гр (й, х) Лй, где с(й) есть Фурье-образ функции с(и)= (~р(я, х)Щ(х)) =~ ~р*(и, х) ф (х) Их. Из сказанного следует, что математический формализм ф-функций, применявшийся на протяжении всего курса, сводится к случаю так называемого координатного представления векторов состояния (ф (х):, при котором ортонормированный базис составляют векторы (6 (х — х')>.

В этом базисе проекции вектора ф(х) на оси в соответствии с формулой (22) будут такие: ~ ф (х') 6 (х — х') Нх' = ф (х), т. е. получим непрерывную матрицу-столбец значений ф (х). Выше рассмотрено так называемое функциональное пространство. В нем функции можно формально свести к матрицам, если рассматривать матрицы-столбцы и матрицы-строки с непрерывно переходящими друг в друга элементами (матрицы-столбцы с непрерывной числовой последовательностью элементов по строкам и матрицы- строки с непрерывной числовой последовательностью по столбцам) Соответственно каждое значение функции Ь (х) — вектора гильбертова пространства — есть проекция этого вектора на векторы базиса 6 (х — х') и в то же время элемент непрерывной матрицы-строки или столбца. В дираковских обозначениях кет-вектор ~ ф (х) =» оказывается матрицей, индекс строки которой является непрерывным аргументом х.

Такой подход значительно расширяет возможности применения дираковских обозначений «бра» и «кет» для векторов гильбертова пространства. В частности, все формулы приобретают матричный смысл. 5. Операторы в линейном векторном пространстве В главе 1П рассмотрено понятие о линейном операторе Е, действующем на ф-функцию. Поскольку ф-функции могут рассматриваться как векторы гильбертова пространства, то целесообразно обобщение понятия о функциональном операторе на операторы, действующие в линейном векторном пространстве. Ниже такое обобщение выполняется в очень краткой форме, так как все основные сведения об операторах уже изложены в $7.

Предположим, что имеется правило, по которому вектору ~и> ставится во взаимно однозначное соответствие некоторый вектор (и>. Про это говорят, что вектор (и> получается из вектора ~и> в результате действия оператора А. (Здесь операторы обозначены только большими латинскими буквами без значка «/~».) Можно записать, что !и> =А(и>.

(23) Далее будут рассматриваться только линейные операторы, для ко- торых А (с,(а>+с«!Ь>)=с<А(а>+с«А(Ь>. Определим сумму операторов: М =А+ В, если А(а>+В(а> =М~а>. 297 Оператор М есть произведение операторов А и В, если А (В~а>)=М!а). Значит, при выполнении данного равенства М=АВ. Произведение операторов в общем случае некоммутативно, т. е.

АВИВА. Символом 1 обозначается единичный оператор; 1~а> =!а>. (24) Заметим, что 1 А =А 1 для любого оператора. Оператор А ' называется обратным по отношению к оператору А, если А 'А=АА '=1. (25) Операторы А и А ' коммутируют. (Но не все операторы имеют обратные к ннм операторы.) Скалярное произведение векторов ~ Ь ) н А ~ а ) записывается в виде СЫА!а). Оператор А+ называется сопряженным оператору А, если <Ь!А+!а> = (а)А~Ь>*. (26) Для самосопряженных нли эрмитовых операторов А=А+. Нам потребуются далее унитарные операторы, для которых А+=А ' и, следовательно, А+А=АА+=1.

В заключение укажем два полезных соотношения, доказательство которых предлагается читателю в качестве задачи: (АВ) '=В 'А ', (АВ)+=В+А+, 6. Собственные векторы н собственные значения операторов Если выполняется равенство А|а) =а!а), (27) то вектор ~а) называется собственным вектором оператора А, а число а — его собственным значением. Если равенству (27) удовлетворяет несколько линейно независимых собственных векторов ~а, ), то собственное значение называется вырожденным: А ~а.) =а~а,); т=1, 2, ..., 1, где 1 — кратность вырождения.

Можно показать, что коммутирующие операторы имеют общую систему собственных векторов. Можно также показать, что собственные векторы эрмитового оператора попарно ортогональны. Выбрав условие нормировки, получим ортонормированную систему собственных векторов. Самосопряженный оператор может иметь как дискретный, так и непрерывный спектры. (Случай смешанного спектра для упрощения записей не рассматривается.) Если спектр дискретен, то А ~1> =аА1> (й!1) =ба.

Если спектр непрерывен, то А!а) =а~а) и (а~а') =б(а — а'), где 6 (а — а') — б-функцня Дирака. Система собственных векторов эрмнтовых операторов, приме- няемых в квантовой механике, являетсн полной, т. е. для любого гильбертова вектора )и) справедливо разложение !и) =~ сА!), или ! и) =~ с(а)|а>с(а, где ~1> нли ~а) — собственные векторы самосопряженного опера- тора А. Из сходимости разложений к раскладываемому вектору следуют соотношения (и~и'- =Х с,"сь (и)и) =~с*(а)с(а)йа. (28) Они называются условиями полноты и замкнутости. Справедливо и обратное: если эти условия выполняются, то указанные разложения сходятся в среднем, например, ! )и) — Х сА1) ~'=0.

(29) Очевидно, что система собственных векторов эрмнтова оператора может быть принята за базис системы координат в гильбертовом пространстве. В приложениях часто используются операторы: 1=1~1) (1) и 1=) с(а~а) (а!. (ЗО) Их смысл определяется соотношениями 1~и> =1~1> (1!и> =Х иА1) = ~и>, ! 1~и= =~ Ма~а) (а(и=» =~ с (а)~а)да=!и).

Поэтому в гильбертовом пространстве операторы (30) совпадают с единичным оператором. Векторы и операторы в Г-представлении 1. Векторы в Г-представлении Выберем в качестве базиса в линейном векторном пространстве совокупность собственных векторрв любого самосопряженвого оператора Г. Для простоты предполагаем спектр оператора дискретным.

Вектор !!= есть собственный вектор, принадлежащий собственному значению !,. (Для перехода к непрерывному спектру нужно везде суммирование заменить интегрированием.) Разложим произвольный вектор по векторам базиса: ~а>=2 <!!а>!!>=Ха,1!>. Числа а,= (еа) расположим в виде матрицы-столбца: (а! > — аа Множество таких матриц образует линейное векторное пространство, находящееся во взаимно однозначном соответствии с исходным. Вектору !а> сопоставляется вектор в матричном пространстве ~а~). Свойства нового пространства совпадают со свойствами взятого первоначально. Поэтому говорят, что множество векторов ~а!) образует представление исходного векторного пространства. Вектор )а~) есть вектор !а) в Г-представлении.

Если кет-вектору !а- в Г-представлении сопоставляется матрица-столбец ~а!), то сопряженный ему бра-вектор (а! в этом же представлении изображается матрицей-строкой, сопряженной к ~а~): ( а~! = (а,, а , ...). 2. О п е р а т о р ы в Г-п р е д с т а в л е и и и Дано равенство !Ь) =А!а). Разложим векторы !Ь) и !а) по векторам базиса !Г): Х<!|Ь>!г>=А 2~<Ь!а>!Iг>=2 (Ь!а>А!Ь>. (!) Ф й Умножим теперь равенство (1) на !и). Используя ортонормированность базиса, получаем <и)Ь> =1<Ь!а> (п~А)Ь>, или 6„=2 А„~ам А,~=(л!А!й (2) Выражение (2) соответствует произведению матриц: Ь2 = Ам Азз ... а2 Матрица (А.х) переводит вектор ~а~> в вектор ! Ь~>. Поэтому ее следует рассматривать как оператор А в В-представлении: ~Ь~> =Ау>!а~>. (4) По правилам действия с матрицами найдем выражение, эрмитово сопряженное к выражению (4).

Получим (Ь~! = (а~~АД. (6) Элементы матрицы Аф равны: (Аф)м = (Аш)ь = < Уг $ А | с > ' = . ю ~ А + 3 й > . (6) Из равенства (5) следует, что бра-векторы в В-представлении преобразуются с помощью матрицы А~и, сопряженной с матрицей Апь Согласно (6) матрица АД совпадает с матрицей оператора Аь, сопряженного с А. Это дает основание для утверждения, что оператору А в данном векторном пространстве отвечает оператор А+ в сопряженном пространстве, т. е. равенству |Ь> =А|а> отвечает в пространстве бра-векторов равенство ( Ь! = ( а ~ А ь . (Операторы пишутся справа от бра-вектора, на который действуют.) Если А = г", то (п~А~Ь> = (и!Е~Ь> =)и п~й> =)~6 ь Таким образом, матрица оператора в своем собственном представлении является диагональной. Сумме операторов А и В соответствует сумма матриц АШ и Вш, произведению — произведение матриц Аш и Вп~..