Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 67

Часто используется представление взаимодействия, в котором от времени зависят как векторы состояний, так и операторы физических величин. Оно удобно, если можно выделить в гамильтониане малую часть ш, так что Й=Й0+ш и Й0 не зависит от времени. Ищем решение уравнения Шредингера (3) в виде — — '„ни !и> =е " ~д>. После подстановки имеем ! Н,е " !3>+Бе " — !д> =(Йо+ш) е !д>. Отсюда следует, что изменение векторов |й> определяется уравнением где ' й„„' ни о=е" ше " Изменение операторов определяется другим уравнением, в кото- рое входит только Нм Как следует из уравнения (2), — = — + — (Нв, В], ав ав ш а! а где ' Ви з йи В=е " Ае" В конкретных расчетах оператор Гамильтона Й0 описывает, например, систему невзаимодействующих частиц, а оператор ш учитывает их взаимодействие.

Отсюда и название представления. Представление взаимодействия очень удобно при использовании теории возмущений. Оно часто применяется в квантовой теории поля. 3. Координатное представление Далее предполагается, что эволюция системы описывается уравнением Шредингера (3). В этом случае для решения практических задач часто используется координатное, или, как его еще называют, шредингеровское представление.

В качестве базиса в гильбер- зоз товом пространстве выбираются собственные векторы оператора координаты х (в трехмерном случае — общие собственные векторы операторов х, и и г)х Очевидно, это 6 (г — г'). Уравнение х)х') =х'~х') должно иметь решение при любом вещественном х', так как частица может находиться в любой точке пространства. Следовательно, спектр оператора х непрерывен. Условие (х'~х") =6(х' — х") выражает ортонормированность базиса. Состояние системы в х-представлении описывается непрерывной матрицей-столбцом ф (х): ф (х)= (х)ф), где ~ф) — вектор состояния системы. Оператору х в данном представлении соответствует диагональная матрица: ххг=хб (х — х').

Действие этого оператора на вектор ф (х) определится равенством ~ х„„ф (х') дх' = ~ хб (х — х') ф (х') сХх' = хф (х). Оно сводится к умножению матрицы ф(х) на переменную х. Введем оператор р„„,, определяемый квадратной непрерывной матрицей: рьг= — Иб (х — х') —. (10) Подействуем им на произвольный кет ~ф), также взятый в х-пред- ставлении: р„, ~ ф (х') ) = — (Ь 1 б (х — х') — х с~х' = — 1Ь~.

дх дх Специальная проверка показывает, что операторы х„„, и рхг удовлетворяют коммутационным соотношениям (1). Поэтому оператор ргг следует отождествлять с оператором импульса в шредингеровском представлении. Нетрудно видеть, что в координатном представлении можно вообще отказаться от понятий о векторе н операторе, выраженных на языке линейной алгебры. Для описания достаточно использовать состояния системы функций от координат ф (х) и действующие д иа них функциональные операторы х=х и р= — И вЂ”. Операдк' торы всех других величин находятся как функции от операторов координат и проекций импульса. Такой способ изложения квантовой механики был принят в предыдущих главах данного курса.

зоэ 4. Импульсное представление Из физических соображений спектр собственных значений оператора импульса предполагается непрерывным, поэтому матрица оператора в своем собственном представлении есть р„.=рб (р — р'). Произвольный вектор ~кр'- в р-представлении изображается матрицей-столбцом: Ф(р)= (ФФ). Действие на него оператора рьг сводится к умножению на значение импульса р: ~ рб (р — р')(и'~кр) ор'=~ рб (р — р') $ (р') др'=рф (р). Из симметрии коммутационных соотношений (1) и вида формулы (10) заключаем, что оператор х в импульсном представлении имеет вид хьг=ИЬ (р — р') —.

Уравнение на собственные функции и собственные значения оператора импульса в координатном представлении записывается в виде — 1й-~Р~~-=РкГр(х) (кйр(х)= =х~Р - ). Нам известны его решения: Его решения: <р~х) =кр„(р)= — е ! ,(аы (11) Пусть известен вектор состояния (волновая функция) в координатном представлении. Переход в импульсное представление осуществляется обычным порядком (см, предыдущую часть, п.

5): (р~кр) =~ <р(х) (х~кр)с(х=~ $, (р) $ (х) с(х= ~рк = = ~ е " кр (х) г(х. -ткзлй (х~р) =крр(х)= — е" 1 /з. а Аналогично собственные функции и собственные значения оператора х в импульсном представлении находятся из уравнения 1Ь вЂ” х*(ек=хкГ„(р) (кф, (р)= (р~х)). Таким образом, функции (! !) играют роль матрицы перехода. С ее помошью переводятся в импульсное представление операторы физических величин.

Матрица (р!ф) есть коэффициент разложения волновой функции ~р(х) в интеграл Фурье по системе собственных функций оператора импульса. 5. Гармонический осциллятор в энергетическом представлении В качестве примера применения энергетического представления рассмотрим задачу о гармоническом осцилляторе. Она была решена ранее (см. $ б, п. 3) в координатном представлении. Для осциллятора оператор полной энергии имеет вид И вЂ” -2Е-+ 2 С помощью подстановки перейдем к операторам: л, д д1 Тогда 2 Из перестановочного соотношения (1) вытекает формула (с р)=! Введем новые операторы а и а~ с помошью соотношений 2 Теперь й= — "(па++а+а). 2 Коммутатор операторов а и а+ равен 1: [аа+)=1.

(12) Поэтому гамильтониан записывается в виде И = дю (и + 1 ~2), (13) где п =а+а. Рассмотрим подробнее некоторые свойства операторов а, ач зы и л. Пусть ~») — собственный вектор оператора л, принадлежащий собственному значению»: л1»> =»1»>. Определим результат действия на этот вектор операторов а и а1. Из коммутационного соотношения (12) следует, что йа=а(л — 1), ла~ =а1 (л+1).

Подействуем операторами йа и йа1 на кет !»). Получаем йа1») =(» — 1) й1»), ла+!») =(»+1) а+1»). Отсюда видно, что а1») =с,!» — 1), а+1») =д.~»+! ), где с, и с(, — неизвестные постоянные множители. Для нахождения с„вычислим двумя способами (»!а+а!»): (»1а+а1») = (»1й!») =»(»1») =», <»!а+а!») =с,<»!а+1» — 1> =с,<» — 11а1»>*= — !С„12(» ! !» 1- — 1с„12 Отсюда с, =-э(». Аналогично из расчета -»1аа+!») выводится значение 11„: 1,=~ +1. Векторы ~») являются также собственными векторами гамиль- тониана (13). Так как энергия осциллятора — положительная вели- чина, то») — —.

Если») —, то 1 1 2 2 ' а!») =уг»!» — ! ) . Снова подействуем на это равенство оператором а. Получим а21»> =-~(» (» — 1)~» — 2>, а' ~ » > =.Чг» (» — ! ) (» — 2)!» — 3 >, Наконец, на р-м шаге мы должны получить нуль, так как значение » — р выйдет за пределы возможного: а'!») = ~»1» — !)...(» — р)~» — р - . Отсюда видно, что» должно быть целым положительным числом или нулем. Переход к энергетическому представлению означает, что в ка- 312 честве базиса выбираются собственные векторы оператора Гамильтона (13). В этом представлении матрица операторов Н и л диагональна: Й„=Ьь(л+!/2) 6„, й„=лб„(л=О, 1, ..., гл=О, 1, ...).

Состояние осциллятора описывается векторами в виде матриц- столбцов: Р) Из уравнения для собственных векторов и собственных значений оператора Гамильтона следует Х Й„с =е„с„. Исходя из этого равенства видим, что стационарным состояниям с энергией е.=Вы(л+1/2) соответствуют матрицы-столбцы: ! 0 0 0 ! 0 !0)= О, !1)= О, !2)= 1 Собственные значения оператора л равны л, т. е. О, 1, 2, ... Чтобы возбудить осциллятор до л-го квантового состояния, ему нужно передать л квантов энергии величиной Ьы.

Поэтому оператор л называется оператором числа возбуждения или оператором количества квантов колебаний. Матрицы операторов а и йч находятся из условий а!л) =-т)л!л — 1), а+ !л) =.~)л+! !л+1). Вычисление матричных элементов дает а,=!Гл+16 „+ь й,=-улб„ или 0 0 0 0 ... (О ч! 0 О "'х~ / ~10 О О (а, )= ~ О О -~Г2 О ... /, (й„" )= ~ О .,/2 0 0 0 ~'30... Оператор а переводит систему в состояние с энергией, меньшей на один квант; напротив, оператор а~ на столько же увеличивает энергию осциллятора. Поэтому их называют операторами уничтожения и рождения кванта колебаний. Эти операторы играют особо важную роль в теории поля. Элек- Упражнение Х 1. Покажите, что (АВ)+ =В+А~. Р е ш е н и е. Пусть В!у) = !г>. Тогда (х)АВ!у) = (х!А 1г) = (г!А+ !х)*. Допустим Тогда А+!х) = !1>.

(2) <г!А !х>*= <г!)>*= <1!г). Учитывая (1) и (2), имеем <)!г> = <)!В!у> = <у!В+1~>*= <у!ВьА+!х>*. Таким образом, (х!АВ!у) = (у!В+А+|х)ь, но, с другой стороны, (х!АВ!у> = (у!(АВ)+ !х-»*. тромагнитное поле с помощью введения специальных переменных можно представить как совокупность бесконечного числа осцилляторов с различными частотами и направлениями колебаний.

При переходе к квантовому описанию поля возбуждение осциллятора до а-го уровня рассматривается как появление и частиц с энергией ды каждая. Эти частицы и есть фотоны. Состояние поля задается через указание числа фотонов определенных частот, направлений движения и поляризаций. При таком описании оператор и играет роль оператора числа частиц данного сорта.

Операторы а и а~ называются соответственно операторами рождения и уничтожения фотонов. Они необходимы для описания взаимодействия поля с частицами и в других случаях, когда изменяется состояние поля. В соответствии с этим языком энергетическое представление можно назвать представлением чисел заполнения (квантовых состояний отдельных частиц). Переход к такому описанию системы называется вторичным квантованием.

Аналогичный подход используется при изучении квантовых полей любой природы и многих других вопросов. Например, колебания кристаллической решетки также можно свести к рассмотрению системы гармонических осцилляторов. Здесь возбуждение кванта колебаний толкуется как появление особой квазичастицы — фонона. Через указание числа фононов в различных возможных для них состояниях можно передать любое квантовое состояние всей системы колеблющихся атомов в решетке. 2 Покажите, что (АВ) '=В 'А 3. Покажите, что собственные значения самосопряженного оператора — действительные числа. (При доказательстве использовать дираковские обозначения векторов в линейных векторных пространствах.) 4.

Покажите, что собственные векторы эрмитова оператора, принадлежащие разным собственным значениям, являются ортогональнычи друг другу. (Использовать дираковские обозначения для векторов.) 5. Найдите волновую функцию стационарного состояния частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками в импульсном представлении. Решение. В координатном представлении согласно данным $5. п. 2. — ейп —. l 2 ° кках Ч и а В импульсном представлении состояние частицы описывается матрицей-столбцом с непрерывно изменяющимся параметром с. (р).