Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (1185137), страница 64
Текст из файла (страница 64)
е. взята полная нх система. Пусть базис составляет система линейно независимых векторов )е1>, ~е~>... или (в случае бесконечномерного пространства) взята полная система базисных векторов. Тогда любой вектор линейного векторного пространства выражается суммой: ~ а > = сс 1 е, > + а г! еа > + ... (4) При этом бесконечная сумма в правой части (4) сходится к вектору ~а>. Совокупность чисел аь ям ... является координатами вектора в системе координат, определяемой базисом ! е, >, ~е~>, ... 2. Унитарное и гильбертово пространства Комплексное пространство называется унитарным, если в нем определена операция скалярного произведения, ставящая в соответствие каждой паре векторов ~а> и ~Ь> комплексное число 291 (а~ Ь >.
Постулируются следующие свойства скалярных произведений векторов: 1) (а1Ь) *= (Ь1а) — эрмитова симметрия; (5) 2) (а Ь+ с> =(а1Ь >+ (а!с > — закон дистрибутивности; (6) 3) (а ~ аЬ > = а ( а1Ь ) — закон ассоциативности; ' (7) 4) (а~а) )Π— положительная определенность нормы вектора (8) Из (5), (6) и (7) следуют, в частности, равенства (а1~ 6Ь,> =~„'й,(а~Ь,>, ° (9) 2 ( а, а; ~ Ь ) = Х а,' ( ад Ь > .~ Первое равенство выражает линейность скалярного произведения по второму сомножителю, а второе можно назвать свойством антилинейности по первому сомножителю.
Скалярный квадрат вектора называется нормой или квадратом модуля вектора; а'= (а!а>. С помощью свойства (5) находим, что (а')*=а' — вещественное число; свойство (8) приводит к вещественности а. В квантовой механике используются унитарные векторные пространства, как бесконечномерные, так и с конечным числом измерений. Для бесконечномерных пространств имеют место две особенности: 1) норма вектора в бесконечномерном пространстве может быть как конечным числом, так и бесконечной величиной„.2) пространство может быть полным, т. е. содержать все необходимые векторы для разложения любого своего вектора в сумму (2) или (3), но может быть и неполным, и тогда упомянутые равенства смысла не имеют. Математической основой для наиболее общей формулировки законов квантовой механики являются бесконечномерные полные унитарные пространства с конечной нормой для всех векторов. Это гильбертовы пространства.
Таким образом, гильбертово пространство есть бесконечномерное полное линейное векторное пространство со скалярным произведением и конечной нормой. Сложные математические вопросы полноты мы оставляем без рассмотрения. Далее полнота обеспечивается во всех необходимых случаях. В конечномерном унитарном пространстве можно выбрать ортогональную систему линейно независимых векторов с единичными модулями: (е,~е~) =бьь (! 0) Из условия ортогональности векторов 1е,) в разложении (2) можно найти все коэффициенты — координаты вектора.
В самом деле, умножая равенство 1а> =2~ а,1е,) (1 !) слева скалярно на ~е~), получим 292 аг= <ег!а). (12) Координаты вектора в ортонормированном базисе называются его проекциями. Совокупность проекций вектора дает исчерпывающую информацию о нем, т. е. вектор при известном базисе может быть задан как упорядоченная совокупность (табличка, матрица) своих проекций. Сказанное относится и к гильбертову пространству, однако число векторов его полного базиса бесконечно. Бесконечно соответственно и число проекций вектора.
Найдем выражение скалярного произведения двух векторов через их проекции в ортонормнрованном базисе. Пользуясь равенством (1!) н свойствами скалярного произведения (6) и (9), имеем <а~ Ь > =Х а, 14 <е !ег) . С учетом ортонормированностн векторов базиса (10) получаем важнейшую формулу для расчета скалярного произведения: (а16) =2 а,"(),.
(13) ! Скалярный квадрат, или норма вектора (8), выражается аналогичной формулой (а!а) =2 а~а,. (!4) Для гильбертова пространства бесконечный ряд в правой части формулы (14) сходится к конечному вещественному числу. В квантовой механике в ряде задач оказывается необходимым использовать в качестве базисных такие векторы, норма которых не является конечным числом; (е,~ег) = оо, т. е. векторы не гильбертова пространства.
Не вдаваясь в математические подробности, укажем только, что во всех таких случаях система базисных векторов оказывается непрерывной, и она нормируется на 6-функцию Дирака: ((г~lг') =6 (/г — й'). (15) Любой вектор гильбертова пространства может быть представлен через векторы базиса (15) разложением (3). Коэффициенты разложения находятся по формуле с (lг)= (/г!и). (16) Обобщаются на непрерывный базис и формулы (13), (!4) для расчета скалярного произведения в проекциях: (и!и> =~ с*(й) Е(й) г1!г, Р(й)= <(г!е) (!7) <и!и) =~ с*(гг) с(й) И, (!8) причем несобственные интегралы здесь должны быть сходящимися. 293 3.
Сопряженные векторы Роль сомножителей (а) и (Ь> в скалярном произведении (а~Ь: неодинакова, что видно из формулы (13). В связи с этим (а~Ь) можно рассматривать как произведение двух векторов разного типа: кет-вектора (Ь) и так называемого бра-вектора (а(: (а(Ь) =(а! (Ь).
Бра-вектор (а~ считается сопряженным вектору ~а). Процедура сопряжения зависит от конкретного смысла кет-векторов как математических объектов. Сопряжение, или эрмитово сопряжение, будем обозначать следуюшим образом: (а) ~=(аЕ (19) Операции сопряжения и умножения бра-вектора на кет-вектор выбирается в соответствии с определением и свойствами скалярного произведения векторов (см. (5)...(9)). В этом смысле скалярное произведение задает взаимно однозначное соответствие междч сопряженными векторами. Из соотношения (!9) следует (а~ е = (а). Если (а> =~ а;~е;> и (Ь) =~ (),1е,>, то на основании фор! ! мулы (!3) получаем выражение для скалярного произведения в проекциях: (Ь(а) =2 З,*а,.
Величина произведения не зависит от выбора базиса. Поэтому разложению по кет-векторам (е,) сопоставляется разложение (а! по сопряженным бра-векторам (е,(: (а~ =2 а,*(е,!. ! Аналогичным образом для непрерывного множества векторов базиса имеем, кроме ~и) =1с(Ь)(Ь)И, разложение (и! =1 с*(Ь)(Ь(М. Все сказанное позволяет утверждать, что функционал (а~Ь) при фиксированном (Ь= порождает новое линейное векторное пространство (а(, которое называется сопряженным исходному векторному пространству. Каждому вектору (а) ставится во взаимно однозначное соответствие вектор (а~. Ортонормированному базису (е;) в сопряженном пространстве отвечает ортонормированный базис (е Е Всякая линейная комбинация кет векторов 2 а (а ) пе.
реходит в антилинейную Х ае(а,!. Оба пространства идентичны 294 по свойствам, но это два разных пространства: бра- н кет-векторы нельзя складывать. 4. Два частных вида гнльбертовых пространств, используемых в квантовой механике Совокупность матриц-столбцов: (20~ и= и, где и, — комплексные числа, образует линейное векторное пространство, так как матрицы можно складывать друг с другом н умножать на комплексное число, причем этн операции обладают постулнрованнымн свойствами (! ). Число элементов матрицы может быть как конечным, так н бесконечным. Пространство кет-векторов (20) является унитарным, так как в нем можно задать операцию скалярного произведения: )а = аг, 1Ь> = ь,', а1Ь) = т аЬ,. (21) Прн таком определении произведения векторов выполняются требовання (5)..
(8). Данное пространство будет гнльбертовым, если для любого вектора ~и) сумма 2 и;"и, ! есть конечное число. Совокупность матриц 12) = образует ортонормнрованный базис. В нем для вектора ~и) имеем 1и) =и|11) +иг12) +". Прн действиях с матрицами вводится понятие о матрице А+, эрмнтово сопряженной матрице А:А~г =Агь Матрицу-строку (а„аг, ...), га<х эрмнтово сопряженную матрице-столбцу аг, назовем бравектором (а1, сопряженным кет-вектору 1а). Это оказывается возможным потому, что произведение (а Ь ) вычисляется по правилу умножения матриц (С=АВ, если См=Х Аи.В,г), совпадает со ска- 5 лярным произведением (21). 295 Частный случай комплексного векторного пространства матриц- столбцов был использован нами при изучении спина электрона.
Спиновые функции ~и) =( ) образуют двумерное унитарное пространство с базисом: и( — )=( ), и( — — )=( ) . Возвратимся к заданию векторов гильбертова пространства с помощью их проекций (см. п. 2 этого приложения). Поскольку вектор при известном базисе полностью определяется упорядоченной совокупностью комплексных чисел-проекций этого вектора, то рассмотренные сейчас матрицы-столбцы могут считаться аналитической формой задания векторов дискретного множества.
Соответственно матрицы-строки выражают сопряженные векторы. Формула скалярного произведения векторов в проекциях (13) отвечает правилу матричного умножения «строка на столбецж В этой связи рассмотренная в первом примере гильбертова пространства совокупность матриц-столбцов или матриц-строк есть в то же время и общее аналитическое представление (в числах) гильбертова пространства векторов, определенных ранее, в п. 1, аксиоматически. Множество однозначных, непрерывных и квадратично-интегрируемых комплексных функций ~р (х), р (х), ... образует бесконечно- мерное (гильбертово) пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
