Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 66

(А+В)ш=Аш+Виь (АВ)ш=АевВпь 3. Переход от одного представления к другому Пусть ~(> — собственные векторы оператора Ь', а ~д>— собственные векторы оператора Я. Матрица-столбец <(~а> задает вектор ~а~> в г"-представлении, а матрица-столбец (д~а> есть вектор ~а,>, т. е. ~а> в Я-представлении. Чтобы найти связь зш между двумя указанными представлениями, разложим векторы ((» по новому базису (д>: ((> =Х<дЧ>(д>. Тогда (а> =Х<)~а> ()> =2 <((а>Х<д((> (д> = ч =~(,> ~<,((> <) .> а / Х д((> <Да> = <д((Х!)> .)()(а> = = <д(1!а> = <д!а>. Поэтому в виде и„= «((д>.

(9) Матрицы ((7м) и ((7м) соотносятся как прямая и обратная. Их произведение дает единичную матрицу: Х иг,ин. =Х <( (д > < д((" > = <)'~(Х ~ о > < о() У" > = ч = бп". Матрица с элементами (7»; является эрмитово сопряженной по отношению к матрице (К~). У нас <)(д *= <ц((> Поэтому (7~=(7 '. Таким образом, переход к новому представлению осуществляется с помощью унитарной матрицы. (Заметим, что определитель, составленный нз элементов унитарной матрицы, равен единице.) !а> =2" <д(а> (д>. (б) Таким образом, мы пришли к Я-представлению вектора (а>. Запишем равенство <д(а> =Х<д((> <(~а> (а, > =((7р~)(и~>.

(7) Согласно последнему соотношению ((7н) есть оператор перехода от г"- к Я-представлению. Это квадратная матрица с элементами: (7и= <9(1>. (8) Обратное преобразование осуществляется матрицей (0м) с элементами: 4. Перевод оператора из Г- в ()представление Матрицы (А,, ) и (А, и) задают оператор А в Я- и Е-представлениях. С помощью (2) ймеем 302 Если ввести матрицу (У,/) с элементами ( /) ~ ( > , то можно за- писать, что А/о=(1/,/) А/и (У//)+.

(1О) Таким образом, перевод оператора из одного представления в другое также осуществляется с помощью унитарной матрицы ((/,/). 5. Обобщение формул перехода на непрерывный спектр Если имеется непрерывная совокупность базисных векторов, то разложение по базису имеег вид 1а> =~<(~а> /1>///'. В Р-представлении ~а> отображается матрицей-столбцом с непрерывной последовательностью элементов, которые мы обозначим ~а(/)> (или просто а(1)): /а(/)> = ()!а>. (11) Произвольному оператору отвечает в г-представлении непрерывная квадратная матрица (А (/', Г')) с элементами: А((,)-)=(( ~А~(->.

(12) Используя формулу произведения матриц, вместо ~Ь> =А|а> имеем выражение ~Ь(/")> =(А (/", /'")На(/'")> =)А (/'„ /")(а(Г)= /1(". (13) В своем собственном представлении оператор изображается диагональной матрицей: (17) зоз р (/', /") =/'б (/' — /"). (! 4) Для перехода из г- в /;/-представление применим непрерывную квадратную матрицу ((/ (д„()) с элементами (/ (//, 1)= (//~)>. Перевод вектора в Я-представление осуществляется с помощью формул !а(4> =((/(ц, ЛИа(Е)>, (1б) или ~а(ц)> =5 (/(Ч, О~/ой> 1(. (16) Для перевода операторов применим соотношеиия Аы/=((/ (д, ))) А/// (1/ (/1, 1)]+, или А (/', 4") =г)г) и (//', (') А Т, (") и (1", и") а('г((", ((б) 6.

Ф ункцни от операторов Для операторов определены действия сложения и умножения. Поэтому функцию оператора можно задать через степенной ряд: ~р (А) = Х а, А'. (19) Если ~а) есть собственный вектор оператора А, то А!а) =а~а), А'!а) =а'~а), А'~а) =а'~а), поэтому гр (А) | и ) =( Х а АЧ а ) = гр (а) ~ а (20) Чтобы найти результат действия оператора ~р(А) на произвольный вектор ~к), его нужно предварительно разложить по базису ~а- Некоторые представления, часто используемые в квантовой механике 1. Аксиоматика квантовой механики Изложим исходные положения квантовой механики с помощью математического аппарата векторов и операторов в гильбертовом пространстве.

Аксиома 1 Состояние системы описывается вектором абстрактного гильбертова пространства. (Абстрактность означает, что заранее математическая или физическая природа векторов не определяется.) Следует заметить, что вектор ~и ) описывает то же состояние, что и с~и). Даже задание нормы вектора ~и~и) оставляет неопределенность, связанную с произвольным выбором фазового множителя. Аксиома 11 Физическим характеристикам системы — физическим величинам — сопоставляются линейные самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве. При этом используются эрмитовы операторы, собственные векторы которых образуют полную ортонормированную систему, а собственные значения действительны.

Аксиома 111 Единственно возможными результатами измерения динамической переменной А являются собственные значения сопоставляемого ей оператора А. зох Аксиома )У Результат однократного измерения величины А в общем случае неоднозначен. Вероятность — >г'(а) — получить значение а величины А для системы, находящейся в состоянии ]и >, равна ] < а]и > ]'.

При непрерывном спектре ] (а]и) ]' следует рассматривать как плотность вероятности. Аксиома У! Изменение среднего значения величины А в состоянии ]и) определяется уравнением ~ <А> = (~~ >+ — '(]Й, А]>. и ш а (2) (Скобки ( ) используются для обозначения средних значений соответствующих величин; Н вЂ” оператор Гамильтона, оператор полной энергии системы.) Как нетрудно видеть, <А> = <и]А]и>. Действительно, (и]А]и> = =.и]А (Х<а]и) ]а>)= <и]1 (а]и)А]а> = а а =(и]Е а а]и) ]а =Х а(а]и) <и]а) = а а =Х] <а]и) ] а=1 аФ" (а)=А. » а Аксиома У Операторы координаты х и проекции импульса р, удовлетворяют перестановочным соотношениям [х, р,]=И.

(() Аналогичные соотношения можно записать для у и р„, г и р,. 2. Изменение состояния системы со временем Основное динамическое уравнение квантовой механики (2) допускает несколько способов описания изменения состояния системы со временем. Их называют различными представлениями или картинами эволюции системы. Выбор того или иного представления не меняет физического содержания теории и определяется соображениями математического удобства. В шредингеровском представлении изменение состояния описывается уравнением Шредингера: !й — 1 и> =Н]и).

ш (3) Нетрудно показать, что из уравнения (3) следует уравнение (2). Продифференцируем по времени среднее значение: зоз — < и 1 А ~ и -. =( — < и! ) А 1 и ) + < и ! — ~ и > + г д ал ш ~ д1 д! (4) + <и~А( — 1и)) . Используя самосопряженность оператора А, имеем ( ) д т д — <и~) А|и> = <и!А — |и>'. д1 д! (5) На основании уравнения (3) — !и> = — — Й~и>. д Г д! а Если подставить это выражениедля производной — ~и) в формулы а а~ (4) и (5) и учесть, что (АЙ)+ =Й+Аь =ЙА, то приходим к уравнению (2). Согласно уравнению Шредингера (3) может быть введен оператор: г т=1 — — тН, Ь (б) переводящий систему нз состояния ~и(!)) в состояние ~и(!+т)), где т — бесконечно малый промежуток времени. Действительно, т~и(!)) = ~и (!)) — — 'тй~|и (!)) = ~и(!) + а (и(!) т.

Оператор т является унитарным, так как обратный оператор: т ' =1+ — тй Ь совпадает с сопряженным оператором т ". В построении других представлений большую роль играет оператор эволюции системы 5 (О, !). Он переводит систему из состояния ~ и (0)) в состояние ~ и (!) ): !и(!)) =5 (О, !)!и (0)). Оператор 5 (О, г) можно представить как произведение многих операторов ть записанных для последовательных малых интервалов времени. Поэтому он тоже является унитарным: 5~ =5 В представлении Гейзенберга система описывается неизменяемым с течением времени вектором ~ и„). Эволюция системы связана с тем, что от времени зависят операторы всех физических величин. Из соотношения для средних (2) в этом случае следует дАг Это равенство нужно понимать как определение оператора —.

Л Связь между шредингеровской и гейзенберговской картиной развития системы осуществляется унитарным преобразованием, производимым с помощью оператора эволюции 5 (О, ~). Полагаем 1,> =5+ ! (()> (7) А„=5+Ащ5. С помощью простых преобразований можно показать, что !нг> = !н (О)> н <аг!А„!Ьг> = <а !А,!Ь >. (9) Первое равенство прямо следует из формулы (7) и унитарности оператора 5 (О, ~).

Для доказательства формулы (9) используем соотношение (7) и тождество (АВ)+ =ВтА": <аг!А„!Ь > = <и„!5тА 5!Ь >, 5!Ьг> 55 !Ьш> !Ьш но !и> =5!и(0)>, получим И вЂ” ! и (0) > = Й5 ! и (О) > . В виду произвольности вектора ! и (0) > следует операторное уравне- ние д5 И вЂ” =Н5, д~ которое имеет решение: поэтому <аг!Аг)Ьг> = <аг!5~Ам(Ьщ> = <Ьщ!Ащ5!аг>'= = <Ью!Ащ!ащ>'= <аш!А„,!Ьн,>, На последнем шаге учтена эрмитовость оператора А. Из равенства (9) следует, что в гейзенберговском представлении сохраняют свои значения матричные элементы операторов, их собственные значения, скалярные произведения векторов, вероятности отдельных значений физических величин, их средние значения.

Это доказывает полную эквивалентность обоих представлений: шредннгеровского и гейзенберговского. Если оператор Гамильтона Н не зависит от времени явно, то оператор эволюции 5 может быть найден в общем виде. Подставим в уравнение Шредингера (3) вместо вектора !и> выраже- ние 5 (О, 1)=е Другие представления, описывающие изменение физического состояния системы со временем, также получаются с помощью унитарных преобразований.