Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 60

д (27.23) 275 где величины и;„принимают значения О, 1, 2, 3, ... Однако ни функций состояния, ни квантовых уравнений для поля, ни способа получения значений других параметров квантового поля (например, напряженности Е, индукции В) мы пока что не имеем. Математическая процедура квантования поля и направлена на заполнение этих пробелов. Прежде всего уравнение Максвелла в форме (27.2) для векторного потенциала поля А (х, 1) можно рассматривать как истинное квантово-релятивистское уравнение, а потенциал — как функцию состояния электромагнитного поля в координатном представлении.

Разложение (27.?) есть общее решение квантово-релятивистского уравнения для стационарного случая. Отделение координатной зависимости в функции состояния от временной приводит к динамическому уравнению (27.8) для величин А ее Подчеркнем, что речь идет о функции состояния поля, а не отдельной частицы и смысл ее раскрывается не в определении местоположения микрочастицы в пространстве, а в определении важнейших параметров поля — его энергии, импульса, векторов напряженности и индукции — с учетом квантовых особенностей или микроструктуры поля.

Но координатное представление функции состояния для квантового поля неудобно, ибо, как об этом говорилось ранее, в $25, п. 1, локализация фотона в определенной точке пространства невозможна. Поскольку поле полностью описывается величинами а,„и а; (по ним можно восстановить вид разложения (27.7)), эти величйны можно принять за новые переменные функции состояния вместо старых т и 1. Такое выражение функции состояния называется импульсным представлением. Оно достигается перечислением всех величин а;„, а„-, помещаемых либо в матрицу-столбец: Уравнение (27.23) имеет вид уравнения Шредингера с гамильтонианом: Н= срм выражающим оператор энергии отдельного фотона через его импульс р».

Поэтому уравнение (27.23) называют уравнением Шредингера для фотона. Однако роль его в квантовой теории поля несравненно скромнее, нежели роль уравнения Шредингера для нерелятивистской частицы: теперь из уравнения только и вытекает гармоническая зависимость функции состояния от времени. Решая уравнение (27.23), получаем !а;„> =1а1»'~>е (27.24) где е»е ар», а а'~~ — всевозможные комплексные числа.

Различные их комбинации задают различные состояния поля независимо от уравнения (27.23). Новое представление распространяется не только на функции состояния, но и на другие характеристики поля, которые в квантовой теории выражаются через соответствующие операторы. Начнем с энергии.

Оператор энергии электромагнитного поля получим по принципу соответствия из формулы (27.15), заменяя в ней величины а; и а;„операторами а; н а;„: (27.25) » Вид и свойства операторов а;„и а» нам пока что неизвестны. Можно только сказать, что это квадратные матрицы с бесконечным числом элементов, выраженных через переменные а;„н а;„. С учетом соотношений (27.24) заключаем, что мы имеем дело с операторами, гармонически зависящими от времени. Чтобы установить свойства операторов а»-.

и а»-„, сопоставим формулу энергии стационарного состояния квантового поля (27.! 5) с гамильтонианом (27.25). Гамильтониан поля должен для функций стационарных состояний иметь собственные значения (27.20): Й1а;„> = Ф')а»- >, или в подробной записи. ~~; ~, "— '" (а»„а,+„+ а,-+„а;„)~1а»„> =~ф ~„'Ьо»» (й;„+ ~ )1а»„) . Равенство будет выполняться, если операторы а обладают следующими свойствами: (а;, а»~„,)=бгвб„„„ (27. 25) а произведение операторов: * и»-„=а»„а „ (27.27) 276 есть оператор, собственные значения которого в стационарных состояниях поля образуют последовательность чисел: п =О, 1, 2, 3, ...

В самом деле, используя свойство (27.26) н определение (27.27), вместо обсуждаемого равенства имеем ~ф 2', йьм(й;„+ — '))(!а;„= =~~, Х йод(п~ + — )~!ах„). Оператор пы носит название оператора числа квантов поля. (Понятно, что он действует в функции состояния на переменные с индексами 77 н я.) Таким образом, стационарные состояния поля есть состояния поля с определенным числом квантов каждого сорта (77, а). Переходя к импульсному представлению, запишем операторы других величин, характеризующих поле: (27.28) 27з !ЫГ„~! а з (27.29) (27. 30) (27.3!) 277 Анализируя формулу (27.28), замечаем, что в стационарных состояниях импульс поля принимает определенные значения н, как н энергия, от времени не зависит.

Что же касается векторного потенциала поля А, напряженности Е н индукции В, то нз формул (27.29) ... (27.31) видна, во-первых, зависимость этих величин от времени, содержащаяся согласно соотношениям (27.24) в операторах а. Во-вторых, поскольку а;„и а~„не коммутируют между собой, этн величины не коммутируют с й„-„. Следовательно, в стационарных состояниях поле не имеет определенной напряженности н индукции, т.

е. поле'с определенным числом квантов не может быть однозначно охарактеризовано векторами Е н В. Последняя ситуация характерна, конечно, для микроскопических проявлений поля, когда число квантов невелико. В макроскопических полях с огромным числом квантов разброс собственных значений операторов Е и В невелик по сравнению с их абсолютнымн величинами, поэтому практически измеряется н фигурирует в теории среднее значение векторов: Е„,„,= <Е„„„,=, В„,„= <В„„„,). (27.32) На основе формул (27.32) классическая электродннамнка предстает как предельный усредненный случай квантовой электродинамики. Поскольку соотношения между квантовыми средними повторяют соотношения между соответствующими операторами, становится понятной правомерность замены величин в формулах классической физики их операторами при переходе к квантовой (принцип соответствия).

Процедура квантования связана, таким образом, с правильным выбором — постулированием — квантовых операторов а,а~,п. Далее в теории онн широко применяются во всех задачах. В нашем курсе конкретный вид этих операторов не потребовался. Интересчющихся можно отослать к фундаментальным курсам ]5], ]8], ]!О]. [11], На этом закончим краткий экскурс в квантовую теорию полей элементарных частиц.

Мы остановились перед самым важным: взаимодействием полей между собой. Как уже говорилось ранее (см. $23, п. 4 и $ 24, п. 3), основной метод изучения взаимодействия арлей состоит в следующем: во втором (или высших) приближении нестационарной теории возмущений рассчитывается вероятность переходов в системе квантовых полей. При этом начальные и конечные состояния полей и есть свободные стационарные состояния с известными функциями. Оператор взаимодействия строится с учетом требований релятивистской инвариантности и вида взаимодействия.

Например, в расчете рассеяния фотонов на электронах (эффект Комптона) задано известными функциями начальные состояния однофотонного и одноэлектронного полей. Конечные состояния этих полей также свободные стационарные, но в функциях включены всевозможные значения энергии и импульса обеих частиц, допустимые законами сохранения. Рассчитываются вероятности различных переходов, вероятности получения в результате взаимодействия нового фотона с различными значениями импульса и энергии.

(Интересующимся можно порекомендовать специальную литературу, например ]1].) Упражнение 1Х 1. Выведите уравнения Дирака (26.5) для всех четырех составляющих спинора Ч' из матричной формы (26.1). 2. Получите уравнение непрерывности в дираковской теории. У к а з а н и е. Уравнение Дирака умножить слева на Ч', а комплексно-сопряженное — справа на Ч' и вычесть почленно. Окончательно д (Чг Чг)= ~7 (Ч' яч') д~ 3. Рассмотрите развернутые выражения для плотности вероятности и плотности потока вероятности; )=сЧ'+аЧ'. 4. Получите развернутое выражение для ~71'. 5. Используя матричные уравнения для спиновых функций: Еи =]са р+ птс~ф и, 278 получите уравнения для двухрядных спиновых функций в выраже- нии и=(,) .

О т в е т. Еы = соры' + гпс'ы, 2 Еы' = сорю — гпс ы'. 2 28. ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ И ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН 28.С Понятие о внутренней симметрии и ее нарушении. Знакомя читателя с началами релятивистской квантовой теории (гл. !Х), мы подчеркивали, что здесь существенно изменяется смысл волновой функции. Волновое поле ф описывает такие свойства свободной элементарной частицы, как импульс, спин, четность, но не положение ее в пространстве.

В этой связи характерна спиновая функция — сомножитель при координатной (см. $26, п. 3). Она не зависит от координат микрочастицы и является матрицей-столбцом, дающим ответ на вопрос о величине модуля и проекции спина. Но известно, что элементарные частицы обладают рядом не принимаемых нами ранее в расчет параметров, в частности изотопическим спином, странностью или гиперзарядом и др. Оказывается, что описание ряда внутренних свойств элементарных частиц, таких, как масса, изоспин, странность и др., возможно по общей схеме применения операторов и волновых функций, если добавить к координатной части, кроме спинового, дополнительный матричный множитель.