Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 61

Современный метод теоретического изучения свойств элементарных частиц основан на сопоставляемых каждому виду частиц волновых полях, понятии о внутренней симметрии и ее нарушении. Чтобы уяснить новые идеи этого метода, начнем с того, что хорошо известно, но осветим это известное под необычным, необходимым нам для дальнейшего, углом зрения. Стационарные состояния атома водорода определяются параметрами протона и электрона и взаимодействием между ними. Взаимодействие складывается из нескольких последовательно убывающих частей. Главная — притяжение электрона к ядру с потене' циальиой энергией Уо — — — я —.

Много меньше энергия взаимог действия спинового магнитного момента электрона с магнитным полем атома, оператор которого можно обозначить через Р. (Остальные слагаемые не принимаем во внимание.) Пусть проведен расчет энергии атома в некотором стационарном состоянии с учетом только основного взаимодействия бм получено значение Еэ В таком случае в принципе можно определить массу атома как системы, состоящей из ядра и электронов: гп, =( лг „+ лг, + — ~ ) . 279 (В данном случае Еь«.О и масса атома меньше суммы масс ядра и электрона.) При расчете игнорировалось магнитное взаимодействие, поэтому энергия атома от ориентации спина электрона не зависит.

Последнее важное для нас обстоятельство можно выразить в следующей форме: внутреннее взаимодействие в системе обладает симметрией (внутренняя симметрия) относительно состояний с разной ориентацией спинов. Все такие различные стационарные состояния есть состояния с одной и той же энергией и массой системы. А теперь учтем магнитное взаимодействие Р.

Оно нарушает внутреннюю симметрию атома, заключающуюся в независимости бь от ориентации спина, так как дает вклады — поправки к энергии Еь, величина которой зависит от этой ориентации. Например, могут получиться две поправки е~ и 82, а в многоэлектронных атомах— еь ег, ез и т. д. уровень энергии атома оказывается разделенным на подуровни.

Несколько близких линий составляют мультиплет в энергетическом спектре атома. Если произвести расчет массы атома, то соответственно получим несколько близких значений: а, =( а„+ а, + —,' + — ') . Образование мультиплета масс системы, состоящей из ядра и электронов, в терминах симметрии взаимодействия и ее нарушения можно выразить так: симметрия основной части взаимодействия, формирующего состояние системы, нарушена, что и привело к спектру — мультиплету масс вместо одного значения массы. Далее перенесем полученные результаты с атомов на элементарные частицы. Мы исходим из предложения, что элементарная частица есть система, параметры которой формируются за счет внутреннего взаимодействия.

Основная часть взаимодействия обладает некоторой симметрией, так что, например, состояния системы, описываемые волновыми функциями и и р, по отношению к этому взаимодействию эквивалентны, массы частиц п и р одинаковы. Но еще имеется меньшее, нарушающее симметрию, взаимодействие. Оно приводит к небольшому различию масс системы в состояниях пир.

Ведущая идея современной теории элементарных частиц и состоит в том, что их группы рассматриваются как состояния одной и той же системы-частицы, близкие благодаря симметрии внутреннего взаимодействия, но и различные за счет нарушения этой симметрии другим взаимодействием (или частью основного). Эта идея внутренней симметрии и ее нарушения оказалась особенно плодотворной в поисках единых начал для объяснения всего многообразия элементарных частиц.

Проявление внутренней симметрии в мире известных элементарных частиц можно установить путем сравнения их параметров. Для этого надо усмотреть в многообразии частиц группы — мультиплеты, близкие по массе. Обратимся к адронам. 280 Прежде всего бросается в глаза близость масс протона и нейтрона: лтр — — 938,280 МэВ, рп„=939,573 МэВ. 1 Учитывая совпадающие значения спина и четности ( — ), барион- (,2 р'' ного и других квантовых чисел, кроме электрического заряда, можно говорить о дублете протон — нейтрон.

Аналогично выделяются: триплет мезонов по, и", и (О ), дублет мезонов К о, Ко(0 ), триплет барионов Х+, Во, В ( — ) и / ! (, 2 другие мультиплеты с небольшим числом частиц и близкими массами. Существуют и более обширные группы, так называемые супермультиплеты.

Важнейший октет барионов, в который входят уже упомянутые дублет нуклонов и триплет сигма-гиперонов, таков: Хо,Х,Х,Л,р,л, (28.1) ~ 2 Есть декуплет барионов: дэ +Ь дэ до д- ~~+ ~2о т~ - М вЂ” -„о 2- / З ) (28 2) ~ 2 а также октет мезонов: не яо — Кэ Ко К вЂ” Ко (28.3) и некоторые другие. Массы частиц в супермультиплетах различаются значительно больше.

Например, в декуплете (28.2) они от 1000 до 2000 МэВ. Тем не менее налицо объединение, которое можно отнести к неко- торой внутренней симметрии. Адроны в мультиплете надо считать разными состояниями одной и той же частицы-системы. Объединение частиц в мультиплеты и супермультиплеты на языке квантовой механики объясняется в рамках концепции внут- ренней симметрией и ее нарушением следующим образом: основное взаимодействие, обусловливающее состояние адрона, обладает не- которой симметрией, выраженной в соответствующем преобразова- нии. (Преобразование отнюдь не относится к координатам и време- ни и не является лоренцовым.) Состояние описывается функциями, в общем случае называемыми спинорами этого преобразования и имеющими вид одностолбцовых матриц, аналогичных спиновым, Например, для дублетов они двухрядны: ~=(~~') =~,( ) +~,( ), (28.4) Здесь 21 и со — комплексные числа, а ~ ) и (О) — базисные 21, (.0) .! состояния дублета.

Число строк функции или число базисных функций совпадает с числом частиц в мультиплете. Так, для дублета протон — нейтрон их две, для трнплета л-мезонов — три и т. д. Базисные функции выражают отдельные частицы мультнплета, например; (28.5) (Функция обозначена тем же символом, что н частица.) Онн являются элементами некоторого линейного пространства, преобразующегося матрицей (/ подобно тому, как геометрические векторы преобразуются матрицей направляющих косинусов углов поворота осей координат, скаляры и векторы уравнения Клейна — матрицей Лоренца, а спиноры Дирака — производной от нее матрицей.

Далее нужно принять в расчет внутреннее взаимодействие, определяющее параметры частиц мультиплета. Оно выражается в теории через оператор Гамильтона, состоящий из главной и дополнительной частей: Й= Нв+ )г. Первое слагаемое не изменяется при преобразовании матрицы (/, т. е. обладает симметрией по отношению к преобразованию (/; является инвариантом преобразования.

Поэтому основная часть энергии (массы) частиц, определяемая первым слагаемым, одинакова для всех базисных состояний. Это, например, одинаковые для дублета величины Е, Е„. А вот второе слагаемое, Р, такой симметрией не обладает и дает различные вклады в энергию: е, е„. Таким образом, с учетом нарушения симметрии массы протона и нейтрона не равны: пэрэйд гл.. Преобразование, отражающее внутреннюю симметрию частиц относительно основного взаимодействия, несет в себе важную информацию о мультиплете — числе его компонент, сохраняющихся величинах, параметрах, различающих отдельные состояния.

В современной теории элементарных частиц найдено несколько таких преобразований, соответствующих реальным мультиплетам. 28.2. Унитарные симметрии. Изотопический спин. Чтобы учесть внутреннюю симметрию элементарной частицы, следует ввести дополнительный сомножитель в ее волновую функцию. Это уже делалось выше для учета спина. Теперь продолжаем детализацию состояния свободной частицы, включив в рассмотрение не только ее движение в пространстве, четность и спин, но и некоторые внутренние параметры: ф=ф(х, р, г, г) ис. (28.6) Здесь и — спиновая функция, задающая модуль и ориентацию спина, а а— функция, описывающая внутреннее состояние частицы, по которой можно будет определить, новые параметры ее состояния.

Ниже мы рассматриваем функцию й отдельно, независимо от первых сомножителей. Ставим основную задачу — отыскать для функции с преобразование г/, отражающее внутреннюю симметрию. Вместе с ним определяется и вид Э. Считая Г/ линейным преобразованием, имеем дело с некоторыми квадратными матрицами — число столбцов равно числу строк, зависит от некоторых комплексных параметров а. С математической точки зрения совокупность преобразований П (а) является группой. Мы не сможем здесь опираться на теорию групп, что, вообще говоря, в этой области физики необходимо. Но групповую терминологию используем. В соответствии с обихей концепцией описании мииросистем с помощью волновых функций информация о физическом состоянии — об измеряемых параметрах дается квадратом модуля волновой функции, в примере дублетов — величиной й.=й.,.з)('.! =:... +~зю (28.7) Бт Эта величина должна быть инвариантом отыскиваемого преобразования.