Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 62

Матрица () должна обладать свойством, вытекающим из инвариантности произведения (28.7) . Л'=йи (Гй=йх, откуда иэи=(, (28.8) где (l+ получена из матрицы (7 заменой строк на столбцы н комплексным сопря. жением элементов. Матрицы, удовлетворяющие равенству (28.8), называются унитарными. Оказывается, что внутренние симметрии отражены в унитарных преобразованиях. Конкретизируем вид . вухрядной унитарной матрицы (1: где а, Ь, с, и' — параметры, принимающие комплексныс значения.

Унитарность дает три уравнения, связывающие параметры: а*а+лье=!, Ььб+г(*3=1, а*Ь+сэг(=0. Лля дальнейших рассуждений постоянный множитель, который может стоять перед всеми элементами матрицы (Г, существенным не является. Поэтому его следует подобрать, максимально упрощая матрицу (7. Требуют, чтобы определитель матрицы был равен 1, что дает четвертое уравнение: аг( — Ьс=(. В таком случае матрицу (г называют унимодуллрной. Итак, матрица Н зависит от трех вещественных параметров, которые можно выбрать по-разному.

Совокупность матриц образует группу преобразований 5(7 (2) для двухрядных спиноров ", определяемых через базисные с помощью формулы (28.5). Можно подводить первые итоги. Если адрон есть система, обладающая симметрией 5()(2) по отношению к сильному взаимодействию, в электромагнитное взаимодействие нарушает эту симметрию, то существуют дублеты адронов, в которых частицы с различными электрическими зарядами обладают близкими, но различными массами.

Такие дублеты действительно существуют, и мы их уже навивали. Это дублет протон — нейтрон, дублет К-мезонин и др. Но это еще не все, что может дать анализ унитарной симметрии. Очень существенно, что этот анализ приводит к новой величине — квантовому числу, характеризующему частицу в мультнплете; она названа изогопическии олином, так как с формально-математической стороны аналогична обычному спину. Так, для унитарных дублетов изотопическому спину следует приписать полу- целое значение: Т= —, 1 2 ' (28.9) тогда возможные значения его проекции на некоторую выделенную ось (ей при- сваивают индекс 3) принимают два значения: Тз= ~ —. 2 (28.10) Поэтому унитарный дублет — это частица (система) с изотопическим спи- 1 1 ном —, проекция которого не влияет на сильное взаимодействие: состояния Тз=— 2 ' и Т,= — различны с учетом электромагнитного взаимодействия.

Это две разные 2 частицы. Анализ спектра масс элементарных частиц приводит к нзотопическнм трнплетам 3 3 и кввдруплетам, для которых соответственно Т=1, Т,= — 1; 9,1 и Т= —, Т,= — —, 2' 2' 233 1 1 3 — —, —, —. Имеются и синглеты — частицы без изотопических близнецов. Для 2' 2' 2' них 7=0. 28.3. Группа преобразовамнй 8()(2». Приведем в общих чертах математический анализ группы 51/(2) в связи с физическим применением, о котором говорилось выше. Для конкретного выбора параметров, т. е. выбора матриц и, прибегают к следующему приему. Матрицу записывают в экспоненциальной форме, имея в виду обобщение формулы Эйлера: и=с ха (28.! 1) Здесь аг — вещественные параметры, а тэ — новые матрицы (с тем же числом элементов, что и у матрицы с!, носящие название генераторов преобразования и.

Для бесконечно малых а =е имеем разложение в ряд: и=/+ 2'с,т, (28.12) Чтобы и была унитарной матрицей, т должны быть эрмитовыми, т. е. тэ =тм (28.13) н с нулевым следом. Теперь нетрудно выбрать генераторы тю можно воспользоваться ранее встречающимися матрицами в формулах (!3.10): с|=о, тт=ог, тз и . (28.14) Вид преобразований найден: и = е"" е'э"еп", (28.18) где а, 8, у — вещественные независимые параметры. С помощью разложения в рнд, учитывая (28.14), (28.18) можно записать в виде произведения трех сомножителей: и'=( "-~.

) и'=(,— 1 в ! в)' '=(о -") Мы нашли исходные в 5и (2) преобразовании; остается лишь придавать параметрам а, )), 7 непрерывно изменяющиеся значения, чтобы получить любую матрицу из группы. Эти преобразования порождают также ряд других, носящих название непроводимых представлений группы 5!/(2). Прежде всего, согласно формуле (28.7) имеется скаляр преобразований: А=К, величина, не изменяющаяся при преобразовании й'=ий, т. е.

А'=А. (28.17) Это — скалярное представление группы. Соответствующие частицы имеют нулевой изоспнн. Исходный двухстрочный спинор с называют спинором первого ранга (скаляр— нулевою). Спнноры высших рангов получаются в результате прямых произведений спиноров первого ранга.

Так, для получения элементов спинора второго ранга нужно взять все попарные произведения двух спиноров С и ть обозначаемые сХир та = сщь (28. 18) формула преобразования спинора второго ранга очевидна: тй=Х Х и,.и„.т.. Она может быть записана с меньшим числом индексов, если ввести новую матрицу — прямое произведение иХ 1/: т' = 2 (их и),т, (28.19) Далее все физические приложения спиноров связаны с выделением таких групп элементов ть которые преобразуются в (28.19) независимо от остальных частью матрицы иХ(/. Это так называемые невриаодимые представления группы.

284 Важный в нашем анализе спинор второго ранга, ичн вектор, получается следующим образом: Е~=~'н (с'=Ф. (28.20) Это квадратная матрица: ($'ц з'Чз) Пользуясь очевидным равенством Е, = — б. Врв+ 1 Е, — — 8,5рЕ), / 1 2 ' (, 2 где Врг=в'ш+$'цз — след матрицы, а 6,' — единичная матрица, имеем разложение на два слагаемых: (Д~ =/г )+ ~'ц. ')( 2 2 2 з ць (ь пл з гп) Таким образом из Е выделился скаляр преобразований — первое слагаемое, а второе слагаемое матрица с нулевым следом — содержит три независимых элемента и может быть записано в виде столбца, а также через базисные спиноры: в= в', =в, о +в, 1 +в, о .

(28.21) Осталась найти, какой частью матрицы (/ь)С(/ преобразуется спинор (28 21). Поскольку слагаемые в спиноре второго ранга Р=А+в преобразуются независимо, матрица должна иметь блочный вид: ( (/взо о о (/-/ 'к (/ 0 У (/~з (/~з (28.22) ~ о «„оы (/„~ О им омвы Если такой вид ей придан, разбиение на неприводимые представления завершено: скаляр преобразуется с помощью Вш (можно положить 1), а вектор  — трехряднай матрнцей (/', зависящей, как и исходная (/', от трех параметров.

Векторам унитарного линейного пространства соответствуют частицы с изотопическим олином Т= 1. Это обсуждавшиеся ранее триплеты. Чтобы в некоторой мере завершить разговор о группе 5(/ (2), вернемся к очень важному понятию генератора преобразования 1акие генераторы ть тх, тз были написаны нами для исходной матрицы Вх. Они имеют место и для ее.производных, например для (/" Выбор т не однозначен, но подчинен общим для группы ограничениям. Так, в случае 51/ (2) тюх — тзт~ =2пз, а величина г =т~ +тз+тз т является инвариантом того нлн иного представления группы н характеризует мультиплет частиц в целом.

Для векторного представления стандартный выбор генераторов таков: (010)~ (о — о ( /10 01 т1= 1 0 1, тх= г О /, тз= 0 0 0 . (28.83] .. ( А теперь перейдем от математики к физике, т. е. свяжем генераторы группы 5(/ (2) с операторами новой физической величины, характеризующей мультиплет в це,юм и частицы в качестве симметричных состояний в мультиплете. Это изотопический спин, причем его проекции опеределяются формулами 1 - 1 - 1 Тз тг, Тз тг, Тз тз- 2 ' 2 ' 2 Отсюда следует квадрат модуля: т'=т',+т,*+тгз= З,) — 1. =74 Пользуясь операторными уравнениями Тзй=Тз: и т. д., легко находим зисных функций дублета значения проекций нзоспина.

Если й=( ), то (,О) ' г'О'з 1 если 4=( ), то Тз= ††, модуль изоспина в этих состояниях одинаков: (,1) Для векторного представления (28.23) имеем: 1 — 1 Т~ тз, Тг зг, Ч2 з2 Тз=тз, Т =2!. Отсюда следуют проекции изоспина триплета (для базисных его функций]: (28.24) (28.25) для ба- 1 т = —; 2 ' Т=~ 2 г' О ') В,=~ О ), тз=-), ! Вг= 1, Тз=О, В= О,тз=) и= (.т' ) и другие триплеты.

28.4. Понятие о 5()(З)-симметрии. Изотопический спин как параметр, характеризующий внутренние свойства частицы, прочно вошел в теорию: он указывается для адронов вместе с их зарядом, массой, спнном, четностью. Для сильных взаимодействий изоспин системы — величина аддитивная и строго сохраняющаяся в замкнутой системе; электромагнитные нарушают сохранение модуля изоспина замкнутой системы (проекция сохраняется). Слабое взаимодействие происходит с нарушением изоспнна. Но изотопическим спином внутренние параметры элементарных частиц не исчерп ы за ются. В названных выше супермультиплетах массы различаются более значительно, нежели в изотопических. Зто указывает на иную, не электромагнитную природу нарушения внутренней симметрии системы, порождающей мультиплет: взаимодействие относится к сильному.

Кроме того, супермультиплеты не укладываются в структуру спнноров вв(2). Естественным представляется для анализа этой новой симметрии использовать в качестве исходной трехряднуЮ унитарную матрицу (), преобразующую трехкомпонентные спиноры Ч. 8 матричной форме преобразование имеет внд: Ч =()Ч' (28.26) инварнантом для него служит скаляр: ЧЧ=Ч Ч, ЧЧ=ЧзЧз+ЧгЧг+ЧзЧз. (28.27) Отсюда, в частности, следует, что наряду со спинором следует рассматривать комплексно-сопряженную матрицу-строку. Ч=(Ч", Ч:, Чз), (28.28) преобразующуюся матрицей () ": (28.29) прн общем квадрате модуля Т=з)2.