Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 63

Таков, в частности, триплет я-мезонов Приложение ! Сингулярная дельта-функция Дирака !. б (х) = 1 О, х ~ О, ь ~6 (х) с(х= ), а -0(6 и определение б-функции. ь й 2. Г) / (х) 6 (х) йх =) (О), а (0( Ь, или ~ ) (х) б (х — а) йх =7 (а), а с с(а <с( — основное свойство Ь-функции. пх одно из аналитических выражений б-функции.

4. — ~ гы"йй=б(~). Ь. 6 ( — х)=6 (х), хб (х)=0, 6' ( — х)= — 6'(х), хб' (х)= — 6 (х), 1 6 (ах) = — 6 (х) — важные свойства б-функции. !а! Ь. 6(х, у, г)=6(г)=6 (х) 6 (у) 6(г) — трехмерное Ь-функции. 7. ~ У(/) 6(г) Г/г=Г (О), $ К(г) 6(г — и) Г/г=Г(а) — основное свой- ство трехмерной б-функции, ! Г 8. 6 (г)= — т) г/ /с(г — разложение 6-функции в интеграл Фурье. (2п) обобщение 287 Теперь волновую функцию д следует сопоставить некоторому исходному триплету элементарных частиц, а д — триплету античастиц Другие мультнплеты получаются по методике, упомянутой ранее в связи с изотопическими. Надо находить все парные произведения компонент исходных спиноров д и д и выделять из них совокупности, преобразующиеся только друг через друга.

Это неприводимые представления 5(/(3). Матрица нх преобразования является частью новой матрицы Г/ъ Х !/. Выясним отдельные вопросы, касающиеся числа элементов в супермультиплете. Скаляр преобразований 5!/(3) — формула (28.27) — соответствует синглету — одной частице без семейства подобных. Исходные спиноры р и д соответствуют трнплетам. Далее надо рассматривать наварные произведения д и д, затем тройные произведения и т. д. и выделять из них самостоятельные части Число элементов в каждой такой части будет соответствовать возможному супермультиплету.

С помощью теории групп установлена последовательность этих чисел Включая уже рассмотренные синглет и базисный триплет, имеем 1, 3, 6, 8, !О, 15, 24, 27, 35 и т. д. Далее нужно попытаться отождествить их с реальными супермультиплетами элементарных частиц. Здесь идея симметрии дополняется кварковой моделью.

Триплгт играет особую роль. гго компоненты называемые каарками, оказываются сосгавллюи/ими частями всех частиц, а нг одним из семейств Кварки выступают в качестве истинно элементарных частиц, тогда как все адроны не элементарны, а являются составными частицами. На этом пути из возможных мультиплетов отбираются лишь следующие: 1, 8, 10 Они действительно обнаруживаются в природе и получают свое объяснение, подобно изотопическому спину, например такие параметры, как странность и гиперзаряд; делаются некоторые занлючения о спектре масс в мультиплете. й. Л~ — ')= — 4пб(т).

Последнее равенство показывает, что — есть решение уравнения 1 Г А(У=О везде, кроме точки т=О. Приложение П Матрицы и действия с ними Матрица — это табличка с упорядоченным расположением элементов по столбцам н строкам.

Применяются квадратные матрицы, у. которых число строк и столбцов совпадает, матрицы-столбцы и матрицы-строки. Элементы квадратной матрицы А обозначаются той же буквой, но с индексами — А,» (первый индекс — строка, второй— столбец): А, ~Аьь..Аы Ак~Акь. А» А»~Аль .Ап Элементы матрицы-столбца илн матрицы-строки имеют один индекс: С~ С= С», С=(С,Сь..Сп).

Далее предполагается, что ранг складываемых нли перемножаемых матриц (чнсло строк нли столбцов) одинаков и элементами матриц являются комплексные числа. Матрицы можно складывать друг с другом: С=А+В, если С»=А,»+В»., умножать на число; В=ВА, если В;»=ХА,». Матрица С=А В является произведением матриц А н В, если С,»=~, А„В,», Перемножая квадратные матрицы, получаем квадратную матрицу того же ранга: П П=П. Имеет смысл умножение квадратной матрицы на матрицу- столбец: П=п матрицы-строки на квадратную матрицу: П ° П = П. Умножение строки на столбец и столбца на строку дает число с:з Ц =число, () ~:2 =число. Операция умножения матриц в общем случае некоммутативна. Среди квадратных матриц выделяют нулевую матрицу: 0,»=0.

Очевидно, что А+О=А, А.О=О. Важное значение имеет единичная матрица 1. Она обладает свойствами: А 1=1 А=А. Ее элементы определяются равенством 1,»=ба. 288 Единичная матрица является частным случаем диагональной матрицы. Так называется матрица вида Матрица А ' называется обратной матрицей к матрице А, если А ' А=1. (Заметим, что А ' А=А А '.) Элементы обратной и прямой матриц связаны соотношением (А ')и=( — 1)'"' — "' Л (А] Здесь Л (А) — определитель, составленный из элементов матрицы А; Оь — минор, получаюшийся вычеркиванием из определителя й-й строки и 1-го столбца. Очевидно, что матрицы с А=О не имеют об- ратных матриц. Матрица А с элементами Ам=Ам называется транспониро- ванной (по отношению к матрице А). Она получается из матрицы А перестановкой строк и столбцов.

Матрица А" с элементами А,~ =А„, называется сопряженной к матрице А. Если матрица А е =А ~, то матрица А называется уни- тарной. Поскольку А (АВ) = Л (А) Л (В) и Л (А ") =',Л (А)]', определи- тель унитарной матрицы удовлетворяет соотношению ~Л (А)~'=1, Легко доказать: (АВ)=ВА, (АВ) ~=В 'А ', (АВ)+=В~А+. Приложение 111 Элементы теории представлений Использование математического аппарата, адекватного физическим объектам, позволяет достаточно просто и логически стройно изложить соответствующую физическую теорию, расширяет возможности ее применения, способствует глубокому пониманию ее идей.

Использованный ранее математический формализм волновых функций н действующих на них функциональных операторов является частным случаем более обгцего описания квантовых систем на языке понятий линейной алгебры. В нашем курсе в основном применялось координатное представление функции состояния н операторов физических величин. Оно является не только наглядным, но и наиболее исчерпываюгцим для описания пространственного распределения микрочастиц. Однако в релятивистской области взаимодействий микрочастиц координатное представление теряет смысл, поэтому используются импульсное и энергетическое. Они и в нерелятивистской области в ряде случаев позволяют выяснить необходимые детали взаимодействия.

По указанным причинам учебная книга, посвященная квантовой механике, не может считаться полной без изложения теории представлений; основы этой теории и изложены в нижеследуюшем приложении. 289 !О з з гм Векторы и операторы в гильбертовом пространстве 1.Векторы в линейном векторном пространстве Векторами могут быть различные математические объекты, для которых определены операции сложения и умножения вектора на комплексное число. Множество векторов образует линейное векторное (комплексное) пространство, если любая линейная комбинация векторов из этого множества есть вектор, входящий в данное множество.

Вектор как элемент линейного векторного пространства в квантовой механике обозначается символом 1) и называется кет-вектором нли просто кет. Чтобы различать векторы пространства между собой, используются буквы или индексы, которые могут пробегать как дискретный, так и непрерывный ряды значений. Так, для дискретного множества применяется обозначение 1п), где и=1, 2, 3, ..., для непрерывного ~х); непрерывная переменная величина х изменяется в некотором конечном или бесконечном интервале.

Используются и другие обозначения, отражающие (или оставляющие без внимания) дискретный или непрерывный характер множества векторов: 1и„> н ~и>, 1~р (х)> и 1Ф> и т. д. Уточним определения сложения векторов и умножения вектора на число. Сложение векторов есть операция, в результате которой двум векторам 1а> и 1Ь ) сопоставляется третий вектор !с> = ~а>+ ~Ь>. Умножение вектора 1а> на комплексное число а определяет вектор 1Ь > = а1а >.

Для этих операций постулируются свойства: 1) 1а>+1Ь>=1Ь>+1а>; 2) (~а>+1Ь>)+ ~с= =1а>+(1Ь>+ ~с>); 3) 1 1а) = 1а); 4) (а+ р) 1а ) = а1а) + р1а); 5) а(Р1а))=ай!а); 6) а (1а> +16 >)=а1а> +а1Ь >, 7) множество содержит нулевой вектор, такой, что ~а) +О= ~а>; 8) для каждого ~а) существуег 1 — а), такой, что 1а) + ~ — а) =О Названные свойства нли правила действий с векторами справедливы, например, для обычных (геометрических) векторов, матриц и комплексных функций действительного переменного.

Поэтому из указанных объектов можно построить линейные векторные пространства. Линейные комбинации векторов записываются в виде суммы: ~и) =2,' с„1п'=, (2) и илн интеграла: ~и> =$ с(Уг)!Й>сй, где с„— в общем случае комплексные числа, а с(я) — комплексная функция непрерывного аргумента й. По определению линейного векторного пространства, если ~п> — векторы этого пространства, а с„— произвольные комплексные числа, то ~ и'- также вектор пространства, причем в ряд (2) входит произвольное число слагаемых. Возьмем несколько векторов. Если ни один из них нельзя выразить линейной комбинацией всех других, то говорят, что эти векторы линейно независимы.

В этом случае из равенства Х1 ~~а~ >+Х~~а~>+...=О следует, что Х, =Хр= ..=О. В противном случае векторы ~а, >, ~ар> и т. д. линейно зависимы и один из них может быть выражен в виде линейной комбинации остальных. Например, Если линейное векторное пространство содержит максимум л независимых векторов, то зто конечномерное пространство, и число его измерений равно и. Всякий вектор в этом пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации л линейно незавйсимых векторов, образующих базис. Базисные векторы можно выбрать бесконечным числом различных способов.

Существуют линейные векторные пространства, в которых число независимых векторов неограниченно. В них базис представляет собой бесконечную (счетную или континуальную) последовательность векторов. Другие векторы в таких пространствах находятся как линейные комбинации (в виде бесконечных рядов или интегралов) векторов базиса. При этом должны быть учтены все векторы базиса, т.