Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 14

Формулу (10) можно рассматривать и как разложение решения уравнения Шредингера ф(х,1) по стационарным состояниям, т. е. как обобщение формулы (9.13) на случай непрерывного спектра. Роль коэффициентов С„здесь играет функция ср(й). Состояние, описываемое функциями ф(х,1) или ф(р, 1), имеет наиболее простой физический смысл в том случае, когда р(р) отлична от нуля в некоторой малой окрестности точки р,.

Состояния такого типа обычно называют волновыми пакетами. График функции Рр(р) (з изображен на рис. 4. Напомним, что )ф(р,1) (а = )~р(р) (' есть плотность функции распределения импульса. Тот факт, что эта плотность не зависит от времени, есть следствие закона сохранения импульса для свободной частицы. Если распределение Рр(р)(а сосредоточено в окрестности точки ро, то состояние ф(г) может быть истолковано как состояние с почти точно заданным импульсом. Функция )ф(х,() )а есть плотность функции распределения координаты. Проследим за ее эволюцией во времени. Прежде всего из теоремы Римана — Лебега * следует, что для гладкой ф(р) ф (х, г)-+0 при )г)- оо, поэтому стремится к нулю ! ф(х, г) )Я ох, взятый по любой конечной области вещественной оси 11.

Это значит, что при ) г)-ь со частица уходит из любой конечной области, т. е. движение инфинитно. Для того чтобы более подробно проследить за движением частицы при больших ))), используем метод стационарной фазы. Этот метод применяется для асимптотического вычисления интегралов вида 1 (Л)) = ~ г (х) е' ~ Оа Нх (11) а ра Р при Л"- оо. Для случая гладких функций 1(х) и г" (х) и при наличии одной точки стационариости х функции )'(х) (а,(г) ()'(х) = О, )о(х)~ О) имеет место фор- Рис.

4 в интервале мула т (Л)) = ( У)~„(„)1) г (х) ехр (СЛЧ (х) + 4 агап)" (х)) + 0 ()г ) . (12) Перепишем выражение для ф(х, г) в форме Верхний знак в экспоненте соответствует 1) О, нижний 1 с О, найдем асимптотику функции ф(х, г) при г'- ~ос по формуле (12). Точка стационарности находится из условия 1' (р) = т- 2р + — = О, ' Теорема Римана — Лебега утверждает, что ~ )(х)е'™ох-ьо при я)-~ со, если функция 1(к) кусочно-непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси -ое < х < оо. откуда р = —. Далее /" (р) = =Р2 и при 1-э ~ос ! ф(х, г)=~Р( ~~ ) (э)б) е" "' '+ 0(~ ~ ), (13) где у — вещественная функция, вид которой для дальнейшего неважен.

По предположению функция Ч~(р) отлична от нуля только в малой окрестности точки рм поэтому | Ф(х, г) Г=~% ~ — ) ~ — + ~ш )~2!1! Г ! +0~ —,~ отлична от нуля только вблизи точки х = 2р,й Из ~1~~ ) этого соотношения видно, что область, в которой отлична от нуля вероятность найти частицу, перемещается вдоль оси х с постоянной скоростью о = 2рм т. е. остается справедливой классическая связь между импульсом и скоростью р = ти (напомним, что мы положили т = 1/2).

Далее из асимптотического выражения для 1ф(х, /) ~э ясно, что для корня из дисперсии координаты Л„х при больших значениях ~1) справедлива формула Л„хы2б„рП| Л х ы Л„о 1/ ~. или Это означает, что область, в которой велика вероятность обнаружить частицу, передвигаясь вдоль оси х, будет расплываться со скоростью Л„п. Нетрудно понять без всяких вычислений, что поведение классической свободной частицы, находящейся в состоянии с ненулевыми дисперсиями координаты и импульса, будет точно таким же. Таким образом, квантовая механика приводитпрактически к тем же результатам для свободной частицы, что и классическая.

Единственное отличие состоит в том, что в квантовой механике, согласно соотношению неопределенностей, нет состояний с нулевыми дисперсиями координаты и импульса. Отметим еще некоторые формальные свойства решения уравнения Шредингера для свободной частицы. Из соотношения (13) следует, что ф(х, г) =О(, ), т. е. при любых х имеет место неравенство 1ф (х, /) ~ ( —, П)м ' где С вЂ” некоторая константа. Естественно ожидать поэтому,что вектор ф(/) слабо стремится к нулю при 1/)-э оо. Проще всего это утверждение доказывается в импульсном представлении. Для произвольного вектора ~ ~ Е'(11) имеем (ф(1), !) = ~ ~р(р) е ~~ч1(р)г(р.

Последний интеграл стремится к нулю при !1)-~ со по теореме Римана — Лебега. В координатном же представлении слабая сходимость к нулю ф(1) имеет очень простой смысл. Постоянный вектор ! задается функцией, которая заметно отлична от нуля лишь в некоторой конечной области й, а область, в которой отлична от нуля функция ф(х,г), расплываясь, уходит на бесконечность. Поэтому (ф(1),~)-+О при ~г!-~.

оо. Проверим, что асимптотическое выражение (!3) для функции ф(х,1) имеет-правильную нормировку. При !г~ оо имеем ~ ! ф(х, 1) !'ох ам ~ — ~р( ~ ) ~ с(х= ~ ! ~р(й) !за'/г=-!. $ 16. Гармонический осциллятор В классической механике гармоническим осциллятором на. зывается система с функцией Гамильтона Н (Р, и) = 2Р + — 62. Параметр в ~ О имеет смысл частоты колебаний.

Оператор Шредингера соответствующей квантовомеханиче. ской системы имеет вид рз,зОз + 2 2 (1) Мы используем систему единиц, в которой т = 1, й =!. Наша задача найти собственные векторы и собственные значения оператора Н. Мы решим эту задачу, используя только перестановочные соотношения Гейзенберга для операторов Р и О и не переходя к конкретному представлению.

Для этого введем операторы а = — (аЯ+ (Р), т/2а (2) а' — (аЯ вЂ” (Р). ~/2а Используя соотношение Гейзенберга [Я, Р)=1, (3) та получим = — ', (в ЕР+ Рз) + — '", ( — Ор+ РЕ = Н+ ",, Ы = — '( ЧР+Рз)+ — '" ~~Р— Щ)-Н вЂ”вЂ” 2 2 2 или Н=ваа — —, в 2 ' Н = ва"а+ —. 2 ' (4) (5) Из (4) и (5) сразу находим перестановочное соотношение для операторов а и а* [а, а"[ = !. (6) Из (6) легко проверяется по индукции, что [а,(а')"[=п(а*)" '. Наконец, нам потребуются перестановочные соотношения операторов а и а' с Н. Для вычисления коммутатора [Н,а[ достаточно умножить формулу (4) на а справа, (5) на а слева и найти разность полученных выражений [Н, а[= — ва. (8) Аналогично [Н, а"[ = ва'.

(9) Перейдем теперь к изучению спектра оператора Н. Предположим, что существует хотя бы одно собственное значение Е оператора Н. Соответствующий собственный вектор мы обозначим через фв Покажем, что собственные значения Е ограничены снизу. Вектор фз по условию удовлетворяет уравнению Нфз — — Ефв которое может быть с учетом (5) переписано в виде [' а'а+ Я фа=Ефл. Умножая это равенство слева на фв получим в[[афа[[ + 2 [[Фа[[ = Е[[~>в[[ откуда сразу следует, что Е ~ в/2, причем знак равенства возможен только при условии афа = О.

Из выражения (5) для Н видно, что если некоторый вектор ф удовлетворяет условию аф = О, то он является собственным вектором оператора Н, соответствующим собственному значению в/2. Покажем, каким образом можно по произвольному собственному вектору фа построить новые собственные векторы.

Подсчитаем выражение Нафв используя (8): Нафв=аНфе вафа=(Š— в)афл. 71 Из последнего соотношения видно, что либо афо является собственным вектором, соответствующим собственному значению Š— оо, либо афа = О. Если афо ~ О, то вектоР аофа либо собственный с собственным значением Š— 2оо, либо а'фа = О. Таким образом, по произвольному собственному вектору фа может быть построена последовательность собственных векторов фа, афа, ..., а"фа, соответствующих собственным значениям Е, Š— оо, ..., Š— Уоо.

Эта последовательность, однако, не может быть бесконечной, так как собственные значения оператора Н ограничены снизу числом оо/2. Поэтому существует такое Ф ) О, что а~фа ~ О, а"+'ора = О. Обозначим вектор а~фа через фо. Этот вектор удовлетворяет уравнениям оо аФ =О, Нйо 2 Фо. (10) Мы видим, что предположение о существовании хотя бы одного собственного вектора фа эквивалентно предположению о существовании вектора фо, удовлетворяющего (10).

Вектор фо описывает основное состояние осциллятора, т. е. состояние с наименьшей энергией оо/2. Посмотрим, как действует оператор а' на собственные векторы оператора Н. Используя (9), получим На"фа = а"Нфа + ооа'Фа = (Е + оо) а'~>а. (1 1) При вычислении использовалось перестановочное соотношение (7) и равенство (10).

Таким образом, последовательность нормированных собственных векторов оператора Н можно задать формулой Ф„= = (а')"фо, и = 0,1,2, ... и! (12) Обратим внимание на то, что а'фа не может быть нулевым вектором. Действительно, из выражения (4) для оператора Н видно, что вектор, удовлетворяющий уравнению а'ф = О, является собственным вектором Н с собственным значением — оо/2, что невозможно, так как Е ) оо/2. Поэтому из (!1) следует, что а*фа является собственным вектором оператора Н с собственным значением (Е+ оо).

Аналогично (а')офз — собственный вектор с собственным значением (Е+ 2оо). Начиная такое построение с вектора фо, мы получим бесконечную последовательность собственных векторов фо, а'фо, , (а')"оро.. соответствующих собственным значениям оо/2, оо/2+ оо, ..., (и+ 1/2)оо, ... Пусть вектор фо нормирован Ц фо Ц = 1. Вычислим норму вектора (а*) "~о Ц (а')"Фо Ц' = ((а")"Фо (а')"Фо) = (фо, а" ' (а*)"аФо) + +п(фо а" '(а)" фо)=п!/(а)" фон~ = .. =и! !!фон =п! ... Ортогональность векторов ф„, соответствующих различным соб- ственным значениям, следует из общих соображений, но может быть проверена и непосредственно ИЪ ф„) = (ф,, а (а')"фз)=0 при /г чь л.

тlиТ И Последнее равенство получается из формул (7) и (1О). Обсудим теперь вопрос о единственности вектора фа. Натянем на ортонормированную систему векторов ф„гильбертово пространство М. Элементы ~р е= М имеют внд (13) В этом пространстве мы получим реализацию перестановочных соотношений Гейзенбера, если положить в соответствии с (2) (14) в 17. Задача об осцилляторе в координатном представлении В предыдущем параграфе мы чисто алгебраическим путем нашли спектр оператора Шредингера для осциллятора. Было сделано только одно предположение, что существует хотя бы один собственный вектор оператора Н. Это эквивалентно существованию решения уравнения афз —— О. Покажем, что в координатном представлении действительно существует единственное решение этого уравнения.

Запишем операторы а и а* в координатном представлении а ==(ах + — ), т/2в Ых а" = (ах — — „). (2) Соотношение (3) тогда является следствием формулы (0). Пространство М инвариантно относительно действия операторов Р и Я (точнее, относительно ограниченных функций 1(Р) и РЯ), например, У(и) и У(о)) и не содержит подпространств, обладающих тем же свойством.

Поэтому представление операторов Я и Р формулами (14) в М неприводимо. Если в некотором представлении существует два вектора ф, и фз, удовлетворяющих уравнению (!О), то наряду с Я может быть аналогично построено пространство Я' по вектору фз Это пространство будет инвариантным относительно Р и Щ т.