Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 15

е. представление, в котором существует более одного решения уравнения (10), будет приводимым. Уравнение афо = О принимает вид оохоро (х) + фо (х) = О. Разделяя переменные, получим — = — оох ах аозо ото оооо ого (х) = Се Постоянная С находится из условия нормировки ~ ~ оРо(х) ~одх=С (' ~ е "" о(х=( С!з( — ") о =1. Этому условию удовлетворяет С=(оо/и)н', и нормированная собственная функция для основного состояния имеет вид нк' оро(х) = ( — ) е Собственные функции для возбужденных состояний ф„(х) находятся по формуле (16.12) с учетом (2) (оо2 ( ) (оо)4 (2я) з ( а) Очевидно, что эти функции имеют вид ор„(х) = Р„(х) е где Р„(х) — полипом и-й степени.

Можно показать, что Р„(х)= = Н„( 1/оох), где Н„($) — полинам Чебышева — Эрмита. Известно, что система функций Н„ф)е ' полна в 1.2(м). Это утверждение, вообще говоря, следует из неприводимости координатного представления и результатов предыдущего параграфа. Функция ~ор„(х)1' является плотностью функции распределения координаты в п-м состоянии осцнллятора. Интересно сравнить это распределение с соответствующим классическим распределением. Решение классической задачи об осцилляторе имеет вид х(Г) А з1п(в1+ор), (3) где А — амплитуда колебания, а р — начальная фаза. Энергия колебаний может быть вычислена по формуле 80 и равна етаАа/2. Соответствующая плотность функции распределения координаты имеет вид г" (х) = б(х — х(1)). (4) Ясно, что стационарное состояние квантового осцнллятора ни при каких условиях не может переходить в классическое чистое состояние, задаваемое формулой (3).

Естественно предположить, что пределом квантового состояния будет классическое смешанное состояние, являющееся выпуклой комбинацией (3) вс. 5. со случайными фазами ф. Для такого состояния плотность функции распределения координаты получается усреднением (4) ея я .г" (х)= — „~ б(А з1п (со!+ ф) — х) с(ф= — ~ 6(А ейп ф — х) !/ф= г 1 ви з о я я —,, х~( — А, А), 1 1 В (Аа — ла) или короче Р (х) и ч/Ае — ле Графики функций Р(х) и ) ф, (х) 1а приведены на рис. 5 для достаточно большого и при условии, что е Е, = /!(и+ 1/2)о! = = соЯАа/2. При и -ь оо квантовое распределение будет стремиться к классическому.

Условие и- оо при заданной энергии Е может быть выполнено, если й-ь. О. Отметим важное отличие функций Р(х) и )фе(х) (Я. Функция Р(х) = О при 1х1) А, т. е. классическая частица всегда находится между точками — А и А (в классически разрешенной области). Функция 1ф„(х)1а при 1х1) А в нуль не обращается. Это означает, что квантовая частица может бытьобнаружена с конечной вероятностью в классически запрещенной ' Здесь мы для удобства явно выпвсываем постовввую Планка л, не считая, что а 1.

81 области. Для произвочьного потенциала У(х) эта область определяется из условия, что полная энергия Е ( Р(х), что соответствует отрицательным значениям классической кинетическрй энергии. $18. Представление состояний одномерной частицы в пространстве последовательностей 12 Согласно результатам 8 16 любой вектор ф ~ М может быть разложен в ряд по собственным векторам оператора энергии гармонического осциллятора ф=,')'ф— "ф„~)С„)'С л й Каждый вектор фа= а однозначно определяется последова.

тельностью коэффициентов (С„), т. е. ф (С„). Пусть ф ~ (В„), тогда в силу ортонормированности системы (, ~~и векторов ф = =, фо л / — ) (ф,ф)=~„ф. Посмотрим, как действуют операторы в таком представлении. Для этого достаточно построить операторы а и а'. Пусть ф (С„), аф (С„'). Нам нужно выразить С„' через С„. Это можно сделать следуюшим образом: тч (а )а т ч а (ч*)"-~ аф=а ~ С„=Фо = ~,Са — фо= И л л Ю При вычислении использовались соотношения [а, (а') "] = = п(а")"-', афо = О, последнее равенство получается при замене значка суммирования п - и + 1. Из (1) видно, что С„= т/а+ 1С„+и (2) Аналогично ч-з (а )л ч % (а*)а+! а'ф=а*~ ф— фа= ~ С„ Фо= ч/лТ " ч/а) Поэтому, если а ~р~-+(С'„), то С„= ь/и С„~ (3) Формулы (2) и (3) становятся особенно наглядными, если использовать матричные обозначения.

Будем записывать последовательность (С„) в виде столбца Тогда операторы а и а' могут быть записаны при помощи мат- риц . (4) Проверим, что такая запись эквивалентна соотношениям (2) и (3). Действительно, О ~/1 О О О О ~/2 О О О О ~/3 что совпадает с формулой (2); аналогично проверяется связь формул (3) и (4). Для операторов а и а* в представлении (4) сразу же проверяется перестановочное соотношение (а, а') = 1. Собственные векторы оператора Н в этом представлении имеют вид 11) О 1 О $~= О Очевидно, что вектор фз удовлетворяет уравнению афа = О.

Операторы а* и а часто называют операторамн рождения и уничтожения возбуждения. Эти названия объясняются тем, что оператор а' превращает состояние с энергией Е в состояние 83 О ~/1 О О О О 1/2 О О О О ~/3 Со С, <р~ С~ Со С, С О О О ~/1 О О О ~/2 О ~/Т с, ~/2 С т/З С, с большей энергией Е+в, а оператор а — состояние с энергией Е в состояние с энергией Š— в (основное состояние ~ра оператор а аннулирует).

Иногда вводят так называемый оператор числа возбуждений У = а*а. В нашем представлении он имеет вид О О О О О 1 О О У О О 2 О О О О 3 Собственные значения этого оператора совпадают с порядковым номером возбужденного состояния ф,. Выпишем, наконец, операторы Н, Р и Я в рассматриваемом представлении О О з — в О 2 5 Π— в 2 Н=ва"а+ — е 2 О )/! ΠΠ— )/Т О ~/2 ΠΠ— )/2 О х/3. ΠΠ— т/З О (6) О х/Т О О х/Т О х/2 О О Х/2 О т/3 .

О О .~/3 О 84 Из этих формул видно, что Н представляется диагональной матрицей, т. е. рассматриваемое представление является собственным для оператора Шредингера гармонического осциллятора. Далее, сразу видно, что Р и Я в самосопряженные операторы, и легко можно проверить выполнение перестановочного соотношения Я, Р) = Е В связи с представлением состояний в пространстве 1х хотелось бы несколько слов сказать о первоначальной матричной формулировке квантовой механики Гейзенберга.

На начальном этапе развития квантовой механики основной была задача 5 19. Представление состояний одномерной частицы в пространстве целых аналитических функций Ы Рассмотрим множество функций комплексного переменного вида 7 (г) =,) ф— л а ~~с„р< л Это множество функций Ы становится гильбертовым простран. ством, если скалярное произведение определить формулой (1ь 1а) = — „~ ~~(а) яя)е-~' рЫр(а). (2) Интеграл берется по комплексной плоскости и пр(г) = а(хпу. Проверим, что функции г"/~lп) образуют ортонормированный базис в Я.

Для этого вычислим интеграл 1„= ~ г"а'"е ~' ге(р(г) =,~ рЫр ~ а(Чар"+~е'о'" м'е о'. а а При и Ф т 7 „= 0 за счет интегрирования по ф. При и = т имеем ОЭ 7„„= 2п ~ ры+'е оаа(р = и ~ 1"е 'й =пи) о о аб о нахождении допустимых значений энергии системы. Рецепт, предложенный Гейзенбергом применительно к системе с одной степенью свободы, состоял в следующем. Рассматривалась классическая система с функцией Гамильтона Н(у, р) = = р92т+ Р(д). Строились самосопряженные матрицы Я и Р, удовлетворяющие соотношению Я, Р) = ( (такие матрицы определены неоднозначно). Далее строилась матрица Н = = РЦ2т + г'(Я). Последний этап состоял в диагонализации этой матрицы, причем собственные значения матрицы Н отождествлялись с допустимыми значениями энергии.

Формулы (6) и (7) дают пример матриц Р и Я, удовлетворяющих перестановочным соотношениям Гейзенберга. Эти матрицы подобраны так, что матрица оператора Н для осциллятора сразу является диагональной. Однако для произвольного Н нельзя обойтись без этапа диагонализации. Мы видим, что формулировка Гейзенберга по существу совпадает с современной формулировкой квантовой механики, если в качестве пространства состояний взять пространство (а. т~ (а')" Произвольное состояние <реп 2в, <р = ~ С„ ф, может " 1(л-1 л быть представлено функцией 1'(г) = ~ ф—, ~р~-~1'(г). Собз/лТ ственные векторы осциллятора ф„представляются базисными функциями г"/ ~/п!. Посмотрим, как действуют операторы а и а' в таком представлении.

Используя выкладки, которые привели нас к формулам (18.2) и (18.3), мы можем записать векторы а~р и а~р' в виде р=')" С„"( ' л ,)2+1 а~р=~~',С2 ~ —; "т'2 Эти векторы представляются функциями а<р ~~~ ф— '= — 1(г), тй1 22 л 2+1 а*у ~-~ ~ ф— ' = г( (г), /п1 т. е. для операторов а и а" мы получили представление а~ —, а +г. а'2 Выпишем соответствующие формулы для операторов РиН Н~ а(г — „+ — ). Все основные соотношения ((а, а')=1, (Я, Р)=1, Нф„= 1~ 21 (и -(- — ~ф„) могут быть легко проверены в таком представлении.