Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 10

Эти наблюдаемые будем называть координатами н проекциями импульса. В дальнейшем мы сумеем оправдать такое сопоставление операторов координатам н импульсам следующими обстоятельствами, Изучив наблюдаемые, определенные соотношениями (6), мы увидим, что они обладают многимк свойствами классических координат и импульсов. Например, для свободной час. тицы проекции импульса являются интегралами движения, а средние значения координат линейно зависят от времени (равномерное прямолинейное движение). Далее, соответствие дг + Яг, рг +-+ Р» з = 1, 2, 3, явится для нас основой для построения общего соответствия 1(д, и) Аг.

Определенные таким образом квантовые наблюдаемые, в том числе координаты н импульсы, прн предельном переходе превращаются в соответствующие классические наблюдаемые *, Наконец, правила соответствия 1 ~Аз делают теорию вполне конкретной, и ее результаты могут проверяться в экспериментах, Именно согласие теории с экспериментом следует считать окончательным оправданием предположения (6) и всей квантовой механики.

Условия (6) называются условиями .квантования Гейзенберга. Из этих условий н формулы (7.1) сразу следуют соотношения неопределенности Гейзенберга для координат и импульсов. Эти соотношения мы уже обсуждали. Часто формулы (6) записываются для коммутаторов Йз без)=О, (Рг, Рз)=О, Щ, Рз]=йбгз. (7) Эти соотношения называются перестановочными соотношениями Гейзенберга. з Точный смысл етого утверждения обсуждается в $14. Имеет место замечательная теорема Неймана — Стоуна.

Мы сформулируем ее без доказательства а. У системы соотношений (7) существует единственное неприводимое представление операторами в гильбертовом пространстве (с точностью до унитарного преобразования). Напомним, что означает неприводимость представления. Обычно используют два эквивалентных определения: 1) представление соотношений (7) называется неприводимым, если не существует оператора, отличного от кратного единичному С7 и коммутирующего со всеми операторами Я, и Р,; 2) представление называется неприводимым, если не существует в аэ подпространства ййо, инвариантного относительно всех операторов Я; и Рь Проверим эквивалентность этих определений.

Если существует инвариантное относительно Я; и Р; подпространство Яа, то проектор на это подпространство Рзв, коммутирует с Щ и Р; и, очевидно, Рта,~С7. Если есть оператор А Ф Сl, коммутирующий со всеми Я; и Рь то А*, а значит, н А+А* коммутируют с Я, и Рь Поэтому с самого начала можно считать А самосопряженным. Самосопряженный оператор А имеет спектральную функцию Р,11.), которая при некотором Л отлична от нуля и С(. Оператор Рл1Х) коммутирует с Я; и Рь и, следовательно, подпространство Я,, на которое он проектирует, инвариантно относительно 9; и Р;.

Из теоремы Неймана — Стоуна следует, что если мы найдем какое-либо представление перестановочных соотношений Гейзенберга и докажем его неприводимость, то все остальные не- приводимые представления будут отличаться от него унитарным преобразованием. Мы знаем, что физическое толкование теории основано на формуле для среднего значения (А (ю) = Тг АМ. Правая часть этой формулы не меняется при унитарном преобразовании всех операторов. Поэтому физические результаты теории не зависят от того, какое из унитарно эквивалентных представлений мы выбираем. 5 11. Координатное и импульсное представления Опишем наиболее часто используемое в квантовой механике так называемое координатное представление.

Иногда его называют представлением Шредингера. В этом представлении в качестве пространства состояний для материальной точки выби- ч Приведенная формулировка не является точной, так как имеются тонкости, связанные с неограниченностью операторов Р и Я, которые мы не обсуждаем. Подобные трудности не возникнут, если вместо самих операторов Р н О рассматривать ограниченные функции от этих операторов. Точную формулировку теоремы Неймана — Стоуна мы приведем в $13. РаЕтСЯ ПРОСтРаНСтВО 1.з(ЙЗ) КааДРатнЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫХ КОМ- плекснозначных функций ф(х) = ф(хи хм к,). Скалярное произведение определяется равенством (фп фз) = ~ ф1 (х) ф,(х) г(х.

в ю (РЛ, 'ф)= ~ д» вЂ”. д ф(х)= ) г(хз ~ г(хз — ф(х) ф(х) Ь дф(х) — Г Г Ь «в О Х =— — ~ г(хф(х) —.— — а(хф(х) —. — (ф, Р, ф). Ь дФ(х) Г Ь дф (х) Проверим перестановочные соотношения (10.7). Первые два из них очевидны, а третье следует из равенств Ь д Ь Ь д РД(ф (х) = —. — (х)ф (х)) = —. б)ьф (х) + х( —. — ф (х), Ь д О;Р ф(х)=х) —. д ф(х). Таким образом, мы действительно построили представление соотношений (10.7) линейными операторами. Неприводимость этого представления мы докажем позже. Приведем еще один пример представления (импульсное представление). В этом представлении пространство состояний да тоже является комплексным пространством сз(К') с элементами ф(р), а операторы Я; и Рь 1 = 1, 2, 3 определяются следующим образом: ='" дя) д Р(ф(р) =Ргф(р) (3) 51 Операторы Я( и Рь )' = 1, 2, 3 вводятся формулами О(ф (х) = х)ф (х), Р(ф (х) = —, — ф (х).

Ь д (2) Это неограниченные операторы, что соответствует физическому смыслу наблюдаемых, так как числснные значения координат и импульсов неограничены. На области О, образованной бесконечно дифференцируемыми функциями, убывающими быстрее любой степени, определены сами операторы О( и Р) и любые их целые положительные степени. Очевидно, область О плотна в Ж.

Можно показать, что операторы ф и Р( имеют единственные самосопряженные расширения по замыканию. Симметрия этих операторов проверяется просто. Например, для Р, и любых функций фен О, фен О, интегрируя по частям, имеем Перестановочные соотношения (10.7) проверяются так же, как для координатного представления, и так же доказывается неприводимость. По теореме Неймана — Стоуна эти представления унитарно эквивалентны, т. е. должно сушествовать унигарное преобразование ' <р (х) -+ !р (р), при котором операторы, определенные формулами (3), превра- щаются в операторы (2). Нетрудно видеть, что таким преобра- зованием является преобразование Фурье з — ! !р(х) = ( — й ) ~ и " ср (Р) с(Р, (4) з <р(р) = ( д „ ) ~ е " ср (х)с(х. Унитарность преобразования Фурье следует из равенства Парсеваля ~ ) ср (х) р Нх = ~ ) ср (р) )з !ур.

Применяя оператор — — к выра>кению (4), получим Ь д дх! з з — ! — ! дл (Яна) ~ и сР(Р)!(Р=(знй) ~ и РтсР(Р)сзр н' д Х)!р (Х) -ь зй — !р (р). др! Таким образом, мы проверили унитарную эквивалентность координатного и импульсного представлений. Выпишем формулы преобразования интегральных операторов при переходе от координатного к импульсному представ- * Мы сознательно используем один и тот же символ для обозначения разных функции !р(х) и !р(р), так квк обе эти функции представляют один и тот же вектор состояния !р. Мы видим, что при унитарном преобразовании В" оператор — — преврашается в оператор умножения на переменную р!.

Л д ! дх! Аналогично проверяется, что лению: А!р (х) = ~ А (х, у) !р (у) !(у, А!р (р) = ( — „„) ' ~ е " А!р (х) !(х = ! =( — „„) ~ е " А(х, у)е" !р(п)!(х!(у!й~= = ~ А(р, и)!р(п)!(в, ! А (р, й) = ( †„„ ) ~ е " А (х, у) е " !(х !(у. (6) где Если оператор в координатном представлении является оператором умножения на функцию 1(х), то его можно рассматривать как интегральный с ядром А (х, у) = 1(х) 6 (х — у).

В импульсном представлении ядро такого оператора зависит только от разности переменных и имеет вид ! А(р, и)=( — ) ~!(х)е" !(х. яа и если Выясним теперь физический смысл функций !р(х) и !р(р), которые обычно называют волновыми функциями. Начнем с волновой функции в координатном представлении !р(х). Вэтом представлении операторы Я! (! = 1, 2, 3) есть операторы умножения на переменные хь т. е. координатное представление является собственным для операторов Я,. Чтобы пояснить это, сделаем небольшое математическое отступление. Задать функциональное представление гильбертова пространства М вЂ” это значит задать взаимно-однозначное соответствие между векторами этого пространства и функциями веще- Формулы преобразования от импульсного представления к координатному отличаются знаком в показателях эксцонент ! ! А(х, у) = ( — „а ) ~ е" А(р, п)е " а'р в!и, яв А (р, и) = Р (р) Ь (р — и), то (' )=(Ю'~'~) ""' "' (9) У ственной переменной ~р + ~р(х) и задать меру на вещественной оси йл(х) так, что (~р, ф) = ~ ~р (х) ф (х) йи (х).

Значения функции ~р(х) могут быть комплексными числами или функциями от других переменных, т. е. являться элементами какого-то дополнительного пространства, и ~р(х)~(х) тогда обозначает скалярное произведение в этом дополнительном пространстве. В первом случае представление называется простым, а во втором — кратным. Две функции р(х) следует считать равными, если они отличаются только на множестве гл-меры нуль. Представление называется спектральным для оператора А, если действие этого оператора сводится к умножению на некоторую функцию 1(х) А~р ( (х) ~р (х). Представление называется прямым или собственным для оператора А, если ((х) = х, Аф х~р (х).

Спектр оператора А может быть описан как носитель функции распределения меры. Скачки меры соответствуют собственным числам. Если мера абсолютно непрерывна, то спектр непрерывный. Напомним, что в конечномерном пространстве С" мы называли собственным для оператора А такое представление, в котором векторы у задавались коэффициентами разложения йч по собственному базису оператора А. Пусть спектр оператора А простой Ачч =аахм л 'Р= Х чав~ %=(ф Ф). ! 1 Вектору ~р можно сопоставить функцию ~р(х), такую, что н (ьн) = ач (значения функции у(х) при х Ф а; выбираются произвольно).

Функцию распределения меры выберем кусочно- постоянной с единичными скачками при х= аь Оператор А тогда можно задать формулой А~р х~р (х), так как эта запнсь эквивалентна обычной Ф1 а нр1 Кратному собственному значению а! соответствует несколько собственных векторов. Мы можем ввести функцию !р(х), значение которой в точке а! есть вектор с компонентами !р!ь, Й = 1, 2, ..., г!. В этом случае представление будет кратным, и кратность его равна кратности г; собственного числа аь Мы видим, что оператор в собственном представлении является аналогом диагональной матрицы в С".

В собственном представлении оператора А легко описать функцию 1(А) 1" (А) <р ! (х) !р (х). (1О) В частности, для спектральной функции оператора Р, (Л) = = 0(Л вЂ” А) формула (1О) дает Рл(Л)<р~ 0(Л вЂ” х)!Р(х)=~ Гф (х), х ~ (Л, (О, х)Л, Спектр оператора А будет полностью описан, если для оператора А удастся построить его спектральное представление.