Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 7
Текст из файла (страница 7)
е. между множеством состояний и множеством матриц плотности М существует взаимно-однозначное соответствие Если М~ и Мз — операторы со свойствами (3), то очевидно, что их выпуклая комбинация М=аМг+(1 — а)Мь 0 <а < 1 также обладает втими свойствами и, следовательно, соответ- ствует некоторому состоянию в = ав1 + (1 — а) вз. Мы видим, что множество состояний в квантовой механике яв- ляется выпуклым. Всем требованиям к матрице плотности удовлетворяет одно- мерный проектор Рч, (!! ф (! = 1). Действительно, 1) (РчВ, Ч) = (В, 1И (Ф Ч) = ( ь ф) й, ф) = В, Рчт1), 2) (РчД, з) =(К, ф)(ф, в) =!(в, ф) )а)0, 3) Тг Р =(ф, ф) =1. В конце параграфа мы покажем, что состояние Ре не рас- кладывается в выпуклую комбинацию других состояний, т. е.
Зз х з ззз Мф! = р!ф!. Разложим произвольный вектор $ по этому базису и подей- ствуем на него оператором М, ь=,Е (ь ф!)ф! !! !! М~= ~р В, ф) р = ~рР,,~ ь=! ! ! В силу произвольности $ М= УрчР,. 1=! (4) Все числа р! неотрицательны, так как они являются собственными значениями положительного оператора. Кроме того, ~',,рч = Тг М = 1 н, следовательно, состояние М действительно является выпуклой комбинацией чистых состояний Рч .
Для среднего значения наблюдаемой в чистом состоянии ы Рч формула (2) принимает внд (А ! ы) = (Аф, ф), ~~ ф ~~ = 1. (б) Для случая смешанного состояния !а М= ,'~~,рчРч имеем ! (А ~ а) = ~ р, (Афо !р;). $-! (б) 34 является чистым. (Напомним, что в классической механике чистое состояние имеет функцию распределения р(д, р) = = б(д — до)6(р — ра).) Заметим, что чистое состояние определяется заданием вектора ф, однако между чистыми состояниями и векторами нет взаимно-однозначного соответствия, так как если ф' отличается от ф численным множителем по модулю равным единице, то Р =Р . Таким образом, чистому состоянию соответствует класс нормированных на единицу векторов, отличающихся друг от друга множителем е!, где а ~ Й.
Вектор ф обычно называют вектором состояния, а пространство, в котором действуют самосопряженные операторы (наблюдаемые), пространством состояний. Пока в качестве пространства состояний мы взяли пространство С". Покажем, что любое состояние в квантовой механике является выпуклой комбинацией чистых состояний. Для этого заметим, что М, как всякий самосопряженный оператор, имеет собственный базис Эта формула показывает, что так же как и в классической механике, утверждение о том, что система находится в сме. шанном состоянии М=~" и,Рч равносильно утверждению, что система с вероятностями рь 1= 1, ..., п находится в чистых состояниях Рч, 3 В заключение этого параграфа докажем, что состояние, опи.
сываемое матрицей плотности М=Р, является чистым. Нам нужно показать, что из равенства Ре=аМ~+(1 — а) Мм О <а < 1 (7) следует, что М~ — — Мд — — Р, . При доказательстве используем, что для положительного оператора А и произвольных векторов ~р и ф справедливо неравенство ~ (А~р, ф) (2( (А<р, ~р) (Аф, ф). (8) Из (8) следует, что А~р = О, если (А~р,ср) = О. (Неравенство (8) есть условие положительности формы Эрмита: (А (ая~+ Ьф), а~р+ Ьф) =(Аф, в)па +(А~р, ф)а6+(Аф, ~р)а6+(Аф, ф)Ьб ) О, где а и 6 — комплексные числа.) Обозначим через М~ подпространство, ортогональное вектору ~р, тогда Р„ц = О, если ~р еи,убь Используя положительность операторов М, и М, и (7), имеем О ~(а (М~~р, ~р) ~< а (Мпр, ~р) + (1 — а) (Ммр, ~р) =(Р,р, <р) = О, т.
е. Мир = О. Используя самосопряженность Мь получим для произвольного вектора $ (Мпр, $) = Ор, МД) = О, ~р еи Мь поэтому МД=Сф и, в частности М~ф=Сяф. Здесь С.„— константа, зависящая от вектора $. Произвольный вектор $ можно представить в виде ~=(5,ф)ф+р, р~®ь поэтому МД= СеРД, т.
е. М~ — — СчР,, Наконец, из условия Тг М, = 1 получаем, что Се — — 1, следовательно, М, =- Р, и М,=Р, Можно проверить и обратное утверждение. Если состояние является чистым, то существует вектор ~р ~ С", !! ф и = 1 такой, что М=Ре. 8 7. Соотношения неопределенности Гейзенберга В этом параграфе мы покажем, как соотношения неопределенности, которые упоминались в 5 4, следуют из математического аппарата квантовой механики, и дадим их точную формулировку.
яа Рассмотрим дисперсии двух наблюдаемых А и В в состоянии а. Напомним, что дисперсия наблюдаемой определяется соотношением Л),А =(а!(А Аср) Р) =(в ~Аз) (в !А)з где А, =(а ~А). Через Л„А мы обозчачаем,~/ЛзА Соотношения неопределенности утверждают, что для любого состояния ы справедливо неравенство Л„А Ь В) — !((А, В)и1ы) ~. (1) Соотношения неопределенности достаточно доказать для чистых состояний.
Для смешанных состояний они будут следовать тогда из неравенства (2.17), которое справедливо и в квантовой механике, так как его вывод не зависит от реализации алгебры наблюдаемых. Начнем с очевидного неравенства ((А + (аВ) ф, (А + 1аВ) ф) ~) О, 1 ф Ц = 1, а ен )х.
Раскрывая левую часть, получим (Азф ф) + аз(В'ф, ф) — (а((А — ВА) ф, ф) ) О. Используя определение квантовой скобки Пуассона (5,15) и формулу для среднего значения наблюдаемой в чистом состоянии в Рэ (6.5), перепишем последнее неравенство в виде (А' ! м) + а'(В' ~а) — аЬ((А, В)„!а) )~ О при любом а ~ й и, следовательно, (Аз1а)(Вз /а)) — ((А, В)„1а)з Соотношения неопределенности (1) непосредственно следуют из этого неравенства, если сделать замену А -~. А — А,р,  — ~- — В,„и учесть, что (А, В)»= ((А — А,р), ( — В„) )„. Соотношения неопределенности показывают, что дисперсии двух наблюдаемых могут обратиться в нуль одновременно только в том случае, когда среднее значение скобки Пуассона равно нулю.
Для коммутирующих наблюдаемых (А, В)ь = О и правая часть равна нулю для всех состояний. В этом случае соотношения неопределенности не накладывают никаких ограничений, и такие наблюдаемые являются одновременно измеримыми. В дальнейшем мы увидим, что действительно существует принципиально возможный способ одновременного измерения таких наблюдаемых. Наиболее сильные ограничения накладываются на пары наблюдаемых, для которых ((А, В)ь)а) Ф О для всех аь например, если (А, В)з = сопя(. В этом случае не существует состояний, в которых дисперсии обеих наблюдаемых равны нулю.
Мы увидим в дальнейшем, что для одноименных координаты и проекции импульса Р,Эа=~, где ! — единичный оператор. Соотношения неопределенности для этих наблюдаемых принимают вид Ь„РЬЯ ) )й/2, т. е. в природе не существует состояний, в которых координата и одноименная проекция импульса имеют одновременно вполне определенные значения. Это утверждение справедливо как для смешанных, так и для чистых состояний, поэтому чистые состояния квантовой механики в отличие от чистых состояний классической механики не являются состояниями с нулевой дисперсией всех наблюдаемых.
Мы можем теперь вернуться к вопросу, поставленному в начале й 2: чем можно объяснить неоднозначность результатов экспериментов. Мы видели, что в классической механике такая неоднозначность связана только с условиями эксперимента. Если в условия эксперимента включить достаточное число предварительных измерений, то мы сможем быть уверены, что система находится в чистом состоянии и результаты' любого эксперимента полностью детерминированы.
В квантовой механике ответ на этот вопрос оказывается совершенно другим. Соотношения неопределенности показывают, что не существует даже принципиальной возможности поставить эксперимент так, чтобы результаты всех измерений были определены однозначно условиями эксперимента. Мы вынуждены, таким образом, считать, что вероятностный характер предсказаний в микромире связан с физическими свойствами квантовых систем. Эти выводы кажутся настолько неожиданными, что интересным представляется вопрос о возможности введения в теорию так называемых «скрытых параметров», Можно предположить, что описание состояния системы при помощи матрицы плотности М = Р, не является полным, т. е, кроме Р„следовало бы задать значения каких-то параметров» х («скрытых параметров»); тогда описание станет достаточным для однозначного предсказания результатов любого измерения. Вероятностный же характер предсказаний в состоянии вз Ре тогда можно объяснить тем, что нам неизвестны значения скрытых параметров и по ним существует какое-то вероятностное распределение.
Если обозначить состояния, задаваемые парой (Р, х) через вз„, * «Скрытые параметры» л можно рассматривать как элементы некого. рого множества Х Относительно физической природы этих параметров мы не делаем никаких пиедположсннй, так как она безразлична для дальнейших рассуждений. то наше предположение сводится к тому, что состояние а есть выпуклая комбинация состояний в„. Мы знаем, что Рэ не раскладывается в выпуклую комбинацию операторов со свойствами матрицы плотности, т. е. состояниям ы не соответствуют никакие операторы М.
Способ описания состояний в квантовой механике определяется выбором алгебры наблюдаемых. Предположение о том, что существуют состояния, которым не соответствуют никакие матрицы плотности, заставляет нас отказаться от утверждения, что наблюдаемые есть самосопряженные операторы, т. е.
отказаться от основного предположения квантовой механики. Таким образом, мы видим, что введение скрытых параметров в квантовую механику невозможно без коренной перестройки ее основ. О 8. Физический смысл собственных значений и собственных векторов наблюдаемых В этом параграфе мы рассмотрим вопросы, касающиеся физического толкования теории. Прежде всего мы должны научиться строить функции распределения для наблюдаемых в заданном состоянии. Мы знаем общую формулу вл (Л) = (О (Л вЂ” А) ~ а), (1) где О(х) — функция Хевисайда. Чтобы построить функцию от наблюдаемой О(Л вЂ” А), рассмотрим уравнение АФ, = ас<рс Только для простоты рассуждений пока предположим, что все собственные значения различны, т.
е. спектр оператора А простой, и занумеруем собственные значения в порядке их возрастания а1 < ... ( а„. Через Рч обозначим операторы проектирования на собственные векторы. Введем оператор Р„(Л)= ~ Р, (2) (значок Г под знаком суммы принимает значения, удовлетворяющие условию а~ ( Л). Покажем, что Р„(Л) = О (Л вЂ” А). (3) Для проверки этого равенства достаточно убедиться, что операторы Р,(Л) и 0(Л вЂ” А) одинаково действуют на базисные векторы ~рь Используя определение функции от оператора, имеем 0(Л вЂ” А) фг —— 0(Л вЂ” а~) фу — — ~ ~фл Л)~ пп ЛО, Л (ар зв С другой стороны, ('~р!, х>аг, РА (~) ~р! ~ ! е!Ч~! 10, Х (а!. Последнее равенство написана с учетом того, что Ре !р! —— =б!гф! и оператор Рч появится под знаком суммы только при Ф! условии Х ) а!. Легко проверить, что Рх() ) — проектор, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
