Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 2
Текст из файла (страница 2)
да ~а=с до др др дй ' Мы предполагаем, что уравнения Гамильтона с начальными условиями (7) имеют единственное решение иа всей вещественной оси. Легко построить примеры, в которых глобальное решение и соответственно группа преобразований 0~ ие существуют. Эти случаи не представляют интереса, и мы их не рассматриваем. и начальному условию (ю(Ч, Р)!с=о=((Ч, Р). (14) Уравнение (13) с начальным условием (14) имеет единствен- ное решение, которое может быть получено по формуле (12), т.
е. для построения решений уравнения (13) достаточно знать решения уравнений Гамильтона. Уравнение (13) может быть переписано в виде д)у — „'=(Н, И, (! 5) где (Н,Ц вЂ” скобка Пуассона функций Н и 1ь Для произвольных наблюдаемых 1 и д скобка Пуассона определяется формулой (1,а)= — — — —— д) дд д) да др дч дд др ' а в случае системы с и степенями свободы Таким образом, функция )~(д, р) удовлетворяет дифференциальному уравнению д) дН д) дН д)~ (13) дГ др дд дд др Перечислим основные свойства скобок Пуассона: 1) (1',а+ И) = (1,д) + ) (1,Й) (линейность); 2) (1, д) = — (и, 1) (кососимметричность); 3) (( (Ы,й))+(й', (Ь,Д)+(Й,(),д)) = 0 (тождество Якоби); 4) Ь йй) = а(( й) + О, а) й. Свойства 1), 2) и 4) прямо следуют из определения скобок Пуассона. Свойство 4) показывает, что операция «скобка Пуас- сона» есть дифференцирование алгебры наблюдаемых. Действи- тельно, скобка Пуассона может быть переписана в форме (1, п)=Х1д, где Х1 = — — — — — — линейный дифференциальный операд) д д) д др дд дд др тор первого порядка, и свойство 4) принимает вид ХМ= (Х,й) й+ ах,й.
Свойство 3) может быть проверено дифференцированием, од- нако его можно доказать следующим рассуждением. Каждое слагаемое двойной скобки Пуассона содержит множителем вто- рую производную от одной из функций по одной из переменных, т.
е. левая часть 3) есть линейная однородная функция от вто- рых производных. С другой стороны, вторые производные от й могут входить только в сумму (1, (д, й)) + (д, (й, 1)) = (ХсХл— — ХпХс)й, а коммутатор линейных дифференциальных операторов первого порядка является дифференциальным оператором первого порядка, поэтому вторые производные от Ь в левую часть 3) не войдут. В силу симметрии левая часть 3) вообще пе содержит вторых производных, т.
е. равна нулю. Скобка Пуассона (1, д) вводит в алгебру наблюдаемых структуру вещественной алгебры Ли*. Итак, множество наблюдаемых обладает следующей алгебраической структурой. Множество 6 является: 1) вещественным линейным пространством; 2) коммутативной алгеброй с операцией (д; 3) алгеброй Лн с операцией (1, д). Две последние операции связаны соотношением У, йй) = И а) | + и И, й). В алгебре наблюдаемых л есть выделенный элемент — функция Гамильтона О, роль которой — описание изменения наблюдаемых со временем )с — с=(Н (с) Покажем, что отображение 0с: 6-м6 сохраняет все опера- ции в6: й=(+а- йс=(с+ос, )с = (и — )сс = )сйс Ь=(с', И) йс=(сс, ас), т. е. является автоморфизмом алгебры наблюдаемых.
Проверим для примера последнее утверждение. Для этого достаточно убедиться в том, что уравнение и начальное условие для йс есть следствие уравнений и начальных условий для функций )с и пс =((Н Ч, Ыс)+Ус(~у йсИ=(О, 0» й'сИ=Я йс). Здесь были использованы свойства 2) и 4) скобок Пуассона. Далее, йс)с=о=Ус, Кс) Ь а=У, Ы). Теперь наше утверждение следует из единственности решения уравнения (13) с начальным условием (14). ° Напомним, что линейное пространство с бинарной операцией, удовлетворяющей условиям 1) — 3), называется алгеброй Ли. 5 2. Состояния Понятие состояния системы можно связать непосредственно с условиями эксперимента. Всякий физический эксперимент сводится к измерению численного значения наблюдаемой для системы, поставленной в определенные условия, которые можно назвать условиями эксперимента. Считается, что эти условия могут воспроизводиться многократно, однако мы не предполагаем заранее, что при повторном проведении эксперимента измерение даст то же самое значение наблюдаемой.
На вопрос, с чем связана неопределенность в результатах эксперимента, возможны два ответа. 1) Число условий, которые фиксируются при проведении экспериментов недостаточно для того, чтобы однозначно определить результаты измерения наблюдаемых. Если неоднозначность возникает только по этой причине, то по крайней мере в принципе эти условия можно дополнить новыми, т. е. поставить эксперимент более «чисто» и тогда результаты всех измерений будут определены однозначно. 2) Свойства системы таковы, что при повторных экспериментах наблюдаемые могут принимать различные значения, независимо от числа и выбора условий эксперимента. Разумеется, если имеет место 2), то недостаточность условий может лишь усугублять неоднозначность результатов экспериментов.
Подробно 1) и 2) мы обсудим после того, как научимся описывать состояния в классической и квантовой механике. Мы будем считать, что условия эксперимента определяют состояние системы, если при многократном повторении опыта при этих условиях возникают вероятностные распределения для всех наблюдаемых. В этом случае мы будем говорить об измерении наблюдаемой 1 для системы, находящейся в состоянии е. Более точно: состояние в на алгебре наблюдаемых л сопоставляет каждой наблюдаемой 1 вероятностное распределение ее возможных значений, т.
е. меру на вещественной оси Й. Пусть 1 — наблюдае.лая, Š— борелевское множество на вещественной оси К. Тогда определение состояния а может быть записано 1, Е- в~(Е). Напомним свойства вероятностей меры О<м,(Е)<1, ы,(г)=О, ы,(1Ц=1, если Е, () Еэ = 8, то а~ (Е, () Еэ) = в~ (Е~) + ач (Еэ). Среди наблюдаемых могут встретиться функционально зависимые, поэтому необходимо наложить условие на вероятностные распределения таких наблюдаемых.
Если наблюдаемая ~р есть функция от наблюдаемой 1, ф = ~р(~), то это утверждение 10 Подразумевает, что измерение численного значения наблюдаемой (, которое приводит к значению (о, одновременно является измерением наблюдаемой ~р и дает для нее численное значение уо = гр((о). Поэтому го!(Е) и отчп>(Е) связаны соотношением от ш(Е) =от!(ср '(Е)), (2) где у-'(Е) — прообраз множества Е при отображении ~р.
Выпуклая комбинация вероятностных мер от( (Е) = ает~( (Е) + (1 — а) гоз! (Е), О < а < 1 (3) удовлетворяет свойствам (1) для любой наблюдаемой ! и соответствует состоянию, которое мы будем обозначать гв = аот~ + (1 — а) гвт. (4) Таким образом, состояния образуют выпуклое множество. Иногда выпуклую комбинацию (4) состояний от~ и отз называют смесью этих состояний. Если для некоторого состояния от из (4) следует, что от1 = отз = от, будем говорить, что состояние го не раскладывается в выпуклую комбинацию других состояний. Такие состояния называются чистыми, все остальные — смешанными. В качестве множества Е удобно выбирать интервал вещественной оси ( — оо,!с].
По определению от!(Х)= от!(( — со,Ц) н является функцией распределения наблюдаемой ! в состоянии от. Численно озг(У,) равна вероятности получить значение, не превосходящее у. при измерении наблюдаемой ! в состоянии аь Из (1) следует, что функция распределения от!(л) — не. убывающая функция л, со!( — оо) = О, от!(+ос) = 1.
Математическое ожидание (среднее значение) наблюдаемой ! в состоянии от определяется формулой * ()' ! от) = 1 о с(от! (о). Заметим, что знание математических ожиданий для всех наблюдаемых эквивалентно знанию вероятностных распределений. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть функцию от наблюдаемой 0(л — !), где 0(х) — функция Хевисайда: 1, х>О, О, х<0. Нетрудно понять, что ю,~,) =(0().-())ю). (б) ' Обозначение ((!ы) для среднего значения наблюдаемой не следует путать с часто используемым в квантоной механике обозначением Дирака для скалярного произведения векторов (~р!1р), 11 Потребуем выполнения следующих, естественных с физиче. ской точки зрения условий для средних значений наблюдаемых: 1) (С1а) = С, 2) (1+Ад)а) = (11а)+ л(у~а), 3) ((о1а() ~ О.
Если такие требования введены, то реализация алгебры на- блюдаемых уже сама определяет способ описания состояний. Действительно, среднее значение есть линейный положитель- ный функционал, определенный на алгебре наблюдаемых а. Общая форма такого функционала: йа>=~1(Р, ) (.(Р,Ч), (7) (6) Мы видим, что состояние в классической механике описывается заданием вероятностного распределения на фазовом пространстве. Формулу (7) можно переписать в виде (1 ~ а> = 1)((Р М Р (Р, 9) (Р (Р, (9) т.
е. мы приходим к обычному в статистической физике описанию состояния системы при помощи функции распределения р„(Р, д)„которая в общем случае является обобщенной положительной функцией. Условие нормировки функции распределения имеет вид ~ р(Р. Р) (Р й(= 1. (10) В частности, легко видеть, что чистому состоянию соответствует функция распределения Р(Ч Р) 6(Ч Чо)6(Р— Ро) (11) где 6(х)' — 6-функция Дирака. Соответствующая мера на фазовом пРостРанстве сосРедоточена в точке до, Ро, и чистое состоЯ- ние определяется заданием этой точки фазового пространства. По этой причине фазовое пространство яг иногда называют пространством состояний. Среднее значение наблюдаемой в чистом сОстОянии а (12) (7!а> =7(Чо Ра). где о(1о„(Р, д) — дифференциал меры на фазовом пространстве, а интеграл берется по всему фазовому пространству. Из условия 1) следует, что ~4 (Р, 9)=р (лу)=1 ° (8) Эта формула непосредственно следует из определения б-функции )(Чэ Рю)= ~((Ч Р)б(Ч вЂ” Чо)б(Р Рэ)пг!пР (13) Обычно в курсах механики ограничиваются изучением чистых состояний, а смешанные состояния с функцией распределения отличной от (1!) рассматриваются в статистической физике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
