Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 4
Текст из файла (страница 4)
в связи с теорией равновесного излучения. Планку удалось получи~ь согласующуюся с опытом формулу для спектрального распределения энергии теплового излучения, выдвинув предположение о том, что электромагнитное излучение испускается и поглощается дискретными порциями — квантами, энергия которых пропорциональна частоте излучения Е = г1ю, (1) где Т вЂ” кинетическая энергия выбитого электрона. Мы видим, что эта энергия линейно зависит от частоты и не зависит от интенсивности светового потока.
Кроме того, при частоте ю ( )т/Ь (красная граница фотоэффекта) явление фотоэффекта становится невозможным, так как Т ) О. Эти выводы, основанные на гипотезе о световых квантах, полностью согласуются с опытом. В то же время по классической теории энергия вырванных электронов должна зависеть от интенсивности световых волн, что противоречит результатам экспериментов. Эйнштейн дополнил представление о световых квантах, введя импульс светового кванта по формуле р=й)с.
(2) Здесь (с — так называемый волновой вектор, имеющий направ- ление распространения световых волн; длина этого вектора й связана с длиной волны Х, частотой ю и скоростью света с со- отношениями 2и ю й= — = —, Л с ' (3) Для световых квантов справедлива формула Е=рс, а В старой литературе формула (1) часто записывается в виде Е = Ьт, постоянная 6, входящая в последнюю формулу, очевидно, отличается от й формулы (1) множителем 2и.
19 где ю = 2по, ч — частота колебаний в световой волне, а л = = 1,05 Х 1Обм эрг с — постоянная Планка *. Гипотеза Планка о световых квантах позволила Эйнштейну дать чрезвычайно простое объяснение закономерностей фотоэффекта (1905 г.). Явление фотоэффекта состоит в том, что под действием светового потока из металла выбиваются электроны. Основная задача теории фотоэффекта — найти зависимость энергии выбиваемых электронов от характеристик светового потока.
Пусть У вЂ” работа, которую нужно затратить на выбивание электрона из металла (работа выхода). Тогда закон сохранения энергии приводит к соотношению являющаяся частным случаем формулы теории относительности Е = .1/Р'с' + п4'с4 для частицы с массой покоя пг = О. Заметим, что исторически первые квантовые гипотезы относились к законам излучения и поглощения световых волн, т. е. к электродинамике, а не к механике. Однако вскоре стало ясно, что не только для электромагнитного излучения, но и для атомных систем характерна дискретность значений ряда физических величин. Опыты Франка и Герца (1913 г.) показали, что при столкновениях электронов с атомами энергия электронов изменяется дискретными порциями.
Результаты этих опытов можно объяснить тем, что энергия атомов может иметь только определенные дискретные значения. Позднее, в 1922 г. опыты Штерна и Герлаха показали, что аналогичным свойством обладает проекция момента количества движения атомных систем на некоторое направление. В настоящее время хорошо известно, что дискретность значений ряда наблюдаемых хотя н характерная, но не обязательная черта систем микромира. Так, например, энергия электрона в атоме водорода имеет дискретные значения, а энергия свободно движушегося электрона может принимать любые положительные значения.
Математический аппарат квантовой механики должен быть приспособлен к описанию наблюдаемых, принимающих как дискретные, так и непрерывные значения. В 1911 г. Резерфордом было открыто атомное ядро и предложена планетарная модель атома (опыты Резерфорда по рассеянию и-частиц на образцах из различных элементов пока. залп, что атом имеет положительно заряженное ядро, заряд которого равен Яе, где Я вЂ” номер элемента в таблице Менделеева, а — е — заряд электрона, размеры ядра не превышают 1О-мсм; сами атомы имеют линейные размеры порядка 10-4 см).
Планетарная модель атома противоречит основным положениям классической электродинамики. Действительно, двигаясь вокруг ядра по классическим орбитам, электроны, как всякие ускоренно движущиеся заряды, должны излучать электромагнитные волны. При этом электроны должны терять свою энергию и в конце концов упасть на ядро. Поэтому такой атом не может быть устойчивым, что, конечно, не соответствует действительности.
Одна из основных задач квантовой механики— объяснить устойчивость и описать структуру атомов и молекул как систем, состоящих из положительно заряженных ядер и электронов. Совершенно удивительным с точки зрения классической механики представляется явление дифракции микрочастиц.
Это явление было предсказано де Бройлем в 1924 г., который предположил, что свободно движущейся частице с импульсом р 20 и энергией Е в каком-то смысле соответствует волна с волновым вектором к и частотой е>, причем р=йк, Е=йш, т. е. соотношения 11) и 12) справедливы не только для световых квантов, но н для частиц. Физическое истолкование волн де Бройля было дано позднее Борном, и мы его пока обсуждать не будем. Если движущейся частице соответствует волна, то независимо от того, какой точный смысл вкладывается в эти слова, естественно ожидать, что это проявится в существовании дифракционных явлений для частиц.
Впервые дифракция электронов наблюдалась в опытах Девиссона и Джермера в 1927 г. Впоследствии явления дифракцин наблюдались и для других частиц. Рис. 1. Покажем, что дифракционные явления несовместимы с классическими представлениями о движении частиц по траекториям. Рассуждение удобнее всего провести на примере мысленного эксперимента по дифракции пучка электронов на двух щелях *, схема которого изображена на рис.
1. Пусть электроны от источника А двигаются к экрану Б и, проходя через щели 1 и П в нем, попадают на экран В. Нас интересует распределение электронов по координате у, попадающих на экран В. Явления дифракции иа одной и двух щелях хорошо изучены, и мы можем утверждать, что распределение электронов р(у) имеет вид а, изображенный на рис. 2, если открыта только первая щель, вид б 1рис.
2),— если открыта вторая и вид в, — если открыты обе щели. Если предположить, что каждый электрон двигался по определенной классической траектории, то все электроны, попавшие на экран В, можно разбить на две группы в зависимости от того, через какую щель они прошли. Для электронов первой группы совершенно безразлично, открыта ли вторая щель, и поэтому их ' Такой энсперимент является мысленным, так длина волны электронов при энергиях, удобных для днфракциониых опытов, ие превышает 1О-т см, а расстояние между щелями должно иметь тот же порядок. В реальных экспериментах наблюдается дифракция на кристаллах, которые как бы являются природными дифракционными решетками. распределение на экране должно изображаться кривой а; аналогично электроны второй группы должны иметь распределение б.
Поэтому в случае, когда открыты обе щели, на экране должно получиться распределение, являющееся суммой распределений а и б. Такая сумма распределений не имеет ничего общего с интерференционной картиной в. Это противоречие показывает, что разделение электронов на группы по тому признаку, через какую щель они прошли, в условиях описанного эксперимента невозможно, а значит, мы вынуждены отказаться от понятия траектории. Сразу же возникает вопрос, а можно ли так поставить эксперимент, чтобы выяснить, через какую щель проходил электрон. Разумеется, такая постановка эксперимента возможна, Рис. 2.
для этого достаточно поместить источник света между экранами Б и В и наблюдать рассеяние световых квантов на электронах. Для того чтобы добиться достаточного разрешения, мы должны использовать кванты с длиной волны, по порядку не превосходящей расстояния между щелями, т. е. с достаточно большой энергией и импульсом.
Наблюдая кванты, рассеянные на электронах, мы действительно сможем определить, через какую щель прошел электрон. Однако взаимодействие квантов с электронами вызовет неконтролируемое изменение их импульсов, а следовательно, распределение электронов, попавших на экран, должно измениться. Таким образом, мы приходим к вы. воду, что ответить на вопрос, через какую щель прошел электрон, можно только за счет изменения как условий, так и окончательного результата эксперимента. На этом примере мы сталкиваемся со следующей общей особенностью поведения квантовых систем, Экспериментатор не имеет возможности следить за ходом эксперимента, так как это приводит к изменению его окончательного результата.
Эта особенность квантового поведения тесно связана с особенно. стями измерений в микромире. Всякое измерение возможно только при взаимодействии системы с измерительным прибором. Это взаимодействие приводит к возмущению движения системы. В классической физике всегда предполагается, что это возмущение может быть сделано сколь угодно малым, так же как и длительность процесса измерения. Поэтому всегда возможно одновременное измерение любого числа наблюдаемых. Детальный анализ процесса измерения некоторых наблюдаемых для микросистем, который можно найти во многих учебниках по квантовой механике, показывает, что с увеличением точности измерения наблюдаемых воздействие на систему увеличивается и измерение вносит неконтролируемые изменения в численные значения некоторых других наблюдаемых.
Это приводит к тому, что одновременное точное измерение некоторых наблюдаемых становится принципиально невозможным. Например, если для измерения координаты частицы использовать рассеяние световых квантов, то погрешность такого измерения имеет порядок длины волны света Лх Х. Повысить точность измерения можно, выбирая кванты с меньшей длиной волны, а следовательно, с большим импульсом р = 2пй/Х. При этом в численные значения импульса частицы вносится неконтролируемое изменение Лр порядка импульса кванта. Поэтому погрешности измерения координаты и импульса Лх и Лр связаны соотношением Лх Лр 2пй. Более точное рассуждение показывает, что это соотношение связывает только одноименные координату и проекцию импульса. Соотношения, связывающие принципиально возможну|о точность одновременного измерения двух наблюдаемых, называются соотношениями неопределенности Гейзенберга.
В точной формулировке они будут получены в следующих параграфах. Наблюдаемые, на которые соотношения неопределенности ие накладывают никаких ограничений, являются одновременно измеримыми. Мы увидим в дальнейшем, что одновременно измеримыми являются декартовы координаты частицы или проекции импульса, а неизмеримыми одновременно — одноименные координаты и проекция импульса или две декартовы проекции момента количествз движения. При построении квантовой механики мы должны помнить о возможности существования неизмеримых одновременно величин. Теперь после небольшого физического вступления попытаемся ответить на уже поставленный вопрос: какие особенности классической механики следует сохранить и от чего естественно отказаться при построении механики микромира.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
