Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Напомним основные свойства скалярного произведения: 1) (5, зй) =(зР, О, 2) (й+йн, ф)=($, ф)+й(ен ф), 3) (К, $))0 при ЦФО. Здесь Х вЂ” комплексное число. Векторы еь ..., са образуют ортонормированный * базис в С", если (ео е1) =бы, (2) где бы — символ Кронекера. Разложение произвольного вектора $ по векторам базиса еь ..., са имеет вид л 5= ~ $гиь з-з (3) 5, = (й, е,). Вектор $ однозначно определяется числами $ь ..., $, 5 (Ь,. $). Если выбран базис, то тем самым выбрана конкретная реализация для векторов или задано представление.
Пусть еь ..., са — базис, тогда векторы е',= ~ Узаеа, 1=1, 2, ..., и а-1 (4) тоже образуют базис, если матрица У = (Юга) обратима и (у '=й (5) Операторы в заданном базисе представляются матрицами А ь (Ата) Ага = (Аеы е,), (г) н лы р, у и Аз, да (Аз, ) (АВВ~...) а-1 = Е за(Аеы ез) = Х АцДа. Оператор А' называется сопряжена-1 а ! ' В дальнейшем слово «ортонормированный» мы часто будем опускать, так как другие базисы мы не рассматриваем. Матрица, для элементов которой справедливо равенство (5), называется унитарной.
Переход от одного базиса к другому есть унитарное преобразование. Если выбрано представление, то для скалярного произведения справедлива формула (ь т))= л ьзт1ь (6) ным оператору А, если для любой пары векторов $ и т! справедливо равенство (Аь т!) =($. А з!) (8) Очевидно, что Ам=Ам. Оператор называется самосопряженным, если А* = А. Для самосопряженного оператора Агь = =Аль Непосредственно из определения сопряженного оператора следуют равенства (АВ)' = В'А', (аА)' = аА', где и — комплексное число. Построим реализацию алгебры наблюдаемых.
Пусть л— множество самосопряженных операторов в С". В дальнейшем самосопряженные операторы мы часто будем называть наблюдаемыми. На множестве операторов обычным образом определены операции сложения и умножения на число. Если А ен л, Вен и, Хан 11, то (А+ В)ел и ХЛ я 6, так как (А+ В)*= = А+ В и (ХА)' = г,А. Естественно этн операции считать операциями сложения наблюдаемых н умножения на число. Следующая наша задача — научиться строить функции от наблюдаемых. Можно предположить, что здесь годится обычное определение функции от оператора.
Это предположение мы сможем оправдать после того, как научимся строить вероятностные распределения для наблюдаемых в квантовой механике. Тогда мы сумеем проверить формулу озпл1(Е) = отл((-'(Е)), эквивалентную общему определению функции от наблюдаемой, данному в предыдущем параграфе. Напомним, что существует несколько эквивалентных определений функции от оператора. Если для 1(х) на всей вещественной оси справедливо разложение в степенной ряд 1(х) = Х, с„х", (10) то 1(А) определяется формулой Р(А) = ~„с„А", (! 1) Второе определение использует существование у самосопряженных операторов собственного базиса" А~р; =а, рн 1= 1, ..., н.
' Напомним, что собственные числа самосопрнженного оператора вещественны, а собственные векторы, соответствующие разным собственным зна. чениим, ортогональны. Если собственное значение имеет кратность г, то ему соответствует г линейно. независимых собственных векторов, которые всегда можно выбрать ортонормнрованными. Здесь ~а~ — собственные векторы, (~р» ~р;) = б», а а~ — собствен- ные значения оператора А. Для определения линейного опера- тора /(А) достаточно определить результат действия /(А) на векторы базиса. По определению /(А) а» =/(адар» (12) В собственном базисе матрица А диагональна, и на диагонали стоят собственные значения, т. е.
А» = а,б». В этом же представлении [/(А)]» = /(со)6». Заметим, что вещественной функции соответствует самосопряженный оператор, т. е. /(А)еи еи л. Операция А ° В определяется формулой (4.6), которая для самосопряженных операторов имеет вид (А+ В)' — (А — В)о АВ+ ВА АоВ— 4 2 (13) Самосопряженность оператора А ° В очевидна. Нам осталось построить лиевскую операцию. Для этого рассмотрим коммутатор операторов А и В [А, В] = А — ВА. Операция [АВ] обладает следующими свойствами: 1) [АВ] = — [В, А], 2) [А+ХВ С] — [АС]+А[В С] 3) [А, В о С] = [А, В] о С + В о [А, С], 4) [А, [В, С]]+[В, [С, А]]+[С, [А, В]]=0.
(14) Все этн свойства проверяются непосредственным вычислением. Заметим, что свойство 3) справедливо и для несимметризован- ного произведения. Действительно, [А, ВС]= АВС вЂ” ВСА+ ВАС вЂ” ВАС= [А, В]С+ В[А, С]. (А, В)„ = †„ [А, В] и называть (А, В)ь квантовой скобкой Пуассона.
ао Мы видим, что коммутатор обладает свойствами лиевской операции, но [А,В] не является самосопряженным оператором, т. е. [А,В] еи6. Однако выражение (1/Л) [А,В], которое отличается от коммутатора чисто мнимым множителем 1/й, удовлетворяет всем требованиям. Отметим, что алгебры а, построенные с разными постоянными 6, неизоморфны друг другу. Выбор Ь может быть сделан только после сравнения теории с экспериментом. Это сравнение показывает, что константа Ь совпадает с постоянной Планка.
В дальнейшем мы будем использовать обозначение Интересно отметить, что в классической механике мы могли бы вместо (1 И= — — — —— д! дд д~ да др дд дд др определить скобку Пуассона равенством где и — вещественная постоянная. Нетрудно видеть, однако, что новое определение скобки Пуассона в классической механике приведет к алгебре изоморфной исходной. Действительно, замена переменных р= тра ~ р', д=з!ппа т/!а ~ д'возвращает нас к старому определению.
Важную роль в квантовой механике играет след оператора ТгА. По определению ТгА — — ~, Аы=- ~ (Ае!, е!). Напомним основные свойства этой операции. След не зависит от выбора базиса. В частности, если взять собственный базис оператора А, то л ТгА= 2, а„ ! ! т, е. след является суммой собственных чисел. Если а! — кратное собственное значение, то оно входит слагаемым в сумму столько раз, какова его кратность. След произведения двух операторов не зависит от порядка сомножителей Тг АВ = Тг ВА. В случае большего числа сомножителей допустима их циклическая перестановка под знаком Тг Тг АВС = Тг ВСА.
След самосопряженной матрицы — вещественное число, так как собственные значения ее вещественны. 6 6. Состояния в квантовой механике В этом параграфе мы покажем, как задаются состояния в квантовой механике. Напомним, что мы сохранили определение состояния, приведенное в $2. Там же было показано, что задание вероятностных распределений эквивалентно заданию средних значений для всех наблюдаемых.
Рассуждения, которые привели нас к этому результату, сохраняют свою силу з! (2) Тг АМ = 2 АмМы =,)' АьгМв = ьх ! ьх 1 АыМ1ь — — Тг АМ' = Тг АМ. ь ь-1 Полагая Х = А~ + (Аь где А~ и Ах — самосопряженпые операторы, получаем нз последнего равенства Тг ХМ = Тг ХМ', где Х вЂ” произвольный оператор в С". Из произвольности опе. ратора Х сразу следует свойство 1). Теперь используем положительность функционала (А 1в) Тг А'М~ О.
зз и в квантовой механике, так как они не использовали конкрет- ной реализации алгебры наблюдаемых классической механики. Задать состояние — это значит задать функционал (в1А) на алгебре наблюдаемых 6 со следующими свойствами: 1) (ЛА + В ! в) = Л (А 1в) + (В ~ в), 2) (А'1в) ~)О, 3) (С!в) =С, (1) 4) (А !в) = (А |в). Свойство 1) мы уже обсуждали. Свойство 2) выражает тот факт, что для наблюдаемой А', которая по своему смыслу не- отрицательна, среднее значение не может быть отрицательным числом.
Свойство 3) утверждает, что среднее значение наблю- даемой С в любом состоянии совпадает с этой константой. На- конец, по свойству 4) средние значения вещественны. Таким образом, состояние в квантовой механике есть положительный, линейный функционал па алгебре самосопряжеппых операто- ров 6. Общая форма такого функционала (А | в) = Тг МА, где М вЂ” оператор в С", удовлетворяющий условиям: !) М" = М, 2) (М$, $) эО, (3) 3) ТгМ=!. Оператор М называется матрицей плотности и играет в кван- товой механике ту же роль, что и функция распределения р(д, р) в классической.
Покажем, что свойства матрицы плотности — следствие сформулированных выше свойств функционала усреднения (А ~в). Действительно, из вещественности функционала (А ~в) следует Положим А = Р„, где Є— оператор проектирования на нормированный вектор т1 (!! тГ !! = 1) Р4=Й п)и Для вычисления следа удобен любой базис, в котором первый базисный вектор совпадает с т( (ег = гь еь...,е„), тогда ТгРчМ= Тг Р„М=(Мт1, т1))~0. Мы видим, что положительность матрицы плотности является необходимым условием для положительности функционала (А(в). Достаточность проверяется следующим образом: л л ТгА'М=Тг АМА= 2 (АМАеь ег) = ~ (МАеь Ае,)))0, г-г г-1 так как каждое слагаемое под знаком суммы неотрицательио.
Наконец, условие нормировки матрицы плотности ТгМ = 1 сразу следует из свойства 3) функционала. Таким образом, мы показали, что состояния в квантовой механике описываются положительными самосопряженными операторами со следом, равным единице. (Напомним, что в классической механике состояние задается неотрицательной функцией р(д, р), нормированной условием ~ р(д, р) ддг(р= 1.) Любой оператор М со свойствами (18) описывает некото. рое состояние системы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
