Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(! !) Рассмотрим чистые стационарные состояния. Из (11) имеем* НРею = РеюН. ' Заметим, что из независимости РЕЮ от времени отнюдь не следует, что вектор зр(1), удовлетворяющий уравнению Шредингера, не зависит от времени. 44 Таким образом, зависимость от времени вектора зр(!) по формуле (9) гарантирует правильную зависимость от времени чистого состояния. Заметим, что (9) не следует и не может следовать с необходимостью из (5), так как вектор состояния определяется состоянием с точностью до множителя по модулю, равного единице. Несмотря на это, в квантовой механике всегда считается, что зависимость векторов состояния от времени определяется формулой (9). Отметим, что эволюция не меняет нормировки вектора состояния, 11Ф(!)11=11ф11, Подействуем левой и правой частями этого равенства на вектор ф(1) Нф (1) = (Н'ф (1), ф (1)) $ (1).
Число Е =(Нф (1), ф (1)) = Тг РтюН от времени не зависит, и мы видим, что при любом 1 вектор ф (1) является собственным вектором оператора Н с собственным значением Е. Поэтому уравнение Шредингера для вектора ф(1) принимает вид й — „= Еф (1). Решение этого уравнения: — 'в ф (1) = ф (0) е (12) Таким образом, чистые стационарные состояния — это состояния с определенной энергией, и вектор, определяющий та. кое состояние, зависит от времени по формуле (!2). Уравнение Нф; = Е~ф; иногда называют стационарным уравнением Шредингера. Основные задачи квантовой механики сводятся к решению этого уравнения. Числа Еь согласно общему физическому толкованию, есть возможные значения энергии (энергетические уровни) системы.
Состояние, соответствующее наименьшему значению энергии Еь называется основным состоянием системы, остальные состояния — возбужденными. Если известны собственные векторы ф~ оператора Н, то легко может быть построено решение задачи Коши для уравнения Шредингера й — = Нф(1), И(0 ш фу~с-о=Ф Для этого достаточно разложить вектор ф по собственному базису оператора Н и ф= ~„с;фо с; =(ф ф~) и использовать формулу (9). Тогда мы получим решение задачи Коши в виде а ф(1) = Хс;ф;е (13) Эту формулу называют обычно формулой разложения решения уравнения Шредингера по стационарным состояниям.
В заключение этого параграфа получим соотношение неопределенности время — энергия. Полагая в (7.1) В = Н, имеем ЛаАЛаН~ )— )((А Н), !е) ! (14) ЫА Вспоминая, что в картине Гейзенберга — „=(Н,А)„и испольш плср / ыА зуя очевидное равенство г — — ( ~ в), соотношение (!4) ~й ~ш перепишем в виде Л„АЛ„Н > — ~ —, / А4ср Введем промежуток времени Л !л — — Л А7 ~— За время Л„!л среднее значение наблюдаемой А,р смешается на «ширину» распределения Л А. Поэтому Л !л есть характерное для состояния в и наблюдаемой А время, за которое функция распределения в~(Х) успевает заметно измениться.
Из неравенства Л„,!лЛ„Н ) )Ь/2 следует, что множество значений Л !л для всевозможных наблюдаемых А в состоянии а ограничено снизу. Полагая Л1= !п(Л„!л и обозначая Л Н через ЛЕ, получим, л что для любого состояния в справедливо неравенство ЛЕ Л! ~ )Й(2.
(! 5) Это и есть соотношение неопределенности время — энергия. Физический смысл этого соотношения существенно отличается от смысла соотношений неопределенности (7.1). В формуле (7.1) Л„А и Л В вЂ” неопределенности в значениях наблюдаемых А и В в состоянии в в один и тот же момент времени. В соотношении (15) ЛŠ— неопределенность энергии, и она от времени не зависит, а Л! характеризует время, за которое успевает заметно измениться распределение хотя бы одной из наблюдаемых. Чем меньше величина Л(, тем больше состояние е отличается от стационарного.
Для сильно нестационарных состояний Л! мало и неопределенность энергии ЛЕ должна быть достаточно велика. Наоборот, если ЛЕ = О, то Л! = оо. В этом случае состояние является стационарным. В 1О. Квантовая механика реальных систем. Перестановочные соотношения Гейзенберга Мы уже упоминали о том, что построенная конечномерная модель слишком бедна, чтобы соответствовать реальности, и что ее можно усовершенствовать, взяв в качестве пространства состояний комплексное гильбертово пространство Ж, а в каче- '"46 (А ! в) = Тг АМ, (1) где М вЂ” положительный самосопряженный оператор в М со следом, равным единице.
Для любого самосопряженного оператора может быть по- строена спектральная функция Рд(Л), т. е. семейство проекто- ров со следующими свойствами: 1) Рд (Л) < Рд (р) при Л < р, т. е. Рд (Л) Рд (р) = Рд (Л), 2) Рд(Л) непрерывен справа, т. е. 1пп Рд(р)=Рд(Л), и-+х;о 3) Рд( — со) = !!п1 Рд(Л) =О, Рд (оо) =1, Х-+- 4) Р,(Л)В = ВРд(Л), если  — любой ограниченный опера- тор, коммутирующий с А. Вектор ~р принадлежит области определения оператора А (~р ~ (д(А)), если ~ ЛЧ(Рд(Л)ч, р) < и тогда Ар= ~ Л (Рд(Л) р.
(2) Функция от оператора 1(А) определяется формулой 1 (А) ~р = ~ ) (Л) г(Рд (Л) <р. (3) Область определения этого оператора )д(1(А)) есть множество элементов ~р, для которых ~ 1~(Л)!'~((Рд(Л)ч, р) < Спектр самосопряженного оператора представляет собой замкнутое множество точек вещественной оси, состоящее из всех точек роста спектральной функции Р„(Л). Скачки этой функции соответствуют собственным числам оператора А, а Рд (Л+ 0) — Рд (Л вЂ” 0) есть проектор на собственное подпространство, отвечающее собственному числу Л. Собственные числа образуют точечный спектр. Если собственные векторы образуют полную систему, то оператор имеет чисто точечный спектр.
В общем случае пространство может быть разбито стве наблюдаемых — самосопряженные операторы в этом пространстве. й!ожно показать, что основная формула для среднего значения наблюдаемой А в состоянии а сохраняет свой внд в прямую сумму ортогональных н инварнантных относительно А подпространств Ж, и Зй, таких, что а первом оператор А имеет чисто точечный спектр, а во втором не имеет собственных векторов. Спектр оператора в подпространстве Я2 называют непрерывным.
Из основной формулы (1) следует, что функция распределения наблюдаемой А в состоянии в М в общем случае имеет вид (4) вх (Л) = Тг Рл (Л)М а для чистых состояний М = Ря, Ц ф 11 = 1 ах(Л) =(Рд (Л) ф, ф). В отличие от конечномерной модели функция вх(Л) не обязательно является функцией скачков. Множество допустимых значений наблюдаемой А совпадает с множеством точек роста функций вл(Л) для всевозможных состояний в. Поэтому можно утверждать, что множество возможных результатов измерения наблюдаемой А совпадает с ее спектром. Мы видим, что теория позволяет описывать наблюдаемые как с дискретным, так и непрерывным множеством значений, Теперь наша задача — описать правила выбора пространств состояний и научиться строить основные наблюдаемые для реальных физических систем. Здесь мы будем описывать квантовые системы, имеющие классический аналог.
Задача ставится следующим образом. Пусть мы имеем классическую систему, т. е. заданы ее фазовое пространство и функция Гамильтона. Нужно найти квантовую систему, т. е. построить пространство состояний и оператор Шредингера так, чтобы между классическими наблюдаемыми (функциями на фазовом пространстве) и квантовыми наблюдаемыми (операторами в пространстве состояний) было установлено взаимно-однозначное соответствие Аь При этом функции Гамильтона должен соответствовать оператор Шредингера. Это взаимно-однозначное соответствие ни в коем случае не может быть изоморфизмом(д' — /- Аг ~Аж Кд)» — /-~(Аь Ая), (именно поэтому квантовая механика отли.
чается от классической), но должно становиться изоморфизмом при Ь-+ 0 (что обеспечит предельный переход квантовой механики в классическую). Обычно квантовые наблюдаемые Аг имеют те же названия, что и классические 1. Заметим, что мы не должны исключать возможности существования квантовых систем, не нмеюших простого классического аналога. У таких систем могут быть наблюдаемые, которым не соответствует никакая функция обобщенных координат и импульсов. В полном объеме правила соответствия н предельный переход в классическую механику будут описаны в $ 14. Пока мы установим такое соответствие только между наиболее важнымн 46 наблюдаемыми и покажем, как строится пространство состояний для простейших систем.
Рассмотрим сначала материальную точку. Ее фазовое пространство шестимерно и точка в нем определяется заданием трех декартовых координат дг, дз, дз и трех проекций импульса рг, рь рз. Нетрудно сосчитать классические скобки Пуассона для любой пары из этих наблюдаемых (дг. дг) =О (рг рг)=О, (рг, дг)=бг,г, г,!=1, 2, 3. Для частицы в квантовой механике мы введем шесть наблю. даемых Яг, Яз, Яз, Рь Ръ Рз, у которых квантовые скобки Пуассона имеют те же значения (1;Зг, Яг)л = О, (Рг Рг)з = О, (Р„(Цз = Тбгз (6) где! — единичный оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
