Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 13
Текст из файла (страница 13)
торы Я и Р. Сразу, однако, неясно, в каком порядке следует писать некоммутирующие множители У(о) и 0(и), перестано. вочные соотношения для которых имеют вид оператора Аь Действительно, используя (7) и (8), имеем и гьио А) = — ~ 1 (и, о) (l' (и) )т' (о) е ' йи йо = 86ио = — ( )( — и, — о) у( — и) )т( — о)е ' йийо= 2п,> Мио = — ~го(и, о)у(и) р'(о)е ' йийп= !Ьио = — ~ ) (и, о) Р (о) У(и) е ' йи сЬ = АР (10) где К(х,у) — ядро оператора К. Найдем ядро оператора У(о) У(и). Из формулы )г(о) у(и) гр(х) =е "и~р(х — ий) следует, что ядром интегрального оператора )г(о) у(и) является функция )г(о) (7(и) (х, х') = е-"Ч(х — ий — х'). По формуле (10) имеем Тг У(о)(7(и)= ~ е ""б( — ий)йх= — „" б(о)б(и).
(11) оо Проверим, что формула обращения имеет вид Мио г (и, о)=йТгАг )т( — о) Б(-и)е ' (12) Для этого сосчитаем правую часть равенства, используя (8) и (11), гаио Тг Аг У (-о) У (-и) е ' гаи'о' гало = — Тг~~(и', о') Г(о')(7(и')е ' о'( — о)(7( — и)е ' йи'йо'= о В дальнейшем в написании интеграла по и-мерному пространству мы опускаем символ йо.
3* В конце этого параграфа мы проверим, что по формуле (9) функциям 1(д) и 1(Р) соответствуют операторы 1(Я) и )(Р) в полном согласии со сделанными прежде предположениями. Найдем теперь формулу обращения. При вычислении следа оператора К мы будем пользоваться формулой ТгК= ~ К(х, х)йх, гя = — Тг ~ ( (и', о ) Р (о ) Р ( — о) У(и ) У( — и) е г г(и' Ио'= 1 г о — (и'о'+ио-ги'о) = — Тг ~ ((и', о'))'(о' — о)У(и — и)е Йи й'о = = †„ ~ Г (и', о') 6 (о' — о) 6 (и' — и) е ' г(и' сЬ' = = ~ 1(и, о). Положим в формуле (12) и = о = О 1(О, О)=йТгАО С другой стороны, ((О,О)= —,' ~ 1(р, Вг(ран и мы убеждаемся в справедливости формулы (1). Теперь нам осталось найти по формуле (12) функции на фазовом пространстве, соответствующие Аг оАе и (Аь Аи)я, и убедиться, что при й-+ О зти функции стремятся к ~д и (1, и).
Сначала найдем функцию Р(р, е), соответствующую несимметризованному произведению АгАи. Для ее Фурье-образа имеем Р (и, о) = й Тг Аг Ае)г ( — о) У ( — и) е ' гяи,о1 йТг( — „) $г(игсЬгИигсКог~(иь ог)~(иг, ог)Р'(о,)У(иг)е ' Х Ии~~~ Мио ХУ(ог)У(и,)е ' (г(-о)У(-и)е ' г 1 хг г ЬТг~ — „) ~ г(иг гЬ~ г(игдоггг(иь о1)Я(иг, ог) Х Х Ъ'(ог + о, — о) У (и~ + иг — и) Х гн Х ехр ~ — (и,ог + игог + ио + 2игог — 2иго — 2иго)~. Окончательно АоАаи-о-щ;. ~ г(иггЬгдигЩ(иь ог)4(иг, ог)6(о~+ о,— о)Х 1 Х 6 (и1 + иг — и) е ' (13) Показатель в зкспоненте был преобразован с учетом стоящих под знаком интеграла 6-функций.
Напомним, что преобразование Фурье Ф(и,о) произведения двух функций Ф(р,е)= =!(р,д)д(р,д) есть свертка преобразований Фурье сомножи- телей Ф(и, о)= = ~„~ г(и, ~(о~ 1(из 1(она (пи о1) д (и„о2) Ь (о1+ оз — о) Ь (и~ + и, — и). Функция г (и, о) отличается от функции Ф(и, о) множителем !В з который стоит под знаком интеграла. Этот множитель зависит от порядка операторов А1 и Ае, поэтому операторам А1Ае и АеА1 соответствуют разные функции на фазом — 1и, ю,-иФ,1 вом пространстве. В пределе при Ь - О е з -+ 1 и г (р, д)-~ Ф(р, д). Разумеется, это утверждение справедливо и для функции г",(р, д), соответствующей снмметризованному произведению А1 о Ае. Обозначим через 0(р,д) функцию, соответствующую квантовой скобке Пуассона (А1, Ае)„= — „(А1А — А А1). Из формулы (13) получаем 6(и, о)= 1 = — „„~ Ни~~(о~Низйо4(и„о,)Яи,, о,)Ь(о1+о,— о) Х вЂ” „~ Ыи~ г(о~ 1!и, йт4 (иь о1) ~ (и„оз) Ь (о, + о, — о) Х 1 а Х Ь (и, + из — и) зш — (и,о1 — и1о,) 2 и при й-+О 1 б(и, о)-+ — ~ йи, г(о, г(и,йо,(и,о1 — и,оз)~(иь о,)3(и„о,) Х Х Ь (о, + о, — о) Ь (и~ + из — и).
Интеграл, стоящий в правой части, является преобразованием Фурье от классической скобки Пуассона УИ= — — — —— д( дя д! дя др дч дд др ' так как преобразованиями Фурье производных — и — явд1 д) дч др ляются функции — (ог и — (иг соответственно. Таким образом, мы проверили все утверждения, сделанные в начале параграфа. В заключение приведем несколько примеров вычислений по формулам этого параграфа. Найдем формулу для ядра оператора А~ в координатном представлении.
Используя формулу Г (о) (У (и) (х, х') = е-'"'б (х — ий — х'), получим био А~(х, х')= — ~((и, о)е ""б(х — ий — х')е ' диНо, 2и з ы А~ (х, х') = — ~ 1 (,, о) е ' Но (14) Покажем, что 1(д)<-~1(Я). Для такой функции на фазовом пространстве 1(и, )= У )(г))е'"е"'НЧНР=1(о)б(и).
Здесь через Г(о) обозначено преобразование Фурье функции одной переменной ~(д). Далее по формуле (14) А~(х, х')= — „, ~б ( — ", )~(о)в ' до= -~("+" ) б(.— ")=~()б( —.). 'г ( — о) У ( — и) РД(х) = е'"" ~ $ (х)~ф(х ) Нхф (х + ий) следует, что У(-о)0(-и)Ре(х, х')=е""ф(х+ий)ф(х'), 1Ьиа Р (и о) = — 2яа й Тг У (-о) У( — и) Р е ' йище — ~его"ф(х+ий)ф(х)е з дх, 2и з 70 а оператор с таким ядром является оператором умножения на функцию 1(х). Точно так же в импульсном представлении легко проверить, что 1(р) !(Р). Получим явную формулу, по которой можно найти классическое состояние, соответствующее пределу чистого квантового состояния при Ь-ь О. Используя формулу обращения, найдем р1'(д, р), соответ.
ствующую оператору Р, и построим р(д,р)= р~/(2пй). Век. тор ф считаем заданным в координатном представлении. Из формулы Если ввести функцию" Р (х, и) = — 1нп ф (х+ ий) ф (х), зи в.+о то р (и, о) = ~ е'"'Р (х, и) игх (15) есть Фурье-образ классической функции распределения, соответствующей пределу состояния Ре при Л - О. Для самой функции распределения р(е, р) справедлива формула р (д, р) = ~ е ""Р (д, и) г(и.
(16) Пусть ф(х) — непрерывная функция и не зависит от й как от параметра. Тогда Р(», )= ~„) ф(~) ~~ я р(р, Ч) =~ ф(Ч) ~'б(р). Такому квантовому состоянию в пределе Ь-а 0 соответствует состояние покоящейся частицы с плотностью функции распределенияя координаты ) ф (д) ! я. гл,а Пусть ф(х) ф(х)е ", где ф(х) от Ь не зависит и непрерывна.
В этом случае в пределе при Ь- 0 мы придем к классическому состоянию с функцией распределения Р(ра Ч) — 1ф(4! 5(Р— Ро). 6 15. Одномерные задачи квантовой механики. Свободная однрмерная частица В $ 15 — 20 мы рассмотрим одномерные задачи квантовой механики. Функция Гамильтона для частицы с одной степенью свободы в потенциальном поле имеет вид Н(р,д)= —,' +р(е). Этой функции Гамильтона соответствует оператор Шредингера Рз Н = — + )гщ). ° Этот вредел не всегда является тривиальным, так как в физически интересных случаях функция ф(») обычно зависит от Л как от параметра (см. пример ниже).
На этих примерах мы видим, что чистому состоянию квантовой механики в пределе при Ь-ьО может соответствовать смешан- ное классическое состояние. Для свободной частицы Р = О. Мы начнем с изучения этой простейшей задачи квантовой механики. Найдем спектр оператора Шредингера 82 Н= —. (1) 2т ' Уравнение для собственных векторов имеет вид ь2 — ф = Еф (2) или в координатном представлении ь~ сыч~ — — — = Еф. 2т Их~ (3) Удобно использовать систему единиц, в которой й = 1 и гп = =!!2. Тогда уравнение (2) при Е ) О принимает вид ф" + й~$ = О, йз = Е, й > О.
(4) Последнее уравнение имеет два линейно-независимых решения 1 ф (х)=( — „) е~м'. (5) (7) 72 Мы видим, что каждому значению Е ) О соответствует две собственных функции оператора Н. При Е ( О уравнение (3) не имеет ограниченных на всей вещественной оси решений. Таким образом, спектр оператора Шредингера (1) — непрерывный, положительный, двукратный. Функции (5) одновременно являются и собственными функциями оператора импульса Р= — 1 —, соответствующими собнх ' ственным значениям .+-А.
Заметим, что функции (5) не принадлежат Ез()с) и поэтому не являются собственными функциями в обычном смысле. Для записи последующих формул удобно считать, что — оо ~ й с. оо, й = ~ ь~Е. Тогда оба решения (5) имеют вид ! ( ~=( — ')'""" Нормирующий множитель в (6) выбран из условия ~ фь(х) фь (х) ох=5(й — й').
Столь же просто получаются решения уравнения (2) в им* пульсном представлении. При т = 1 уравнение (2) имеет вид р'ф = й'ф, (8) а его решениями являются функции ф, (р) = б(р — й), й = ~ 1~Е (9) Нормировка функций (9) выбрана такой же, как и функций (6), ~зф (р) ~,,(р) (р= '1„б(р — й) б(р — й') (р=б(й — й'). Для того чтобы выяснить физический смысл собственных функций фы построим решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы ( — „= Нф (1) ° ит' (О при начальном условии Р (о) = р,(! р Р = 1.
Проще всего эта задача решается в импульсном представлении ф(р, о)= р(р), ~! р(рп ар=1. Очевидно, что ф(р, 1) =~р(р) е В координатном представлении это же состояние описывается функцией 1 ф(х, 1)=(~„)' ~ ф(р)е'Ы" ~ "др= ~ ~р(й)фа(х)е мийин. (10) Легко проверить, что нормировка функции ф(х,1) не зависит от времени ~ гр(х, () |~ Их= ~ рр(р) ~зе(р= 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
