Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Преобразование, которое переводит данное представление в спектральное, называется спектральным преобразованием. Вернемся к координатному представлению. Мы видим, что оно действительно является собственным кратным представлением для трех операторов !;!!, Яь Ям Я!!а х!!р (х!). Значение !р(х!) есть вектор дополнительного пространства, в данном случае функция от переменных хз и хь Скалярное произведение определяется формулой (!р, !Р) = ~ !р(х )Йх!) !Гх!, я т. е. в координатном представлении мера !п(х) есть лебегова мера, носитель ее функции распределения — вся вещественная ось, а значит, спектр координаты непрерывный и заполняет всю ось. Функция распределения координаты Я! в чистом состоянии !» Рч имеет вид во,(Л)=(Ро,(Л)(р, !р)= ~ !р(х!)!р(х!)!Гх!, откуда следует, что 7 (х!) ф (х!) ~ ф (х! хз хз) !г (х! хь хз) !Гхз С(хз есть плотность функции распределения координаты Я!.
Аналогично записываются выражения для плотности функций раси(!еделения Я! и Яь Естественно ожидать, что 1гр(х)1' есть 66 плотность общей для всех координат функции распределения, т. е. вероятность найти частицу в области й трехмерного пространства определяется выражением ~ ~ ~р(х) ~'г(х. Это утверждение мы проверим в разделе, посвященном системам коммутирующих наблюдаемых. Импульсное представление является собственным для трех операторов Р„Рм Рм и )~р(р) )з есть плотность общей для трех проекций импульса функции распределения. Мы можем теперь с новой точки зрения взглянуть на соотношения неопределенности для координат и импульсов.
Мы видим, что эти соотношения объясняются известным свойством преобразования Фурье. Чем сильнее концентрируется функция ~р(х) и тем самым уменьшаются неопределенности координат Ь„Яь тем сильнее расплывается Фурье-образ ~р(р) и увеличиваются неопределенности импульсов Ь Рь 5 12. аСобствеиные функцииэ операторов Я и Р Рассмотрим теперь уравнения для собственных векторов операторов Я и Р. Для простоты записи рассмотрим частицу с одной степенью свободы.
В координатном представлении эти уравнения имеют вид х<р, (х) = х,~р„(х), Л Н вЂ” — <р„(х) = Р~р„(х) (1) (2) Решая эти уравнения, получим 'р (х) =6(х — хо) 1 — ! () (2 Ь) (4) зб (Первая формула сразу следует из свойства 6-функции хб(х) = О, вторая очевидна. Выбор нормировочных констант будет ясен из дальнейшего.) Хотя «собственная функция» оператора координаты ~р,„(х) есть обобщенная функция, а щ (х) — обычная функция, их объединяет то, что они обе не являются квадратично интегрируемыми, т. е. не принадлежат пространству Ы Собственных функций в обычном смысле слова у операторов Я и Р нет.
Чтобы понять, как функции у„(х) н ф,(х) связаны со спектром операторов Я и Р, вспомним, какой смысл имеют собственные векторы в С". Задача о нахождении собственных чисел и собственных векоторов матрицы А связана с задачей о диагонализации этой матрицы подобным преобразованием или, иначе говоря, с преобразованием оператора из некоторого ис. ходного представления в собственное. Для самосопряженного оператора А в С" всегда существует базис, составленный из собственных векторов А(р! — — а((р(, (фо фь) = б(м Собственные векторы мы ищем в исходном представлении, в котором $ 6(,, 5.) ф, (ф1о " ф(о) Компоненты вектора $ в собственном представлении оператора А вычисляются по формуле л Ь = 6, йч) = Е афро.
(5) Ф=! Мы видим, что матрица, составленная из чисел, сопряженных компонентам собственных векторов У(к = фл,осуществляет (о спектральное преобразование л ь( = Х ((!»ьм р ! Матрица У является унитарной, так как л п л и! (/ Еи„ир(=2.и„С~; =Хф р =(р(,ф()=б!. и ! и ! й-( Если мы формально в (5) заменим ф! на фр и Ц на $(р), то получим (6) нли Эта формула нам уже знакома.
Мы видим, что функция У(р, х) = (рр(х) является ядром унитарного оператора, переводящего координатное представление в импульсное (собственное для оператора Р). Так же может быть истолкована и «собственная функция» оператора координаты 9. Координатное представление является собственным для оператора Я, поэтому оператор, осуществляющий спектральное преобразование, должен быть единичным, а ф„,(х) = б(х — хр) является ядром единичного оператора. На этих примерах мы видим, что «собственные функции» непрерывного спектра, хотя и не являются собственными элементами в обычном смысле слова, но их связь со спектральным преобразованием остается такой же, как и для собственных векторов в конечномерном пространстве. 67 Заметим, что существует конструкция, позволяющая придать решениям уравнения Афл = Лфл Ч= 1с(Л)фл (Л.
(7) Преобразование Фурье может быть истолковано как разло. жение по собственным функциям оператора импульса фе(х): 1 ф( )=( „„) )ф(р)~ г(р Нормировочная константа (1~2пп)'л в выражении для собствен. ной функции импульса соответствует условию нормировки ~ фр(х) фе (х) е(х = Ь(р — р'). (9) Эта формула — следствие известного интегрального представ. ления для б-функции: ~ е'"" дх = 2пб (й). (10) В двух последних формулах интегралы понимаются в смысле главного значения. Формула (9) есть аналог равенства (фо фл) = бы для собственных векторов дискретного спектра. Построим теперь спектральную функцию оператора импульса.
Только в этом месте мы используем для спектральной функции букву П, чтобы не путать ее с оператором импульса. В импульсном представлении оператор Пр(Л) есть оператор умножения на функцию П,(Л) ф(р) -В(Л - р) р(р). (8) точный смысл собственных векторов даже для случая, когда фл не принадлежат Я. Для этого вводится более широкое пространство Ф' ~ М, элементами которого являются линейные функционалы, определенные на некотором пространстве Ф ~ М. Пару пространств Ф и Ф' удается построить так, чтобы каждый самосопряженный оператор в М имел в Ф' полную систему собственных векторов. Собственные элементы оператора А, при.
надлежащие Ф* и не принадлежащие М, называются обобщенными собственными элементами. Если оператор А имеет простой спектр, то для любого ф ~ Ф имеет место разложение по собственным элементам Перейдем к координатному представлению. Используя формулу (11.9) для одномерного случая, получим П (Л) (х, у) = — ~ 6 (Л вЂ” р) е" Ыр = а а ~ е лр= ~ Ф~(х)Ф~(У)г(Р Производная от спектральной функции по параметру Л называется спектральной плотностью. Ядро этого оператора имеет вид — Пр (Л) (х, у) = ~рх (х) ~~~ (у) = — „„е" Мы видим, что это аналог проектора на одномерное собствен- ное подпространство, 5 13. Энергия, момент импульса и другие примеры наблюдаемых Перейдем теперь к изучению более сложных наблюдаемых. Наша задача сопоставить произвольной классической наблюдаемой Цр, е) ее квантовый аналог Аь Хотелось бы положить А~=((Р,Я) но не существует общего определения функции от некоммутирующих операторов.
Например, уже не понятно, какой из операторов с)тР, Г)РГ) или Р112 следует сопоставить классической наблюдаемой е'р. Однако для наиболее важных наблюдаемых указанных трудностей вообще не возникает, так как эти наблюдаемые являются суммами функций от коммутирующих между собой компонент Яь Яь Яз и Рь Рь Рз.
Приведем некоторые примеры. Кинетическая энергия частицы в классической механике р~ + р2 + рз 2т Соответствующий оператор кинетической энергии имеет вид Рз 1 Р2+ Рз и в координатном представлении ьа Т<р (х) = — — Лсв (х), (4) или дз дз дз где Л = — + — + — — оператор Лапласа. В импульсном дхз дхз дхз з з представлении оператор Т есть оператор умножения на функцию 2 2 я~~+яз+Рз ( ) 2т Точно так же легко ввести оператор потенциальной энергии УЯьЯз,Яз). В координатном представлении У является опе- ратором умножения на функцию У~р (х) = У (х)~р(х), (2) а в импульсном — интегральным оператором с ядром У(Р Я)=(2„д) ~ У(х)е я1 Оператор полной энергии (оператор Шредингера) определяется равенством Н=Т+ У.
Запишем подробно уравнение Шредингера 1й и = Нф (1). (3) В координатном представлении уравнение Шредингера для частицы является дифференциальным уравнением в частных производных 1Л '"("' ) = — — Лф(х, 1)+ У(х)зр(х, 1), а в импульсном — интегродифференциальным д1 2т х(Р' )+~ Рассмотрим наряду с (4) уравнение для комплексно-сопря- женной волновой функции д! 2 Лф(х, 1) + У(х) зг(х, 1). (5) Умножая уравнение (4) на зр, уравнение (5) на зр и вычитая одно из другого, получим (ф Лф 'г Лф) 2 б(ч(зг йтад ф — зр йтаб зр) + г(!ч) =О, дг (6) где ) = 2„(ф КгацФ вЂ” Ф йтаг(ф). Уравнение (6) является уравнением неразрывности и выражает закон сохранения вероятности.
Вектор 1 называется вектором плотности потока вероятности. Из уравнения (6) видно, что вектор 1 имеет следующий смысл: ~ /„//Я есть вероятность того, что частица пересечет поверхность 5 за единицу времени. Важную роль п в классической, и в квантовой механиках играет момент импульса. Эта наблюдаемая в классической механике является вектором, проекции которого в декзртовой системе координат имеют вид /з = ЧзРз ЧзРм /я = ЧзР~ Ч1Рз /з = Ч|Рт ЧтРь В квантовой механике проекциями момента импульса являются операторы /-а = Я/Р— Я Р( (7) Здесь й, /, /и — циклическая перестановка значков 1, 2, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
