Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 12

В правую часть (7) входят произведения только разноименных координаты и проекции импульса, т. е. произведения коммутирующих операторов. Интересно заметить, что операторы Еа имеют одинаковый вид в импульсном и координатном пред- ставлении Ь т д д Х Еа/р (х) = —. (х/ — — х — ) ср (х), дх "' дх ) ЛI д дк / 1,Р/ др Рш др ) р(р)' (8) Свойства операторов Ьа будут подробно изучены ниже, Квантовая механика описывает, конечно, и более сложные, чем материальная точка, системы.

Так, для системы нз /и' материальных точек пространством состояний в координатном представлении является пространство* /.з(йзх) функций от у векторных переменных ср(хь...,хи), Оператор Шредингера для такой системы (аналог функций Гамильтона (1.5)) имеет вид Н= — ~~ — Л/+ ~ 1///(х, — х/)+ ~ У/(х/).

(9) зш/ / ! /(/ с-з * В дальнейшем мы увидим, что для тождественных частиц пространство состояний ЗК совпадает с подпространством /З <= /, функций с определен- 2 2 ной симметрией. физический смысл слагаемых здесь тот же, что и в классиче- ской механике. Рассмотрим еще два оператора для материальной точки, которые окажутся полезными при обсуждении взаимосвязи квантовой и классической механики ц (П) — е- з иир~ еиич+и,ей~ )l (ч) = е-зизо,+о,о,+а'оз (10) (11) где п(ив из,из) и ч(опоьоз) — вещественные параметры.

Оператор р'(ч) в координатном представлении является оператором умножения на функцию )з(ч) ф(х) =е иихф(х). Выясним теперь смысл оператора У(п). Для простоты рассмотрим одномерный случай у(и) =е-зиг. дф(и, х) = — 'Рф(и, х), дф (и, х) дф (и, х) ди дх или Чтобы найти функцию ф(и,х), нужно решить это уравнение с начальным условием ф(и, х) ~„,=ф(х). Единственное решение, очевидно, имеет вид ф(и, х) =ф(х — Ьи).

Мы видим, что оператор 1((и) в координатном представлении есть оператор сдвига аргумента функции ф(х) на величину — Ьи. В трехмерном случае У(п) ф(х) =ф(х — пЬ). (12) Операторы (((и) и У(ч) являются унитарными вследствие самосопряженности операторов Рь Рь Рз и Яь Яз, Оз Найдем перестановочные соотношения для операторов (((и) и )з(ч). В координатном представлении имеем )х(ч) У(и) ф(х) =е-""р(х — пЬ), У(п) Р'(ч) ф(х) =е з"(" "мф(х — пЬ). Из этих равенств сразу следует, что У(и) р" (ч) = У(ч) У(и) е'""". (13) Обозначим ф(и, х) =е-'игф(х). Дифференцируя ф(и,х) по пара- метру и, имеем Разумеется, соотношения (13) не зависят от представления.

Отметим еще формулы и(п,) и(н,) =и(п, + н,), 1 (У1) 1' (Чз) — 1 (Ч! + Чз) т. е. множества операторов У(п) и т'(и) образуют группы. Обо- значим эти группы через У и У. Теперь мы можем дать точную формулировку теоремы фон Неймана. Ограничимся для простоты системой с одной сте- пенью свободы. Теорема. Пусть 0 и У вЂ” однопараметрические группы уни- тарных операторов У(и) и У(п), действующих в гильбертовом пространстве Ж и удовлетворяющих условию: у(и) у(п) = у(о) у(и)е""".

(14) Тогда М можно представить в виде прямой суммы я=я~Юууз9 (15) где каждое УУ~ переводится в себя всеми операторами 0(и) и У(о) и каждое М~ можно отобразить унитарно на 1.'(К) та- ким образом, что операторы У(о) переходят в операторы ф(х) — ~ — е-'""~р(х), а операторы У(и) переходят в операторы ф(х)-~- -~-ф(х — ий). Можно говорить о том, что в пространстве Я действует представление соотношений (14) унитарными операторами. Если это представление неприводимо, то сумма (15) содержит только одно слагаемое. В заключение этого параграфа докажем неприводимость ко- ординатного представления для Р и О.

Пусть К вЂ” некоторый оператор, коммутирующий с О и Р [К, Я]=0, (К, Р)=0. Из второго равенства следует, что КУ (и) = У (и) К. Применяя операторы 'в обеих частях равенства к произвольной функции ~р(х), получим ~ К(х, у)~р(у — ий) с(у= ~ К(х — ий, у) <р(у) йу. Замена у — ий — у в левой части позволяет переписать это ра. венство в виде ~ К (х, у + ий) ~р (у) Иу = ~ К (х — ий, у) ~р (у) г(у.

н и В силу произвольности ~р К (х, у + ий) = К (х — ий, у), 63 откуда видно, что ядро К(х,у) зависит только от разности х — у, т. е. К (х, у) = А (х — у). Теперь используем перестановочность оператора К с операто- ром координаты ~ хй(х — у) Ф(у) ду= ~ Й(х — у) уф(у) с(у, откуда следует, что (х — у) Й (х — р) = О.

Решение этого уравнения имеет вид й(х — у) =* сб(х — у), а функция, стоящая в правой части, есть ядро оператора С1. Итак, мы показали, что любой оператор, коммутирующий с Я и Р, кратен единичному. й 14. Взаимосвязь квантовой и классической механики. Предельный переход от квантовой механики и классической Известно, что поведение макроскопических систем хорошо описывается классической механикой, и квантовая механика при переходе к макрообъектам должна приводить к тем же результатам. Критерием «квантовости» поведения счстемы может являться сравнительная величина характерных для системы численных значений наблюдаемых, имевших размерность действия, и постоянной Планка Ь = 1,05.10-аг эрг с. Если постоянная Планка пренебрежимо мала по сравнению со значениями таких наблюдаемых, то система должна иметь классическое поведение.

Формально переход от квантовой механики к классической может быть описан, как предельный переход при ' й -» О. Разумеется, при таком предельном переходе спо. собы описания механических систем остаются различными (операторы в гильбертовом пространстве не могут превращаться в функции на фазовом пространстве), но физические результаты квантовой механики при Ь- 0 должны совпадать с классическими. Мы опять рассмотрим систему с одной степенью свободы. Изложение будет вестись по следующему плану. * Здесь есть аналогия со свяаью между релятивистской и классической механиками.

Релятивистскими вффектамн можно пренебречь, если аарактерные для системы скорости и много меньше скорости света с. Формально пе. реход от релятивистской меааняни к классической можно рассматривать как предельный переход при се ее, 64 Сначала вещественным функциям на фазовом пространстве ((Р,д) мы сопоставим по некоторому правилу самосопряженные операторы Аь ((-»Аг). Далее мы найдем формулу обращения, позволяющую по опеРатоРУ А( восстановить фУнкцию ((Р, д), (Ат-»().

Тем самым будет установлено взаимно-однозначное соответствие между вещественными функциями на фазовом пространстве и самосопряженными операторами в тв", () — »А(). При этом справедливой оказывается формула ТгА,= ()1(Р, О) 'й "й'. Тг МА(, ~ 1 (р Ч) р (Р Ч) пР г(Ч. (3) Формула (2) показывает, что функция р(р,д) имеет пра. вильную нормировку, а формула (3) утверждает, что в пределе при й-»О среднее значение наблюдаемой в квантовой механике совпадает со средним значением соответствующей классической наблюдаемой'. Далее пусть эволюция квантовой системы описывается картиной Гейзенберга и соответствие Ат(() +((() установлено для произвольного момента временит.

' Еше раз подчеркнем, что левая часть в (3) не совпадает с правой прн й Чь О, так как произведению МА~ соответствует функция, отличная от ((р,ч)р~(р,д). кроме того, заметим, что фучкция р(р,о) при й ~ О может быть не положительной, т.е. не соответствовать классическому состоянию, но в пределе при й -» О из (3) следует, что р(р, д) удовлетворяет всем требованиям к классической функции распределения. З зею ззо Наконец, мы найдем, какие функции на фазовом пространстве соответствуют произведению Аг 0Ак и квантовой скобке Пуассона (АОАи).

Мы увидим, что эти функции не совпадают с произведением (д и классической скобкой Пуассона ((,я), но в пределе при й -» О стремятся к ним. Таким образом мы убедимся, что алгебра наблюдаемых квантовой механики неизоморфна алгебре наблюдаемых классической механики, но при Ь -» О взаимно-однозначное соответствие ) ~-» Ат становится изоморфизмом. Пусть квантовая система с оператором Шредингера Н находится в состоянии М, и пусть Ат — некоторая наблюдаемая для этой системы. Описанное взаимно-однозначное соответствие позволяет сопоставить операторам Н, М и Ат функцию Гамильтона Н(Р, д), функцию р1(р, и) и наблюдаемую ~(р,д). Введем р(р, д) = р~(р, г() (2и)т.

Из формулы (1) следует, что ТгМ= ~ р(р, д)г(рг(О=1, (2) Покажем, что при Ь-ьО классическая наблюдаемая ((() правильно зависит от времени. Оператор А~(~) удовлетворяет уравнению — =(Н, Аг(())». НАг (г) (4) Из линейности соответствия ( Аг следует, что и'Г, НАГ НГ оп кроме того, при й- О (Н,Аг)»к (Н,о, поэтому при Ь-ьО классическое уравнение является следствием квантового уравнения (4). Перейдем к подробному изложению. Рассмотрим некоторую функцию ((р, о) и обозначим через г(и, о) ее преобразование Фурье *: (5) 1(д, р) = — ()г (и, о) е-'еве-ы Ни Но ! ву (и, о) = — ~ ((гг, р) е'е'еы" Нг(НР.

1 (6) Преобразование Фурье вещественной функции ((р, д) обладает свойством ( (и, о) = г (- и, — о). (7) 0 (и) У(о) = У(о) Н(и) е'""'. (8) Естественный (но отнюдь не единственный) рецепт, обеспечивающий самосопряженность, был предложен Г. Вейлем и имеет вид миР А~= — ')Г(и, о)У(о)Н(и)е Я НиНо. (9) иг г» Появление дополнительного множителя е ' связано с неком. мутативностью У(о) и У(и) и обеспечивает самосопряженность * Мы опускаем те оговоРки, которые следовало бы сделать, чтобы все дальнейшие преобразования стали вполне строгими. Для построения оператора Аь соответствующего функции ((р,о), хотелось бы заменить переменные д и р в (5) на опера.