Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 36

Напомним, что эффективный потенциал для электрона в атоме У(г) не является кулоновским и собственные значения одноэлектронного оператора Шредингера зависят от квантовых чисел и и 1. Расчеты показывают, что для типичного эффективного потенциала атома собственные значения Е ~ возрастают в следующем порядке: 1з, 2л, 2р, Зз, Зр, 4з, ЗА 4р, 5з, 4~1, 5р, ...

Именно в таком порядке происходит заполнение электронных оболочек атома (в этом параграфе мы рассматриваем только основные состояния атомов). Этот порядок, однако, не является строгим, так как у каждого элемента свой эффективный потенциал и для некоторых элементов возможны небольшие отклонения в порядке заполнения оболочек. Чтобы понять принцип, по которому происходит деление элементов по периодам, укажем на следующую особенность И- и 1-электронов, отличающую их от з- и р-электронов.

Расчеты пбказывают, что плотность функции распределения координат (~р(х)1а для д- и 1-электронов сосредоточена в области меньших размеров, чем для з- и р-электронов с близкими энергиями. ' Например, атомный вес пезия считался равным 92, Менделеев приписал ему значение !38 (современное значение 140). 195 2 элемента 8 элементов 1 1з, П 2з, 2р 111 Зз, Зр, 1Ч 4з, ЗА 4р, Ч 5з, 4г(, 5р, Ч! бз, 41, 5А бр, Ч11 7з, 6Н, 5~, !8 !8 32 элемента Номера периодов обозначены римскими цифрами. Справа указано число элементов периода.

Это число легко находится, если вспомнить, что число одноэлектронных состояний с квантовыми числами а и ! равно 2(2! + 1). Например, число элементов шестого периода равно 2+ !4+ 1О+ б = 32. Номер периода совпадает с главным квантовым числом заполняющихся з- и р-оболочек. Элементы, содержащие заполненные д- и 1-оболочки (или не содержащие таких оболочек), называются элементами главных групп. Элементы,- в которых происходит заполнение Н- и (-оболочек, называются элементами промежуточных групп, Это значит, что и'- и 1-электроны в среднем находятся значительно ближе к ядру, чем з- и р-электроны.

Поэтому элементы, в которых происходит заполнение Н- и особенно (-оболочек обладают сходными химическими свойствами. (Химические свойства в основном зависят от состояний периферических электро-. нов атома. Объяснение этого утверждения дает квантовая теория валентности.) Первым элементом каждого периода таблицы Менделеева является элемент, у которого начинает заполняться з-оболочка. Все эти элементы, за исключением водорода, — щелочные металлы. Последним элементом каждого периода является элемент, у которого завершается заполнение р-оболочки (исключение представляет первый период, элементы которого, водород и гелий, не содержат р-электронов). Последние элементы периодов являются благородными газами.

Конфигурации атомов благородных газов состоят из заполненных оболочек. Можно показать, что соответствующие состояния преобразуются при вращениях по неприводимому представлению Оь т. е. являются сферически-симметричными. Таким же свойством обладают положительные однозарядные ионы щелочных металлов, конфигурация которых совпадает с конфигурациями предшествующего благородного газа. Именно поэтому оптические свойства щелочных металлов хорошо описывает модель валентного электрона в центральном поле. Последовательность электронных оболочек разбивается по периодам следующим образом: Элементы промежуточных групп имеют близкие химические свойства, в особенности это справедливо для групп, в которых происходит заполнение (-оболочек (оболочка 4у заполняется в группе редкоземельных элементов). Отметим, что при заполнении д- и (-оболочек иногда наблюдаются отклонения от указанного выше порядка.

Например, конфигурациями основных состояний атомов Ч, Сг, Мп являются (Зс()'(45)э, (Зст)з4з, (Зс()з(45)' соответственно (мы не выписали конфигурацию заполненных оболочек, общую для всех этих атомов (15)з(25)з(2р)'(Зз)з(Зр)'). Оказывается, что Еэй г5 н 15 1 5 Ю 15 гп тб 5О 55 Ча «5 5б 55 ВО бз тв Гз за В5 Ра г Рис. !б. конфигурация (Зс()з45 для атома Сг энергетически более выгодна, чем (31()" (45)э, которую мы приписали бы хрому, руководствуясь нашей моделью. Ясно, что это отклонение не может быть объяснено в рамках модели, в которой эффективный потенциал одинаков для всех электронов.

В заключение проследим за изменением энергии связи * электрона в атомах. Этот параметр тесно связан с химическими свойствами элементов и характеризует способность атомов «отдавать» электрон, вступая в химические соединения. Вспомним, что эффективный потенциал атома (т'(г)ж — 1/г при г- оо и (х'(г) ж — д/г при г-»О. Поэтому естественно ожидать (и это подтверждается расчетами), что с увеличением 2 эффективный потенциал становится более сильным, т. е. ' Энергией связи называется абсолютная величина разности между энер. гиями основных состояний атома и соответствующего положительного одноварядного иона, иначе говоря, энергия связи равна минимальной работе, которую нужно затратить, чтобы вырвать электрон из атома.

197 соответствующие одноэлектронные уровни энергии для последующего атома лежат глубже, чем для предыдущего. Поэтому энергия связи должна возрастать в ряду элементов, соответствующем заполнению некоторой оболочки. Однако прн переходе к заполнению следующей оболочки энергия связи может падать. Особенно сильное падение энергии связи наблюдается в начале каждого периода, когда начинает заполняться новая з-оболочка. На рис. 15 нанесены экспериментальные значения энергии связи для различных элементов. По горизонтальной оси отложен атомный номер элемента 2. Из рисунка видно, что для каждого периода минимальное значение энергии связи имеют щелочные металлы, а максимальное в атомы благородных газов.

Химическая инертность благородных газов в значительной степени объясняется большой величиной энергии связи. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие $1. Алгебра наблюдаемых классической механики . $2. Состояния . 3. Теорема Лиувилля и две картины движения в классической механике $ 4.

Физические основы квантовой механики $ 5. Конечномерная модель квантовой механики . 6. Состояния в квантовой механике . 7. Соотношения неопределенности Гейзенберга $ 8. Физический смысл собственных значений и собственных векторов наблюдаемых 9.

Лве картины движения в квантовой механике. Уравнение Шредин. гера. Стациоварные состояния $10. Квантовая механика реальных систем. Перестановочные соотноше. ния Гейзенберга $11. Координатное и импульсное представления . $ 12. «Собственные функции» операторов О и Р . $13. Энергия, момент импульса и другие примеры наблюдаемых . $14. Взаимосвязь квантовой и классической механики.

Предельный переход от квантовой механики к классической . $15. Одномерные задачи квантовой механики. Свободная одномерная частица . $ 16. Гармонический осциллятор $17. Задача об осцилляторе в координатном' представлении . $ !8. Представление состояний одномерной частицы в пространстве последовательностей $19.

Представление состояний одномерной частицы в пространстве це. лых аналитических функций В1 $20. Общий случай одномерного движения . $21. Трехмерные задачи квантовой механики. Трехмерная свободная частица . $22. Трехмерная частица в потенциальном поле . $23. Момент импульса . $24. Группа вращений . $25. Представления группы вращений $26. Сферически-симметричные операторы $27. Представление вращений унитарными матрицами второго порядка $28. Представление грузны вращений в пространстве целых аналитических функций двух комплексных переменных . 3 5 1О 15 18 27 31 35 38 42 46 50 56 59 64 71 76 79 82 85 86 92 94 95 97 99 Г02 105 106 Леяцнн по явамтовой механвке для студентов-математиков Редактор Г.

А. Григенч Техн. редактор Л. А. Толорина Корректоры К. Я. Евнина, Т. Г. Павлова Сдано в набор 10.06.79. Подписано к печати 19.01.60. Формат 60ХВУА Вум, тип, № 2. Уч. изд. л. 11,29. Иеч. л. 12,6. Тираж руте зкз. заказ зю. Иена 26 «оп. Издательство ЛГУ имени А. А жданова. 199164, Ленинград, Университетскаи наб., У/Ц Ордена трудового Красного знамени ленинградская типография № 2 имени негения Соколозоа «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам нада. тедьств, полиграфии и кияжяоа торговли.

196952, Ленинград, Лез, Измааловскиа проспект, 29 $29. Единственность представлений 01 9 30. Представления группы вращений в пространстве бт(дт) Сферические функции 9 31. Радиальное уравнение Шредингера . 9 32. Атом водорода. Атомы щелочных металлов . $33. Теория возмущений 5 34.

Вариационный принцип 9 35. Теория рассеяния. Физическая постановка задачи . $ 36. Рассеяние одномерной частицы на потенциальном барьере . 6 37. Физический смысл решений фг и фз 9 38. Рассеяние на прямоугольном барьере . $ 39. Рассеяние на потенциальном центре 9 40, Движение волновых пакетов в поле силового центра 6 41. Интегральное уравнение теории рассеяния 5 42. Вывод формулы дли сечения $43. Абстрактная теория рассеяния $44. Свойства коммутирующих операторов . 9 45. Представление пространства состояний по полному набору наблюдаемых 9 46.

Спин . 47. Спин системы двух электронов $ 48. Системы многих частиц. Принцип тождественности . $49. Симметрия координатных волновых функций системы двух электронов. Атом гелия . 6 50. Многоэлектронные атомы. Одноэлектронное приближение . $51. Уравнения самосогласованного поля $ 52. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева ИБ 312956 Фаддеев Людвиг Дмитриевич, Якубовский Олег Александрович 109 112 115 !20 128 134 137 139 142 145 146 151 156 158 162 170 174 175 180 183 186 187 192 195 .