Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Первое из этих подпространств натягивается на векторы Ж'>, В'м раем а второе — на вектор %4. Используя обозначения 5 29, мы можем записать этот результат в виде Р ЭР =Р ЕР(, Заметим, что мы доказали частный случай теоремы о разложении тензорного произведения неприводимых представлений группы вращений. Сформулируем эту теорему без доказательства. Пусть в пространствах 8'( и Юа действуют неприводимые представления группы вращений Р( и Р>г Тогда тензорное произведение представлений представимо в виде прямой суммы неприводимых представлений Р(,ЭРь=Р(ь-ь((ЦР>ь-(,( (В . (ВРь >а Последняя формула называется разложением Клебша— Гордана.
Само разложение получается переходом от базиса, составленного из векторов е(,„,е(,„,, та= — /м — /а+!.../ы й=1,2, где е>а а — собственные векторы операторов (у(а>)а и У("> к без~суна вектойов а> (гм, У=)/( — /,(, )/, — /,1+ 1,...,/, +У М= — У, — У+ 1, ..., У. Векторы е „являются собственными для четырех коммутирующих операторов (У(п)а, (У(з>)' У2 (У(0+ /(2>)з+ (У(!)+ У(2>)2+ (Уп> 1 У(2>)з У У(и+ У(2> Векторы е м представимы в виде алым= Х С(,ьтм(ш *е> аь (4) а1а «Ь Индексы суммирования и>» пробегают значения — /а+ 1, ..., /м /г = 1, 2. Коэффициенты разложения С в (4) называются коэффициентами Клебша — Гордана. Заметим, что мы, переходя к базису Ф~, Чум В'з, йг4, нашли эти коэффициенты для случая /( = уз = 1/2.
Из сформулированной теоремы следует также, что если в некотором состоянии момент импульса ун> имеет значение у>, 182 а момент У<2> — значение 1м то полный момент 3 может прини- мать значения 1/< — 12(, )1<< — 12)+ 1, ..., у<+/2. Складывать таким образом можно как орбитальные.
или спиновые моменты для различных частиц, так и орбитальный и спинозой момент для одной частицы. В заключение этого параграфа отметим важное для даль- нейшего свойство базисных элементов Ф'<, 4 = 1, 2, 3, 4. Для этого запишем их, вводя спиновые переменные з<п и зз<2<, каждая из которых может принимать два значения ~1(2 Яг (зо) 2<2)) — ц (э<а) [< (з<2)) в;(з<н,.<>)=и (.< )и (з<2>), йг,(зн<, за) — < ~У (з«<) (< (з<в) 1 У (з<о) У (з<2<Д (5) рг ( ', 3 )= — 'ги (< )и (з<'>) — и (з< ) и (3 )1 где с<4. (2) = 1, с/4-( — 2) =О, У Я =О, (У ( — 2) =1.
Из (5) следует, что функции 2<'<, КЗ, )Р3 являются симмет- ричными функциями от спиновых переменных Яу,.(зд', з<о)=И',(з<'>, з<'>), <=1,2,3, а )Р4 — антисимметричная функция 4(3' 3) 4(З' ЗЗ)' й 48. Системы многих частиц. Принцип тождественности До настоящего параграфа мы изучали в основном поведение одной квантовой частицы. Пространством состояний частицы без спина является в координатном представлении пространство 1.2(КЗ), а для частицы со спином 1<2 — ~2(КЗ)® СЗ. Естественным обобщением таких пространств на случай системы из п частиц представляются пространство У2(РЗл) 12(РЗ) ~ <33 (2(РЗ) для частиц без спина и пространство (2 (Язл) <3< С2л ~ 2 (~~3) <3< СЗ Е ~р (2 (РЗ) ~р СЗ для частиц со спином 1/2. Сравнение теории с экспериментом показывает, однако, что такое предположение о пространствах состояний систем из и частиц оказывается справедливым только в том случае, когда среди частиц системы нет одинаковых.
При наличии одинаковых частиц в поведении квантовых систем обнаруживаются 163 особенности, объяснение которых становится возможным на основе так называемого принципа тождественности. Сразу заметим, что принцип тождественности является новым принципом квантовой механики. Он не может быть выведен из других, сформулированных ранее, основных положений квантовой механики и должен быть постулирован. Будем обозначать одним символом Ж пространства Ез(Кз") и /.з(1гз")3 С'", а элементы этих пространств записывать в виде Ч"(яь ...,$„), где $; = х<н — для бесспиновой частицы и 5,=(х<", з,'о) — для частицы со спином, ззю — спнновая переменная 1-й частицы.
Для частицы со спином 1/2 переменные з® принимают два значения ~ 1/2. Скалярное произведение в пространствах Я также можно записывать единообразно (Ч', Ф) = ~ Ч' (5п ..., $„) Ф ($о ..., $„) г$~ ... Н$„, подразумевая, что для частиц со спивом интегрирование по переменным $; есть интегрирование по пространственным переменным хго и суммирование по спиновым переменным з~,". Прежде чем переходить к формулировке принципа тождественности, рассмотрим группу перестановок Я., которая называется также симметрической группой. Элементами этой группы являются перестановки а единичный элемент есть тождественная перестановка Произведением перестановок и = пзп~ называется перестановка, которая получается в результате последовательного выполнения перестановок п~ и пз.
Легко построить представление группы 5„ в пространстве Я. Введем операторы Р„, положив Р„Ч %, ..., 1„) =Ч (~п, ..., Ь„), Очевидно, Р являются унитарными операторами и отображение и- Р„есть представление симметрической группы в пространстве М. В пространстве Я сразу выделяются два инвариантных относительно операторов Р подпространства. Это подпространство Мз симметричных функций, для которых Р„'Р Яь ..., $„) = Ч' 6» ..., $„) и подпространство Мз антисимметричных функций Риту%!, ..., 1„) =( — 1)!")тР(Ь!, ..., $„), где через 1п) обозначена четность перестановки п. Очевидно, что Ма 1 Мз. В случае двух частиц М = Мз 9,Рэз.
Действительно, любая функция Чт($!, $з) может быть записана в виде тр(ен ен) Ч (1! Ы+Ч (1! Ь) 1 Ч ($! Ы Ч (йз $!) 2 2 =Чти(я! 5г) + Чти($!, вт), где Чтз еи авз, а Чтз я Яа. В случае большего числа частиц имеются и более сложные, чем Мз и Ма инвариантные подпространства, однако интереса эти подпространства не представляют. Принцип тождествен- ности утверждает, что пространством состояний системы из а одинаковых частиц является либо пространство Ма, либо пространство Мз. Выбор одного из этих пространств в каче- стве пространства состояний зависит только от рода частиц. Говорят, что частицы, состояния которых описываются сим- метричными функциями, подчиняются статистике Бозе — Эйн. штейна, а частицы, описываемые антисимметричными функ- циями, подчиняются статистике Ферми — Дирака.
Первые на зываются бозонами, а вторые в фермионами. Оказывается, что статистика, которой подчиняются частицы, определяется их спнном. Частицы с целым спином (в том числе и без спина) являются бозонами, а частицы с полуцелым спи- ном — фермионами. В нерелятивистской квантовой механике нет объяснения связи спина и статистики, отчасти эта связь объясняется в релятивистской квантовой механике. Фермионами являются электроны, протоны, нейтроны, спин которых ра- 'вен 1/2, бозонами являются фотоны, спин которых равен еди- нице, и мезоны, у которых спин равен нулю. Статистика состав- ных тождественных частиц (например, атомных ядер) опреде- ляется четностью входящих в их состав фермионов, так как пе- рестановка одинаковых сложных частиц эквивалентна переста- новке нескольких пар элементарных частиц.
Так, дейтроны, со- стоящие из нейтрона и протона, являются бозонами. Заметим, что спин дейтрона целый *, так как спины протона и нейтрона равны 1/2. Выпишем оператор Шредингера для системы попарно взаи- модействующих частиц, находящейся во внешнем поле ч л в Н= — ~ ~— Л,+ ~~ )т(х!")+ ~ у(хи! — хм'). ! ! ! 1 з(в Первый член есть оператор кинетической энергии системы частиц, второй — описывает взаимодействие частиц с внешним ч Из зксперииентов известив, что спин нейтрона равен единице.
полем, а третий — взаимодействие частиц между собой. Обратим внимание на то, что массы всех частиц одинаковы, а потенциалы взаимодействия )г(х) и у(х) не зависят от номеров частиц. Вследствие этого оператор Шредингера Н коммутирует со всеми операторами Р„, (Н, Р ] = О. 2 49. Симметрия координатных волновых функций системы двух электронов. Атом гелия Электроны являются фермионами, поэтому волновая функция для системы двух электронов должна быть антисимметричной Ч'(йз, э>) = — Чг(в>, Ы. Разложим функцию Ч" Я>, $з) по введенным в $47 базисным функциям 11т>, '>)тз, ))га, У>та: Чг (х'нз!зв, хсвзз<'>) = к, Ч', (х'", х"') )Ггг (з>зн, г!зз>). (1) Первые три слагаемых в этой сумме соответствуют состояниям с полным спином единица, а четвертое описывает состояние с полным спином нуль.
Введенные соотношением (1) функции Ч'>(хп>,х!з>), !' = 1, 2, 3, 4 называются координатными волновыми функциями в отличие от Ч>Я>,$з), которую называют полной волновой функцией. В $ 47 мы видели, что йг",. (з>зв, зза>) при г = 1, 2, 3 являются симметричными относительно перестановки спиновых переменных, яу,(ззп, згзх>) — антисимметричная функция, Тогда из антисимметричности полной функции следует, что Ч',(х">, х>'>) = — Чг>(х»>, х>т>), >=1, 2, 3, Ч~> (хал х!н) — Ч~4 (х!в х~в) т.
е. координатные волновые функции для состояний со спином единица являются антисимметричными, а для состояний со спином нуль — симметричными. Применим этот результат к атому гелия. Оператор Шредингера для атома гелия в пренебрежении спиновыми взаимодействиями имеет вид* 1 1 2 2 ! и= — — л,— — л — — — — + —. 2 2 з г1 гз гм ' ' В точной постановке задачи оператор Шредингера содержит члены, зависящие от спина, однако вывод выражения для спинового взаимодействия возможен только в релятивистской квантовой механике. Кроме того, для атома гелия зтн члены играют роль малых поправок и всегда учитываются по теории возмущений. 185 Если Ч'($ь еьт) является решением уравнения НЧг аь Ы = ЕЧУ (Ь, $~), то и координатные функции Ч";(х<п,хпп) удовлетворяют уравнению Шредингера с тем же собственным значением Е.
Поэтому задача сводится к отысканию решений уравнения НЖ (хп', х~э>) = ЕЧ (хо', х<т>) (2) в подпространствах симметричных или антисимметричнгях функций. Ясно, что решений уравнения (2) в каждом из таких подпространств меньше, чем в пространстве Еэ(йе). Те значения Е, для которых уравнение (2) имеет решение в подпространстве антисимметричных функций Ч'(х<'>,х<х>), соответствуют состояниям со спином .единица, а те значения Е, для которых существуют симметричные решения уравнения (2), соответствуют состояниям со спином нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
