Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (1185099), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Аппарат квантовой механики оказывается приспособленным для описания частицы со спином. Мы начнем с построения пространства состояний для элек. трона. Без учета спина пространством состояний Зй в коорди. натном представлении является пространство !.'(к'). Введение спина требует расширения пространства состояний, так как число состояний частицы со спином больше, чем у бесспиновой частицы. Удвоения числа состояний без изменения физического со- держания теории легко добиться, заменив пространство состоя- ний М = Е'(К') на Мз = !.з(К') ® Сз и сопоставив каждой наблюдаемой А в Я наблюдаемую А ® ! в Мз. Поясним это подробнее.
Элементами пространства состояний частицы со спином являются пары функций (1) Скалярное произведение в пространстве Яз задается формулой (Ч", Ф) = ~ яь (х) ~р~ (х) Нх + ~ ф, (х) <~~ (х) Ых. (2) яа ю Будем использовать для наблюдаемых А ® ! в Звз те же обо- значения и названия, что и для наблюдаемых А в Ж Так воз- никают операторы координат Яь Щ, 9з, операторы проекций импульса Рь Рм Рз н т. д., действующие в Мз.
Например, й д~, (з) (ф,(х)") ( Т дх, 1 дз~ Каждому чистому состоянию ф(х) в 7й теперь соответствует два ортогональных состояния в 7вз О ' х) или любая их линейная комбинация. Ясно, что среднее значение любой наблюдаемой А в состоянии ф будет равняться среднему значению наблюдаемой А 3! в состояниях Ч'~ и Ч"ь Таким об- разом, введя пространство Мз и ограничиваясь рассмотрением наблюдаемых вида А ® 7, мы действительно добились удвоения числа состояний, сохранив все физические следствия теории. В пространстве Мз, однако, наряду с наблюдаемыми А ® ! существуют и другие наблюдаемые, например, вида !®5, где 5 — самосопряженный оператор в Сз.
Разумеется, в Мз суще- ствуют наблюдаемые, не представимые в виде А®1 или 785, например, суммы или произведения таких наблюдаемых. Рассмотрим наблюдаемые типа 7®5. Прежде всего оче- видно, что любая такая наблюдаемая коммутирует с любой наблюдаемой А 8 ! и не является функцией от наблюдаемых такого типа. Поэтому в пространстве ййз наблюдаемые 1;1и Яь 177 Яз не образуют полного набора коммутирующих наблюдаемых и мы должны будем дополнить этот набор до полного. Любой самосопряженный оператор 5 в пространстве С' представим самосопряженной матрицей второго порядка и может быть выражен в виде линейной комбинации четырех независимых матриц. В качестве таких матриц удобно выбрать единичную матрицу / и матрицы Паули пь пж оз.
ггз = ° пз = Свойства матриц Паули обсуждались в $27. Матрицы 5~ —— = о;/2, / = 1, 2, 3 имеют перестановочные соотношения, такие же, как и для орбитального момента импульса (5! 52) г53 (52 53) т5о (53 5!) г52' Мы видели, что перестановочные соотношения являются одним из наиболее важных свойств операторов момента импульса. Поэтому разумно отождествить операторы / ® 5ь / = 1, 2, 3 с операторами проекций спина *. В дальнейшем эти операторы будем обозначать обычно через 5р Операторы 5~ имеют собственные значения ~1/2, которые и являются допустимыми значениями проекций спина на некоторое направление **.
ВекУ' ф (х)'1 /' 0 торы Чг~ — — ~ / и Ч'з — — ( / являются собственными век- 1, О 1 1т,ф(х)) торами оператора 5з с собственными значениями +1/2 и — 1/2. Поэтому эти векторы описывают состояния с определенным значением третьей проекции спина. Для дальнейшего нам удобно изменить обозначения и вектор ЧгенМз записывать в виде функции Ф'(х,зз), где хя Кз, а зз принимает два значения +!/2 и — 1/2. Такая запись эквивалентна (1), если положить Ч~(х, — )-ф1(х), Ч~(х, — — ) =ф,(х).
Из равенства " Более глубокие соображения основаны на том факте, что для системы со сферически симметричным оператором Шредингера операторы Е~+5, являются квантовыми интеграламя движения. Этот вопрос мы обсудим позже. *" Все формулы мы записываем в системе единиц, в которой й !. В обычной системе единиц операторы проекций спина имеют вид $,=(й/2) о, п допустимые чяслениые значения этих проекций равны ~й/2. Заметим, что прн переходе к классической механике й О и соответственно проекции спина стремятся к нулю.
Поэтому спин является специфически квантовой наблюдаемой. 178 следует, что 5зЧ/ (х, зз) = ззЧг (х, яз), т. е. оператор 5з, так же, как и операторы !',11, Яя, Яз, является оператором умножения на переменную. Мы видим, что построенное представление пространства состояний частицы со спином является собственным для операторов (;1!, Яя, Яз и 5ш а эти операторы образуют полный набор коммутирующих опе. раторов в яяз.
Теперь легко понять физический смысл функций Ч" (х,з,). В соответствии с общим толкованием !Чг(х,зз)!Я есть плотность функции распределения координат при условии, что третья проекция спина имеет значение зз, а ) 1 Ч'(х, з,) (зг(х есть вероятность в результате измерения спина получить значение, равное зз Наряду с наблюдаемыми 5„5ш 5, можно ввести оператор квадрата спина 5 =5!+5я+5з Подставляя в это выражение 1 з 51 — — — о, и учитывая, что о~1 — — 1, получим 5'= 4 /.
Мы видим, что любой вектор Ч" ~доз является «собственным» для оператора 5а с собственным значением 3/4. Это собственное значение можно записать в виде* з(з+ 1), где з = 1/2. Поэтому говорят, что спин электрона равен 1/2. Построим представление группы вращений в пространстве Яз. Напомним, что в пространстве ав = /.Я(Р) действует пред- СтаВЛЕНИЕ ВращЕНИй д ОПЕратОраМИ Яу(д) =Е 'Епа~+Са2+Са1, а В ПРОСтРаНСтВЕ Ст — ОПЕратОраМИ (/(с) = Е-1!За+ля,+З 1' Отображение д Фгз(й), где Жз(у) — Яу(д)бр (/(д) является представлением в пространстве двз. Представление )з'з есть произведение представлений Ф и (/. Операторы в явз называются сферически-симметричными, если они коммутируют со всеми операторами Кз(д).
Если оператор Шредингера Н является сферически-симметричным, то операторы Кз(д) и инфинитезимальные операторы Л"з 1 — = — 1 (Л1 !3 /+ / З 51), / = 1, 2, 3, да! ! -о являются интегралами движения. Поэтому для системы со сферически-симметричным оператором Шредингера справедлив закон сохранения полного момента импульса, проекции которого /1 = ь1+51. ' В $29 мы показали, что из перестановочнык соотношений для момента импульса следует, что собственные значения оператора квадрата мо. мента имеют вид /(1 + !), где 1 — целое или полуцелое число. Это число для оператора спина принято обозначать буквой а 179 Заметим, что в общем случае сферически-симметричного оператора Н нет законов сохранения орбитального и спинового моментов по отдельности. Однако, если сфернчески-симметричный оператор Шредингера в Мв коммутирует и со всеми операторами %'(д)®1, то он коммутирует со всеми операторами 1® (1(д)„и имеют место законы сохранения для наблюдаемых Е1 и 51 по отдельности.
Примером такого оператора Шредингера является оператор Н®1, где Н вЂ” оператор Шредингера для частицы в центральном поле. В 47. Спин системы двух электронов Пространство Ст, введенное в предыдущем параграфе, часто называют спиновым пространством для электрона. Для системы из двух электронов спиновым пространством является пространство Сч = С23 Са. В пространстве Св выберем базис, состоящий изсобственныхвекторовоператора 5а (1+ — — ~ ~ и 11 =~ ) ~о3 — Ы с собственными значениями 1/2 и — 1/2 соответственно. В качестве базисных векторов в пространстве Сч можно взять векторы 11+'(1+', сг'"11~ ', (1+~0'" и (1"~(1+~, где индексы (1) и (2) нумеруют спиновые подпространства электронов. Более удобным, однако, оказывается другой ортонормированный базис, состоящий из векторов йг,=и,и„ (1) (т) ч/2 Удобство нового базиса состоит в том, что векторы ЯРь 1= 1, 2, 3, 4 являются собственными векторами операторов 5з=5в +5а и 5 = 5~+ 5т+5з Здесь оператор 5а есть третья проекция полного спина двух электронов ", аналогичный смысл имеют операторы 5~ и 5а.
Оператор 5а есть квадрат полного спина. 1 1 е В более точиой ааписи Яа = — о ® 1+ — 1® о,. Операторы о 91 и 2 а 2 1 1®о мы обовиачаем в дальнейшем череп оо' и о~а соответствеиио. 1 Для того чтобы проверить сформулированное утверждение относительно векторов )Рь ! = 1, 2, 3, 4, найдем результат действия операторов оь оз, оз на базисные векторы У+ н У . Имеем о<У = = =У, о<У =У о,У„= <У, озУ = — <'У„., озУ, = У„ озУ = — У, Используя эти формулы, получим З)Р,=ф(,'+ )У,'У,' =У,'Уз =1йГь ! г < и , <з<т и! сч < и <з! Ззй<гз = — 1)Рз, оз(гз = О(гз Зз)Р з = О((ге (2) Наряду с (2) имеют место формулы Уйг! — — 2(Р<, 1=1, 2, 3, З (р 4 О(р 4 (3) Проверим формулу (3) для вектора йУз.
З (г'з = (о < + Зз + Зз) йгз = 4 <ло! +о< ) +(о2 +оз) +(оЗ +оз)зФЗ— = à — 1+ — '(оп!о<~а + о,'"оГ + оз<оо)1 — '~ (Ус!У'" + У'пУ+) = з = — (Р'з + — йтз + — йУз — — (Рз — — 2 ~'з. 2 2 2 2 181 Здесь мы использовали (1) и равенства о<=1, 1= 1, 2, 3. Таким образом, первые три вектора (Р'<, (Р'з и %'з описывают состояния, в которых квадрат полного спина системы из двух электронов равен 2. Число 2 можно записать в виде 2 = = 5(5+ 1), где 5 = 1, поэтому полный спин в этих состояниях равен единице. Проекция полного спина в соответствии с общими свойствами момента импульса принимает в этих со. стояниях значения ~1 и О. Вектор <Рз описывает состояние с полным спином, равным нулю.
Иногда говорят, что в состоя« ниях явь я<гз, Ф'з спины электронов параллельны, а в состоянии )Рз — антипараллельны. Обсудим полученный результат с точки зрения теории групп. Мы знаем, что в пространстве С' действует неприводимое представление группы вращений операторами — (а,а,+а,а,+а а,> У(д)=е з ' ' . Ясно, что отображение д-аУ(я) = = У(д) Э У(д) =е-'(з'+заь+з>а> есть представление группы вращений в пространстве С'. Представление 0 является тензорным произведением двух одинаковых представлений У, и оно приво- димо. Согласно результатам $ 29 пространство С( представимо в виде прямой суммы двух инвариантных относительно операторов 0(а) подпространств, в которых действуют неприводимые представления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
