Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 17

Мы видим, что спектр оператора Н является положитель- ным, непрерывным, бесконечнократным. Каждому направлению вектора к соответствует собственная функция (3) с собствен- ным значением й'. Поэтому собственных функций столько, сколько точек на единичной сфере. Решение задачи Коши для нестационарного уравнения Шре- дингера 1 — = Нф, ф (0) = <р, .

Щ ф(р, 1)= %(р)е 'Р'. Переходя к координатному представлению, получим ф(х, 1) =( — )' ~ ~р(р)е'и" яьчНр= ~ ~р(й) ф„(х)е мчйс. Так же, как и в одномерном случае, функции ф(х,г) или ф(р,1) описывают инфинитное движение частицы с независящей от времени функцией распределения импульса. Используя метод стационарной фазы, можно показать, что область, в которой велика вероятность обнаружить частицу, перемещается с классической скоростью ч = 2ра (мы считаем, что носитель функции ~р(р) сосредоточен в окрестности точки рз). Справедлива оценка (ф(х, 1)1( —,, где С вЂ” некоторая постоянная. Наконец, как и в одномерном случае, 11т ($, ф(1)) =0 для любого $ ен М. как и в одномерном случае, легче всего получить в импульсном представлении: 1'~о" ,О =рЧ(р, 1), Ф(р, 0) =ж(р).

Очевидно, что 5 22. Трехмерная частица в потенциальном поле Оператор Шредингера для частицы в потенциальном поле в координатном представлении имеет вид Ь' Н = — — Д+ г'(х). 2т Важность задачи о движении частицы в потенциальном поле объясняется тем, что к ней сводится (как и в классической механике) задача о движении двух тел. Покажем, как это делается в квантовой механике. Рассмотрим систему двух частиц с массами т, и гпь взаимодействие между которыми описывается потенциалом г'(х1 — хх).

Запишем оператор Шредингера этой системы в координатном представлении а2 Ь' Н = — — Д, — — Дя+1 (х1 — хх). 2т~ 2тз Здесь Д| и Дх — операторы Лапласа по координатам первой и второй частиц соответственно. Введем новые переменные т1х~ + т2хв Х= х=х,— хм т~+т1 Х вЂ” координаты центра инерции системы, а х — относительные координаты. С помощью простых вычислений получим выражение для Н в новых переменных: ур а1 Н= — —,Д.— тД*+ $/(х). 2и Здесь М = т1 + тх — полная масса системы, а р = гп~тх/(гп~ + + тх) — так называемая приведенная масса. Первое слагаемое в Н может быть истолковано как оператор кинетической энер.

гни центра инерции системы, а оператор к' Н, = — — Д+ Р(х) 2Н является оператором Шредингера для относительного движения. В уравнении Н'Р = ЕЧ' переменные разделяются, и решения такого уравнения можно искать в виде Ч" (Х, х) = $(Х) ~, (х).

Функции ~р(Х) и ~р1(х) удовлетворяют уравнениям (Ь = 1) 2 Дч' (Х) т (Х)' 2 Дф (Х) + 1~(х) 1р1(х) = адлер!(х), 1 причем Е = 3+ 3!. Первое из этих уравнений имеет решения 3 фк(Х)=( —,' )'е ", задача сводится к решению второго уравнения, которое по форме совпадает с уравнением Шредингера для частицы с массой р в потенциальном поле У(х).

Отметим, что спектр оператора Н является всегда непрерывным, так как непрерывным яв- 1 ляется спектр оператора — вЂ Ь . 2М Наиболее важным случаем задачи о движении частицы в потенциальном поле является задача о движении в поле силового центра. В этом случае потенциал )г(х) = У()х~) зависит только от )х! = г. К задаче о центральном поле сводится задача двух частиц, если потенциал взаимодействия зависит только от расстояния между частицами. Прежде чем переходить к рассмотрению этой задачи, мы изучим свойства момента импульса и некоторые вопросы нз теории представлений группы вращений, что позволит нам явно учесть сферическую симметрию задачи.

3 23. Момент импульса В квантовой механике операторы проекций момента импульса определяются формулами (1 ЯЗ~ 3 ЯЗ~ 2 ~ 2 ЯЗ~ 1 91РЗ )3 Я1~ 2 Р2~ 1 Таким образом, операторы С1, ЕЗ, Ьз удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям: [~1~ ~'2[ (~З~ РЗ, ~З) =1~1, [У.З, Е!) =11'.2. (3) Введем еще одну наблюдаемую, которая называется квадратом момента импульса ~ 1 + ~"2 + ~ 3 (2) Найдем перестановочные соотношения для операторов Е1, Ер, 1.3 и 1.2.

Используя соотношения Гейзенберга [!',)1, РЗ) = = 1б;3 и свойства коммутаторов, получим Р1, |2)=РЗРЗ вЂ” ЯЗРЗ, ЯЗР! — 91РЗ) = = ЯЗР! [Рз, Яз) + 331 РЗ Йз~ Рз) =1%1РЗ вЂ” (32Р!) =113 Нетрудно проверить, что все операторы Е1, Ез, Сз коммутируют с П [Ьр 1~1=0, 1=1, 2, 3. (4) Действительно„ [Ы1, 1.'1=[Ы1, Й!+Из+~з1=[1.1, ~.4+[1.1, Й31= = [з.!, з 2) з.2 + з 2 [з-,!, й21 + [з-.! ° з.з) з 3 + з'3 [й! з 3[ = 32-32.2 + 12-21-3 — 12-21-3 — 13-31 2 = О. При вычислении использовались свойства коммутаторов и формулы (3). Из перестановочных соотношений (3) и (4) следует, что проекции момента импульса не являются одновременно измеримыми величинами.

Одновременно измерены могут быть квадрат момента импульса и одна из его проекций. Выпишем операторы проекций момента импульса в коордн. натном представлении Нетрудно убедиться, что операторы Е1, Ез, Ез действуют только на угловые переменные функции ф(х). Действительно, если функция ф зависит только от г, то Езз[з ( ) = ' [ хз д — х1 д ) зу (х'+ 2+ хз) = =12[2'(хз+хз+х')(х ° 2х, — х, ° 2х )=О.

Для дальнейшего полезной окажется формула которую мы тоже проверим в декартовых координатах. Для этого вычислим оператор — Ьз, используя обозначения х, у, г для проекций х: ( д Уд) (Уд д )+( д д ) д д 2 д д 2 д д Хдз дз дзч 2 дз 2 дз 2 дз = (х'+ у'+ г') ( — + — + — ) — х' — — у'т — г' —— ~ дхз дуз дгз ) дхз ду дгз дз дз дз д д д — 2ху — — 2ух — — 2гх — — 2х — — 2у — — 2г —. дх ду дудг дгдх дх ду дг' 96 д ьз =1 [хзв дхз д ~.

='(х,— дхз .( д ".з =1 Хз дх! — х — ), д д д Учитывая соотношения д д д д г — =х — +у — +з —, дг дх ду дх ' ( )=' д1з здз хд2 з д2 д д д г — ) =х — +у — +2 — +х +у — +3 — + дг ) дх2 ду' дх2 дх ду дх дз д2 д' + 2ху — + 2уг + 2гх —, дх ду дудх ' дхдх ' г'д1зддгд1 получим — ь =г Ь вЂ” 1г — ) —." — = г б — — 1 г 2 дг) ' дг дг х дг ) ' ф 24.

Группа вращений Обозначим через Сг совокупность всех вращений пространства. Кз вокруг начала координат. Каждое вращение д ен Сг порождает линейное преобразование трехмерного пространства х'=ух, где теперь мы буквой д обозначили матрицу )~ ум )~, которая называется матрицей вращения. Хорошо известно, что д является ортогональной матрицей и бе1д = 1. Верно и обратное: каждой такой матрице соответствует определенное вращение. Поэтому в дальнейшем мы будем отождествлять вращения и их матрицы. Группа вещественных ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице, называется группой 50(3) или группой вращений.

Существует несколько способов параметризацни вращений. Так, в теоретической механике часто используются углы Эйлера. Для наших целей наиболее удобно задавать вращение вектором а = псс (1п! = 1), который направлен по осн вращения и и длина которого к равна углу поворота. При этом считается, что направление вращения и направление вектора а образуют правый винт, и угол поворота и не превосходит п (0(и(п). Если откладывать векторы а от одной точки, то их концы будут заполнять шар радиуса и. Различным внутренним точкам этого шара будут соответствовать различные вращения, а диаметрально противоположным точкам границы— одинаковые вращения.

Таким образом, группа вращений топологически эквивалентна шару, у которого отождествлены противоположные точки границы. Установим связь между группой вращений и алгеброй Ли кососимметрических матриц третьего порядка. Матрица А называется кососимметрической, если А' = — А. Произвольная кососимметрическая матрица задается тремя параметрами и имеет вид О ам а1з А= — ам О азз — ам — азз О Совокупность кососимметрических матриц становится алгеброй Ли, если в качестве лиевской операции взять коммутатор [А, В]. Это утверждение следует из свойств коммутаторов и равенства [А, В]' = — [А, В].

Последнее проверяется непосредственно: [Л, В]'=(А — ВА)'=В'А' — А'В'=ВА — АВ= — [А, В]. В качестве образующих алгебры Ли удобно выбрать матрицы А~= ΠΠ— 1, Л,= О О О, Лз — — 1 О О Любая кососимметрическая матрица может быть представлена в ваде А (а) = а1 Аз + аз Аз + аз А,. Найдем перестановочные соотношения для матриц Аь Аз и Лз зЛп Лз] = ЛзЛз — А2Лз = 1 ΠΠ— О О О = 1 О О =Аз и искомые соотношения имеют внд [А„Л,] = Аз, [Лз, Аз]=Ао [Лз, А~] = Аз. Непосредственно может быть проверена формула [А(а), Л(Ь)]=Л(аХЬ). Рассмотрим матрицу е '.

Для того чтобы получить явное выражение для атой матрицы, вычислим целые степени матрицы Аз — 1 О О Аз= Π— 1 О =-!ъ Аз=- Аз, Аз=!з, О О О 98 Раскладывая е а в ряд получим а"А» - (-!)» ат» (-1)»+' а~» ' а 0 »-1 » 1 = 1+ 7» (соз а — 1) + А» з(п а сова — з»п а 0 еал = з(па сова 0 0 0 1 или Мы видим, что кососимметричные матрацы Аь А,, А, яв ляются инфинитезимальнымн образующими группы вращений. Теперь мы легко можем получить формулу для произвольного вращения д(па). Очевидно, что произведение вращений вокруг одной оси ~ на углы и и В есть вращение на угол а+ В вокруг той же оси: д(пВ) д(па) =д(н(а+ В)].

Дифференцируя это тождество по В и полагая В = О, получим (п1 А, + п»А» + п,А») й (па) = — „й(па) . Мы нашли дифференциальное уравнение для д(па), которое нужно решить при начальном условии я(пО) = /. Единственное решение этой задачи имеет вид я(па) = ехр ((п,А, + п»А»+ паА») а). (2) $ 25. Представления группы вращений Представлением группы вращений б в гильбертовом пространстве Ю называется отображение )г", которое каждому элементч я группы 0 ставит в соответствие ограниченный линейный Мы видим, что еал является вращением вокруг третьей оси на угол а, т. е. д(0, О, а) =е'"'. Аналогично проверяется, что я(а, О, 0)=еал и д(0, а, 0)=е"'. Для вращений вокруг оси координат мы будем использовать сокращенное обозначение йч(а), 1 = 1, 2, 3.

Инфиннтезимальнымн образующими группы вращений называются матрицы — ~ . Используя формулы для врале (а) да щений вокруг осей координат, получим Аналогично и непрерывно зависящий от а оператор ))т(д) в простран- стве д' так, что выполняются условия 1) В'(/) = 1, 2) К(д~д,) = Ю'(д~) К(дз). В условии !) слева I означает единичное вращение, а справа— единичный оператор в д'. Из условий 1) и 2) сразу следует, что йг(а ') =))7 '(а). Представление называется унитарным, если унитарны опе- раторы )р(д), т. е. К*(д) = Ж'-'(д).