Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 18

В теории групп доказывается, что любое представление группы вращений эквивалентно некоторому унитарному пред- ставлению, поэтому можно ограничиться изучением унитарных представлений. Напомним два эквивалентных определения неприводимого представления: 1) представление называется неприводимым, если не существует оператора, отличного от С1, который коммутировал бы со всеми операторами Ю(д); 2) представление называется неприводимым, если в пространстве Ж не существует подпространства Юм инвариантного относительно действия операторов Р(д). Легко построить представление группы вращений в прост- ранстве состояний частицы М = ь''(йз). Для этого определим операторы К(д) формулой Я7 (д) ф (х) = ф (д-'х).

(1) Условие 1) определения представления очевидно, условие 2) проверяется следующим образом: Ф' (й,д ) Ф (х) = ф (д ' д, 'х) = )р (д,) Ф (дз 'х)=37 (д,) яг (дз) ф (х). Операторы )Р'(д) отображают Я на Ж взаимно однозначно, поэтому для проверки унитарности достаточно убедиться, что они сохраняют норму вектора ф ~~Ч7(д) ф!Р= ~(ф(д 'х) Рс(х= ~1ф(х) РЫх=!!фГ, а' и' где использовано равенство де(д = 1. Покажем, что справед- лива формула В'(а) = ехр ( — 1(й~а~ + ~за, + ааааа)).

(2) Здесь мы обозначили Я7(й(а)) через 1Р(а), Еь Еь Ез — проек- ции момента импульса. Для доказательства формулы (2) рас- смотрим сначала вращение вокруг третьей оси и покажем, что 'ягз(а) =е и'" илн, что эквивалентно, ф (д (а) х) = е ы 'Ф (х) (3) при произвольной ф(х)енЖ. Мы проверим справедливость последнего равенства, если убедимся, что функции в левой и правой частях его удовлетворяют одному и тому же уравнению с одинаковыми начальными условиями. Функция ф(Х, а) в Е '~'аф(Х) очевидно, удовлетворяет уравнению да (х, а) да — (~зф(Х, а) или подробнее да(х, а) ( д д да ~ дх~ дха ~ =(хв — — х1 — 1ф(х, а). (4) Функция, стоящая в левой части (3), которую мы обозна- чим через ф1(х,а), имеет вид ф1(х, а) =ф(х1 сова+ х, в(п а, — х, в(п а+ хе сов а, х ).

Проверим, что зта функция удовлетворяет уравнению (4): — = — ( — х~ в(п а+ хг сова) + — ( — х1сова — хе в(па), да~ дхг да да дх1 дхз д(ь д$ де хв — —— х, — сов а — хв — в(п а, дх1 дх1 дх2 дчи да да х1 — — — х, в(п а+ х~ — сов а, дхи дх~ дхр Таким образом, операторы вращений вокруг осей координат имеют вид )(а (а) е-ю! ! ! 2 3 (5) ! Инфинитезимальные операторы представления сразу находятся из формулы (5) дЮ" ( ) $ ~И' ( ) а 0 Далее, буквально повторяя рассуждения, которые привели нас к формуле (24.2), мы получим (2).

Обратим внимание на то, что операторы — ((.; имеют те же перестановочные соотнощения, что и матрицы Ап !'= 1, 2, 3. Действительно, из ((! ~'21 ~~ 3 следует, что 'Е1 'Лв1 = — (ьв откуда следует справедливость (4) для функции ф1(х,а). Наконец, обе функции удовлетворяют одинаковому начальному условию ф(х О) ф1(х, О) ф(к) В теории групп доказывается, что перестановочные соотношения между инфинитезимальными операторами представления не зависят от выбора представления.

Более того, если какие- либо операторы в некотором пространстве М' удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и инфинитезимальные образующие группы, то они являются инфиннтезнмальными операторами некоторого представления, действующе- говЮ. Применительно к группе вращений это означает, что если мы найдем операторы Мь Мм Мм удовлетворяющие соотношениям: [Мь Мз] = Мз, [Мм Мз] = Мь [Мм М~] = Мь то можем построить представление Ж' по формуле Ч7 (а) = ех р (а ~ М~ + а,М, + азМз) 6 26. Сферически-симметричные операторы Оператор А называется сферически-симметричным, если он коммутирует со всеми операторами В'(д) представления группы вращений.

Очевидно, что оператор А является сферически-симметричным, если [А, У.;] = О, 1 = 1, 2, 3. Приведем примеры сферически-симметричных операторов. 1) Оператор умножения на функцию 1(г). В самом деле, мы видели, что операторы момента импульса действуют только на угловые переменные. Поэтому ЕП" (г) ф (х) =1(г) Ьф (х) при произвольной ф ен Я.

2) Оператор (.з. Сферическая симметрия этого оператора следует из полученных ранее соотношений [ьз,Е;] = О, 1= 1, 2, 3. 1 3) Оператор кинетической энергии Т= — — Л. Сферическая симметрия этого оператора сразу видна в импульсном представлении, в котором он является оператором умножения на функцию р9(2т). Операторы момента импульса Ь~ в импульсном представлении имеют точно такой же вид, как и в координатном.

4) Оператор Шредингера для частицы в центральном поле Н= — — Л+ Р(г) 1 2гл как сумма двух сферически-симметричных операторов. Обратим внимание на то, что нз самого существования сферически-симметричных операторов, отличных от С(, следует приводимость построенного представления группы вращений в пространстве состояний М. Выясним теперь особенности спектра оператора Шредингера в центральном поле, связанные с его сферической симметрией.

Пусть ф — некоторый собственный вектор, соответствующий 102 собственному значению Е Нтй = Еф. Тогда Н% (хг) зр =%" (д) Нар= ЕЮ (д) ф, откуда видно, что вектор В'(д)ф тоже является собственным вектором Н, соответствуюшим тому же собственному значению.

Мы видим, что собственное подпространствоййк оператора Н, соответствующее собственному значению Е, является инвариантным относительно врашений (т. е. относительно действия операторов йт(д)). Представление )й' группы вращений в пространстве М индуцирует представление йук в подпространстве авл л - )угл(й), где Ф'л(а) — ограничение оператора (р'(д) на подпространство Мл (в дальнейшем мы будем пользоваться обозначением К(д) и для операторов Жл(й)). Могут представиться два случая: либо представление, индуцированное в Фн, является неприводимым, либо Рйл содержит инвариантные относительно К(д) подпространства меньшей размерности, и тогда это представление будет эквивалентно прямой сумме не- приводимых представлений ". Мы видим, что кратность собственного значения сферическисимметричного оператора Шредингера всегда не меньше размерности некоторого неприводимого представления группы вращений и в первом из упомянутых случаев совпадает с этой размерностью.

Появление кратных собственных значений энергии в физике называют вырождением, а такие энергетические уровни вырожденными. Если в каждом из собствецных подпространств индуцированное представление неприводимо, то говорят, что оператор Н не имеет случайных вырождений. В этом случае кратность спектра полностью объясняется выбранной симметрией задачи.

При наличии случайных вырождений, возможно, сугцествует более богатая группа симметрии уравнения Шредингера. Именно так обстоит дело с оператором Шредингера для атома водорода, который, как мы увидим, имеет случайные вырождения относительно группы вращений. Заметим, что у сферически-симметричного оператора Н с чисто точечным спектром существуют собственные значения сколь угодно большой кратности. Действительно, в этом случае йэ" представимо в виде * Здесь мы используем известную из теории групп теорему: Пусть задано унитарное представление я-~- яг(н) группы вращений н гильоертовом пространстве Р.

Тогда существуют конечномерные подпространства еть егз, ..., инвариантные относительно МГ(К), в каждом из кото. рых представление йу неприводимо. Эти подпростраисгва попарно ортогональны, и их сумма есть все о, т. е. 8' = о г Ю и'з йп 103 С другой стороны, М = Я19Мз9 где через м1э„обозначены подпространства, в которых действуют неприводимые представления группы вращений. Изучая такие представления в $ 30, мы увидим, что среди мв„имеются подпространства сколь угодно большой размерности. Но для любого яэ„хотя бы одно из пересечений Я„П Жп Ф Я и тогда содержит яв, целиком, поэтому собственное значение Е» имеет кратность не меньшую, чем размерность* мв,.

Если система не и~меет случайных вырождений, то собственные значения оператора О можно классифицировать с помощью неприводимых представлений группы 6 в том смысле, что каждое собственное подпространство Мя является и собственным подпространством соответствующего представления. Поэтому важной представляется задача о нахождении всех не- приводимых представлений группы вращений.

Этим вопросом мы займемся в следующих параграфах. В заключение этого параграфа заметим, что такую сравнительно простую задачу квантовой механики, как задача о движении в центральном поле, можно было бы решать вообще не привлекая теории групп. Наша цель на этом примере показать, как применяется теория групп при решении квантовомеханических задач. Микромир (атомы, молекулы, кристаллические решетки) весьма богат различными видами симметрии. Теория представлений групп позволяет с самого начала явно учесть эти свойства симметрии, и зачастую только подход, основанный на теории групп, позволяет получать важные результаты для очень сложных систем.

' Очень простым примером сфернчески.снмметричного оператора с чисто точечным спектром является оператор Шредингера для трехмерного гармо. нического оспиллятора 2 2 или в координатном представлении Н= — — Л+ — г. ! ва 2 2 Задача разделением переменных сводится к одномерному случаю и для соб. огненных значений получается формула зх Е» ли = (и! + Пз + Пз+ 2 ) ЕХ Лп Пз, Пз —— О, 1, 2, Каждой тройке чисел пь и», и» соответствует собственный вектор ф„„„. Видно, что кратность собственных значений Е при Е -» оо растет неогра.