Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu)

Печатается ло постановлению Редакционно-издательского совета Ленинградского университета УЛК 530145 © Издательс~во Ленинградского университета, 1980 г. ф 20203,20402 — 024 80 80.1704020000 076(02) — 80 Фаддеев Л Д„Якубовский О. А. Лекции по квамтовой механике для студентов-математиков. Учеб. пособие Лл Изд-во Ленингр, ун-та, 1980 200 с.

Ил. — !5. В основу книги положены лекции, которые в тече. ние ряда лет читаются студентам математических специальностей математика-механического факультета Ле. нинградского университета. От имеющихся учебников квантовой механики книга отличается тем, что она ориентирована в основном на математическую аудиторию, В связи с этим большее внимание уделяется общим вопросам квантовой механики и ее математическому аппарату. По-иному, чем это принято в физической литературе, излагаются основы квантовой меха- вики, подробно описана взаимосвязь квантовой и классической механик, включены параграфы, посвященные применению теории представлений групп и математическим вопросам иваитовой теории рассеяния.

Кроме студентов-математиков книга может быть полезной также студентам, специализирующимся по теоретической физике, которым она позволит взглянуть на квантовую механииу с новой для них точки зрения. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие является подробным конспектом лекций, которые читаются на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета для студентов математических специальностей. Программа курса квантовой механики была разработана первым из авторов, который и читал этот курс в 1968 — 1973 гг.

В последующие годы курс квантовой механики читался вторым автором. Разумеется, за эти годы курс несколько изменился, однако цель его осталась прежней — дать изложение квантовой механики с точки зрения более близкой студенту-математику, чем это принято в физической литературе. Мы учитываем, что студенты не изучают общей физики. Естественно, что в курсе, предназначенном математикам, мы стремились к более аккуратному, чем это принято, изложению математических вопросов квантовой механики, но мы не стремились к полной математической строгости, так как строгое изложение ряда вопросов потребовало бы существенного увеличения объема курса.

В литературе на русском языке существует только одна книга, преследующая те же задачи. Это книга известного американского математика Дж. Макки «Лекции по математическим основам квантовой механики». От книги Макки настоящие лекции существенно отличаются как по способу изложения основ квантовой механики, так и по подбору материала. Кроме того, настоящие лекции предъявляют несколько меньшие требования к математической подготовке студентов. Тем не менее мы многое заимствовали как,из книги Макки, так и из классической книги фон Неймана «Математические основы квантовой механики».

В основе подхода к построению квантовой механики, принятого в лекциях, лежит утверждение, что квантовая н классическая механики являются различными реализациями одной и той же абстрактной математической структуры. Особенности втой структуры выясняются в первых параграфах, посвященных классической механике. Эти параграфы являются неотьемлемой частью курса и пропускать их при чтении нельзя, тем более, что материал этих параграфов практически не пересекается с материалом курса теоретической механики.

Логическим завершением такого подхода к построению квантовой механики является параграф, посвященный взаимосвязи квантовой и классической механик и предельному переходу от квантовой механики к классической. При отборе материала параграфов, посвященных приложениям квантовой механики, мы старались выделить те вопросы, которые связаны с постановкой интересных математических задач.

В связи с этим большое внимание уделяется задачам, связанным с теорией представлений групп, и математическим вопросам теории рассеяния. В остальном подбор материала соответствует традиционным учебникам, посвященным общим вопросам квантовой механики, например, книгам В. А. Фока нли П. Дирака. Авторы благодарны В. М. Бабичу, который прочел рукопись и сделал ряд ценных замечаний. 5 1.

Алгебра наблюдаемых классической механики Рассмотрим простейшую задачу классической механики— задачу о движении материальной точки (частицы) с массой лз в силовом поле У(х), где х(хи хе, хз) — радиус-вектор частицы, Сила, действующая на частицу, дк г = — игаб У= — —. дх «Ь дК Пз — = — —, Ж дх' В дальнейшем удобно вместо скорости ч в качестве основной переменной использовать импульс р. В новых переменных уравнения движения записываются таким образом: др дк дЗ дх' дх р ~й т (2) р дН дЬ' дН Замечая, что — = —, — = —, где Н= — + У(х) — функт др ' дх дх ' 2т ция Гамильтона для частицы в потенциальном поле, мы приходим к уравнениям в форме Гамильтона дх дН Ыр дН (3) Ш др ' Ж дх Из курса теоретической механики известно, что широкий класс механических систем и, в частности, консервативные Основными физическими характеристиками частицы являются ее координаты хь хз, хз и проекции вектора скорости ч(оноь ох).

Все остальные характеристики есть функции от х и ч, например, импульс р = тч, момент импульса ! = х Х р = = лзх и ч, знергия частицы Е = тчз(2+ У(х). Уравнения движения материальной точки в форме Ньютона имеют вид системы описываются уравнениями Гамильтона дН . дН г)г= —, р,= — —, 1=1, 2, ..., и. (4) др ' до Здесь д! и йч — обобщенные координаты и импульсы, Н = = Н(г)г,,г(а;Рг,...,р,) — функция Гамильтона, число и называется числом степеней свободы системы. Напомним, что для консервативной системы функция Гамильтона Н совпадает с выражением для полной энергии системы в переменных д! и рь Выпишем функцию Гамильтона для системы Н материаль. ных точек, попарно взаимодействующих между собой 2 и Н= ~ — г+ ) Уг!(х,— х!) + ~~! Уг(х!). (5) ! 1 г<! ! ! Здесь в качестве обобщенных координат и взяты декартовы координаты частиц, число степеней свободы такой системы и = ЗН, Уп(х; — х!) есть потенциал взаимодействия г-й и 1-й частиц.

Зависимость Уг! только от разности х; — х; обеспечивает выполнение третьего закона Ньютона. (Действительно, сила, действующая на г-ю частицу со стороны 1ьй частицы, дрг! д!гг! Гг! — — — — — — — — — — Гт!.) Потенциалы У;(х!) описывают дх! дх! взаимодействие 1-й частицы с внешним полем. Первое слагаемое в формуле (5) — кинетическая энергия системы частиц. Для произвольной механической системы все физические характеристики есть функции от обобщенных координат и импульсов. Мы введем в рассмотрение множество л всех вещественных, бесконечно дифференцируемых функций е 1(гтг,..., г)„; р!,..., р,), которые будем называть наблюдаемыми. Множество наблюдаемых И, очевидно, является линейным пространством и образует вещественную алгебру с обычными для функций операциями сложения и умножения. Вещественное 2п-мерное пРостРанство с элементами (дг,..., д„; Рь..., Р„) называетсЯ фазовым пространством и обозначается через дг. Таким образом, алгебра наблюдаемых классической механики есть алгебра вещественных гладких функций, задаваемых на фазовом пространстве «г".

Мы введем ниже в алгебре наблюдаемых еще одну операцию, которая связана с эволюцией механической системы. Для простоты все дальнейшее изложение ведется на примере системы с одной степенью свободы. Уравнения Гамильтона в этом случае имеют вид — р=- —, Н=Н(д, р). дН . дН др' до (6) ' Мы не обсуждаем вопрос о введении топологии в алгебре наблюдаемых. К счастью, большинство физических вопросов от этой топологии не зависит.

Задача Коши для системы (6) и начальных условий и Ь-о = чо Р!г-е = Ро имеет единственное решение с)=Ч(ре Рю г) Р=Р(ро Ро г) (8) Для сокращения записи точку фазового пространства (д, р) иногда будем обозначать через 1х, а уравнения Гамильтона записывать в виде р = о (1ь) (9) где о (1а) — векторное поле этих уравнений, сопоставляющее каждой точке р фазового пространства вектор и с компоиеи- дН дН тами —, — —. др ' дд Уравнения Гамильтона порождают одиопараметрическую коммутативиую группу преобразований фазового пространства в себя " О,: лу- .аГ, где Опт есть решение уравнений Гамильтона с начальным ус* ловием Ог1ь(г=е = 1х.

СпРаведливы Равенства: От+а = ОгОа = ОаОь Ог = О-ь (10) В свою очередь преобразования О~ порождают семейство пре. образований алгебры наблюдаемых в себя ОР ~ — ь~, где идр) = (г (р) = ~ (Ог р) (11) В координатной записи функция ~~(с),р) определяется следую* щим образом; Гт(ре* Ро) =1(Р(~7е. Ро г) Р(ро Ро т)) (12) Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетво- ряет функция )г(су,Р). Для этого продиффереицируем тожде. ство ~гм(1ь) = ~~(О,1ь) по переменной з и положим з = 9, й(,(О,Р) ~ б(, бн й(, дН вЂ” =Ч (р) п(р)= — ' — — — ' —.