Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.djvu), страница 16

Построенное представление может оказаться удоб. ным, если изучаемые наблюдаемые есть полиномы от Я и Р. 2 20. Общий случай одномерного движения 86 В предыдущих параграфах мы рассмотрели две одномерные задачи квантовой механики — задачи о свободной частице и о гармоническом осцилляторе. Свободная частица дает нам пример системы с непрерывным спектром для оператора Шре. дингера, а гармонический осциллятор — с чисто точечным спектром. В большинстве реальных физических задач спектр оказывается более сложным.

Рассмотрим задачу о спектре оператора Шредингера лг Н = — —, + 1'(х) прн весьма общих предположениях о потенциале. Обычно силы, действующие на частицу, заметно отличны от нуля в какой-то конечной области на оси х и стремятся к нулю при )х(-«оо, поэтому наиболее часто встречаются потенциалы У(х), которые стремятся к постоянным значениям при х-« -« ~со. Для простоты рассуждений мы ограничимся случаем, ( г(х)е Рис. и когда потенциал строго равен постоянным при х( — а и при х > а.

Используя произвол в определении потенциала, одну из этих постоянных всегда можно считать равной нулю. Рассмотрим уравнения Шредингера ф" + Еф = У (х) ф (1) при условии, что У(х) — непрерывная функция на вещественной осн, и У(х) = О при х( — а, У(х) = Уз при х ) а. Для определенности будем считать, что Уа ) О. График потенциала изображен на рис. 6.

При х ( — а и х ) а уравнение Шредингера (1) упрощается ф'+Еф=О, х( — а, (2) ф" + (Š— Уо) Ф = О, х ) а. (3) При любых значениях Е существует два линейно-независимых решения уравнения (1), которые мы обозначим через ф и фь Общее решение этого уравнения ф=Ср~, +асаф,. (4) При изучении спектра оператора Н нас интересуют либо квад- ратично интегрируемые решения уравнения (1), которые яв- ляются собственными функциями оператора Н, либо решения, ограниченные на всей вешественной оси.

При помощи послед- них может быть описан непрерывный спектр оператора Н. Рассмотрим теперь три случая. !) Е(0. Уравнения (2) и (3) перепишем в виде ф" — язв=0, х < — а, к'= — Е > О, н > О, ф" — н$=0, х)а, к2= — (Š— У)>0, х,>0. Линейно-независимыми решениями этих уравнений являются функции ех"" при х < — а и е™к при х > а. Поэтому пооиз- вольное решение (4) уравнения (1) в области х < — а имеет вид С1е "'+Сзе"", а в области х > а — С7е ""- С7е"'". Здесь С(, Сз, СГ и Сà — некоторые постоянные, линейно зависящие от С1 и Сэ формулы (4).

Решение ф будет квадратнчно инте- грируемым при условиях С( — — О и СГ = О. Уже одного из этих условий достаточно для того, чтобы ф была определена с точ- ностью до численного множителя. Из условия С1 =0 может быть найдено отношение коэффициентов С1 и Св которые бу- дут зависеть от параметра Е, †' = Р~(Е). С, Аналогично из условия СГ= 0 получим †' = Е,(Е). с Квадратично интегрируемое решение ф будет существовать только при тех значениях Е, для которых Р1(Е) = Г,(Е). Корни этого алгебраического уравнения, если они существуют, являются собственными значениями оператора Н. Из приведенных соображений естественно ожидать наличие простого точечного спектра при Е ( О.

2) 0 ( Е ( Ь'о Уравнения (2) и (3) запишем в виде ф" + й'ф =. О, х < — а, е'= Е > О, е > О, ф" — миф=О, х>а, и',= — (Š— У)>0, х,)0. Линейно-независимыми решениями являются функции ехм" при х ( — а и ехжк при х ) а. Сразу видно, что квадратично интегрируемых решений нет, а ограниченное решение может быть 88 построено, если выбрать С~!Сд так, чтобы ф имела вид С~е-"" при х > а. Поэтому в интервале 0 < Е < ра спектр является простым непрерывным. 3) Е>Уо. В этом случае оба уравнения (2) и (3) имеют осциллирующие решения (е*'ю при х < — а и е*'м" при х > а, й',=Š— 1~ ), поэтому любое решение уравнения (1) является ограниченным, а квадратично интегрируемых решений нет. Спектр оператора Н при Е > У~ — непрерывный, двукратный. На рис.

6 собственные значения оператора Н изображены горизонтальными линиями, обычной штриховкой показана область простого непрерывного спектра, а двойной штриховкой— область двукратного спектра. Обсудим физический смысл решений уравнения (1). Квадратично интегрируемые решения описывают стационарные состояния с энергией, равной собственному значению. Эти функции экспоненциально убывают при (х~-ь оо, поэтому вероятность обнаружить частицу вне некоторой конечной области близка к нулю. Ясно, что такие состояния соответствуют финит- ному движению частицы. Собственные функции непрерывного спектра непосредственного физического смысла не имеют, так как они не принадлежат пространству состояний.

Однако с их помощью могут быть построены состояния типа волновых пакетов, которые мы рассматривали для свободной частицы. Эти состояния могут быть истолкованы как состояния с почти заданной энергией. Изучение эволюции таких состояний показывает, что они описывают частицу, которая при (1)- оо уходит на бесконечность (ннфннитное движение). К этому вопросу мы еще вернемся, когда будем изучать теорию рассеяния. В классической механике, как и в квантовой, при Е < 0 движение является финитным, а при Е > 0 — инфинитным.

При 0 < Е < Р, частица может уйти на бесконечность по одному направлению, а при Е > Уз — по двум. Обратим внимание на то, что кратность непрерывного спектра совпадает с числом направлений, по которым частица может уйти на бесконеч. ность. На примере частицы в одномерной потенциальной яме рассмотрим вопрос о классическом пределе квантовых стационар. ных состояний. Для вычисления предела (14.15) удобно использовать асимптотический вид решения уравнения Шредингера при 6-~.0. Методы построения асимптотических решений уравнения Шредингера при й — 0 носят название квазиклассических методов. Мы применим один из таких методов — метод Венцеля, Крамерса, Бриллюэна (ВКБ). Уравнение Шредингера запишем в виде е — к(х) ф 0 Ь~ 89 Здесь, как и прежде, мы используем систему единиц, в которой х — ~ж и - о(*)= р( — '1о(*)~*).

! у~ ~„а .тр для функции д(х) ойд' — до + Š— г' = О. (8) Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по степеням Ь/! д(х)= ~~' Е яо(х). (7) Подставляя (7) в (5), имеем о ® д ~'~'® йод 80+Е Р О, л ! л-! о-о (9) эо Приравнивая коэффициенты при (й/!)", получим систему реккурентных уравнений для функций до(х): йо= Š— г', (8) Р й„ , = — Х, а,а„ ,. Из (8) находим до(х) до(х) = ~ 4Š— К (х) = =Е р(х).

Здесь р'(х) при Е ) У(х) есть классическое выражение для абсолютной величины импульса частицы с энергией Е в поле 'г'(х). При Е( У(х) функция р(х) становится чисто мнимой. Полагая и = 1, из (9) получаем ! я! йо= — йаоа! а!= — — — = — — ~ !в~р(х) ~. 2 ао 2 Нх Ограничиваясь этими членами разложения (7), получим асим. птотический вид при й -ь О для двух линейно-независимых решений уравнений Шредингера оч !*|= ' *о(+-'1~!оо*]-!о!!! !!о! 1р(х) при р(х) Ф О. Функции (10) иногда называют ВКБ-решениями уравнения Шредингера.

Точная теория метода ВКБ довольно сложна. Известно, что ряд (7) в общем случае расходится и представляет собой асимптотический ряд. Конечное число членов этого ряда позволяет построить хорошее приближение для функции !р, если постоян. Аналогично из условий убывания при х-++со следует, что к; э(*) ю ( — „1 р(*)~*+ — )+0(ы. (1э Х Эти два выражения для $(х) совпадают, если Х2 ~ Р(х) Йх=пл(л + з), и = О, 1, 2, ... (13) Условие (13) определяет собственные значения энергии в квазиклассическом приближении н соответствует правилу квантования Бора — Зоммерфельда в старой квантовой теории, Перейдем к вычислению классического предела квантового состояния.

Предел при й - О можно находить при различных условиях. Можно, например, рассмотреть состояние, соответствующее собственному значению энергии Е„при фиксированном значении числа а из условия (13). Легко видеть, что тогда Е„~Уз — — пппУ(х) при й-ьО и в пределе получится состояние Х покоящейся частицы на дне потенциальной ямы. Мы разберем более интересный случай: й-ьО, и- оо, а энергия Е остается постоянной. (Заметим, что в данном случае интеграл в левой ную Планка й можно считать достаточно малой в условиях конкретной задачи.

В дальнейшем будем считать, что потенциал У(х) = О при (х() а и пусть Е ( О. Предположим, что при ппп У (х) < Е ( О имеется две точки х~ и хт ( — а ( х~ < хз( а), удовлетворяю. щие условию Š— У(х) = О. Это так называемые точки поворота, в которых частица, согласно классической механике меняет направление движения на противоположное. Нетрудно понять, что в классически запрещенной области (х ( х~ или х ) хз) одно из ВКБ-решений экспоненциально возрастает, а второе — затухает при удалении от точки поворота в глубь запрещенной области. При (х) ) а ВКБ-решения совпадают с точными и имеют вид е™, где Е = — к'.

Вспомним, что собственная функция дискретного спектра оператора Н экспоненциально убывает при х -ь ~-со. При 6 -ь О собственная функция в разрешенной области должна совпадать с некоторой линейной комбинацией ВКБ-решений С~чп + Став Построение такой линейной комбинации является сравнительно сложной задачей, так как ВКБ-решения теряют смысл в точках поворота. Можно показать, что условия убывания функции ф(х) при х- — оо выполняются, если части (13) от Ь не зависит и й-».0, пробегая некоторую последовательность значений.) Подставляя в формулу (14.15) асимптотическое выражение (11) для»р(х), получим Р(х, и) = — !пп ч»(х+ ий) ф(х) = зн к-+а »+»з ~ (-„' [ р(4 *»- — )Х (*».

») (» 4» к, х .»~-ьи хм ( — [»(*)»»»- — = — ~~ — [»(4»*)— ~,а 1 4)[= (х),,~ [,» Х~ Х »+»»Л к — ° (-„' 1» « * »- -' 1» ы * »- -",)1 Х~ к Все нормировочные множители мы обозначаем буквой С. Предел второго слагаемого в смысле обобщенных функций равен нулю, поэтому Р(х, и) = — хсоз(р(х) и). Используя (!4.16), найдем функцию распределения для предельного классического состояния »» р(д, р)= ( ~ е-'~'"соз(р(д)и)а)и= С р (ч) »9 С е ы" (еы «) " + е 'Р «) ") ди, = р(ч) Окончательно получим р(»), р) = — [Ь(р — р(д)) +б(р+ р(»)))[. (14) Состояние, описываемое функцией р(д, р), имеет очень про.

стой смысл. В этом состоянии плотность функции распределения координаты обратно пропорциональна классической око. рости частицы, а импульс частицы в точке ») с равной вероят. постыл может принимать два значения ~р(»)). Формула (14) была получена для разрешенной области. Нетрудно таким же способом проверить, что в запрещенной области р(д,р) = О. 2 21. Трехмерные задачи квантовой механики. Трехмерная свободная частица Оператор Шредингера для свободной частицы в координатном представлении имеет вид а2 Н= — — А. 2ю (1) Уравнение для собственных функций (при й = 1, гп = 1/2) — Лф=й'ф, Е=й') 0 имеет решения з ф~ (х) — ( ) емх (2) (3) Нормировочная константа выбрана из условия ~ ф„(х) ~„, (х) с(х = б(й — 4с').