Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 82

будучи попарно связанными. Энергетически это означает, что для куперовской пары минимальная энергия становится более низкой, чем Е, для обычных электронов. Тогда верхняя граница нормального состояния (верхняя граница Ферми) становится неустойчивой, и образование пары оказывается энергетически выгодным процессом. Покажем, что межэлектронное взаимодействие может привести к неустойчивости нормального (несверхпроводящего) состояния электронов.

Рассмотрим два выделенных электрона системы, взаимодействующих друг с другом. Остальными взаимодействиями между электронами будем пренебрегать. Тогда можно построить волновую функцию для двух электронов, зависящую только от их координат. Поскольку оказывается, что наименьшей энергией при спарнваиии обладают электроны с противоположными импульсами и спинами, суммарный импульс и суммарный спин пары равняются нулю: й = й1+ йт = О, а = з1+ з = О, (29.1) Волновую функцию такой пары можно записать в виде (29.2) где аг — нормировочный объем. ') Мы отсылаем читателя к специальной литературе, см., например, Боголюбов Н. Н., Толмачев В.

В., Шидког Л. В. Новый метод в теории сверх. проводимости.— Мс Изд. АИ СССР, 1958, а также сб. статей под ред. Н. Н. Боголюбова «Теория сверхпроводимостиж — Мл ИЛ, 1960, ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ 5 291 485 Эта волновая функция отвечает нормальному состоянию без взаимодействия между электронами с энергией Е..и = 2Ер (см. ниже). Теперь рассмотрим сверхпроводящее состояние системы двух электронов с учетом их взаимодействия. Природу этого взаимодействия можно пока не конкретизировать. В связи с тем, что все уровни с энергией Е ( Ер мы предполагаем занятыми другими электронами, т. е.

считаем, что заняты состояния с импульсом )й) ( Йр, минимальная энергия двух выделенных взаимодействующих электронов составляет 2ЕР (см. (29.2) ). Для нахождения наинизшей энергии системы двух электронов со взаимодействием будем искать волновую функцию в виде суперпозиции состояний пар с импульсами, лежащими вне сферы Ферми (см. рис. 29.1): ЯР(гп го) = ~' а», е'»'" (29.3) !»т)>»р Л24,г ГДЕ ЯГ= Г, — Го. Если электрон-электронное взаимоРис.

29И. Сфера Ферми. Все си. ДсйСТВИЕ ОТСуТСТВуЕТ, ТО ЭисрГИЯ Тако стеяиия с»<»р явяяются тяго состояния будет, конечно, выше, чем иятыми. 2Ер. Однако учет взаимодействия может изменить эту картину. Итак, постараемся найти совокупность коэффициентов а„„учитывая взаимодействие электронов друг с другом. Тогда яр-функция (29.3) должна удовлетворять уравнению Шредингера (Но+ )т) т(> =Еф, (29.4) где )т = Р'„ — энергия взаимодействия электронов, а Но — гамильтониан системы без взаимодействия, т. е. только оператор кинетической энергии.

Подставим в (29.4) уравнение (29.3). Тогда а» (Š— Н,) е'" " = ~, ет» а $'а» . (29.5) » >»р »т>»р Учитывая далее, что 82Гт'т Ное' "=2В(й')е'"", е(й')=— 2ято (29.6) из (29.5) получаем а»'(Š— 2е(й')) еня ~ = ~ а»тег» ~)г. » >»р »' (29.7) твотия многих частиц сч. 1и 4ВВ Умножим теперь левую и правую части (29.7) иа сопряженную функцию Ф" = — е (М= р~ — р,) 1 -ыя Я (29.8) и проинтегрируем по всему пространству. Тогда будем иметь — аз (Š— 2е (й')) ~ еслс" "1 с( хсс('хз —— и>зр — аз ~ е'Я" "' Ус('хсс('хз.

(29.9) з~>зр Учитывая, что Слсь-М З З ЗЗ е с( хсзр хз = Й Ьзз~, (29.10) окончательно получаем аз(Š— 2е(й)) = †, ~ аз ~ е'~~Ус('хсс(зх; (29.11) Здесь К = й' — й, сс = рс — г,. Таким образом, мы получили уравнение для определения коэффициентов а„, в общем виде. Заметим, что метод теории возмущений, как будет показано ниже, здесь неприменим — он приводит к противоречию и неправильным результатам. Сделаем некоторые допущения, позволяющие довести расчет до конца. Решение же в общем виде оказывается невозможным. Допустим, что взаимодействие У имеет достаточно простую форму, такую, что интеграл в (29.11) можно представить в виде произведения ) е Ус( хссах х, = А(17з%'зь 1 Г скя з з (29. 12) (29.13) причем сумма в правой части не зависит от й, т. е.

является постоянной величиной С ~'аз,Муз,. (29.!4) Следовательно, асар„ з е — 2з (а) (29.15) где постоянная величина Х соответствует либо притяжению (й ( О), либо отталкиванию (Х > О) электронов. Тогда мы получаем из (29.11), что а„ (Š— 2е(й)) = Ая1сз ~ а„,ят, з >яр ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ 4ВТ Подставляя (29.16) в (29.14) и исключая тем самым а, мы приходим к условию существования отличного от нуля решения уравнения (29.13) в виде !=А — Х аге Š— 2е (е) ' Е>ЕР (29.16) (29.17) е ) Емакс Здесь О является некоторой константой, е = йейе/2те, а суммирование теперь следует производить по достаточно малому интервалу Й вблизи поверхности СФеры Ферми.

Вводя плотность двухэлектронных состояний на единицу интервала энергий а(е) и переходя от суммы к интегралу, получим, что Аоа ! Я(е)с(е 2 3 Š— 2е (29. 18) Здесь введен множитель '/е, ибо из всех электронных состояний пар мы берем только такие, в которых спины ориентированы противоположно. Ввиду малости интервалов интегрирования можно вынести функцию л в точке е = ЕР за знак интеграла, и тогда 1= " !п~ ", " ~, (29.19) (Х(а я(Е„) ! 2ń— 2Е„+ Д ! Из этого уравнения следует, что если взаимодействие электронов соответствует отталкиванию ()с ) О), то решение с энергией Е ( 2ЕР для системы не существует, ибо правая часть будет отрицательной.

Если же электронное взаимодействие является притяжением, то тогда при подстановке в (29.16) Е (2ЕР мы получаем сумму аояожигельных членов в силу того, что Х ( О. Таким образом, при Х ( 0 (притяжение) существует состояние для системы двух электронов с энергией, лежащей ниже 2ЕР, т. е, ниже энергии Ферми системы без взаимодействия. Следовательно, существует особое когерентное состояние с наименьшей энергией, лежащей ниже, чем энергия нормального состояния. Тем самым показано, что образование пар (спаривание) является энергетически выгодным процессом. Можно оценить далее величину энергии связи такой пары.

Вернемся к выражению (29.16) и постараемся довести вычисления до количественных результатов. Для оценки сделаем предположение, что теОРия многих члстиц !Ч. !!! 488 где Ь = 2Ег — Š— величина„характеризующая энергию связи пары. При спаривании электронов и переходе их к коррелированному движению верхняя граница Ферми понижаешься на величину (29.20) Е = 2ń— Л.

Положим Е~ — Ег = Еэ, где Еэ = Ьоэ и !Яэ — соответственно энергия и частота Дебая. Эта частота, согласно модели Дебая, представляет собой максимальную частоту колебаний ре. шетки, т.е, максимальную частоту фонона. В этом случае уравнение (29.19) запншется в виде 1л1а'д ~ зев+а ~ 1= 1п 4 Л откуда для энергии связи Ь находим зд х О (29. 22) , !хо*э! Поскольку взаимодействие электронов, характеризуемое фактором Хбз, является очень слабым, в показателе экспоненты стоит очень большая положительная величина. Тогда для энергии связи имеем приближенно 4 Л = 2Епе !том! . (29.23) Таким образом энергия связи когерентного состояния — куперовской пары — пропорциональна энергии Дебая Еэ — — йсоэ.

Из вида выражения (29.23) следует, что оно не может быть представлено степенным рядом (величина показателя экспоненты намного больше единицы). Поэтому мы убеждаемся здесь в неприменимости метода теории возмущений. Итак, если между электронами, движущимися в кристаллической решетке, существуют силы притяжения, то электроны начинают переходить в когерентное состояние: они движутся попаРно, с пРотивоположно напРавленными импУльсами (й!41йе) и спинами (з!(,~йэ). Такое коррелированное движение очень важно еще и в том отношении, что полный спин пары равен нулю, т.

е. пара электронов подчиняется статистике Бозе — Эйнштейна — пара является бозе-квазичастицей. Поэтому все пары (их число не фиксировано) могут заходиться в одном и том же когерентном состоянии. В рассматриваемом примере мы не оговаривали специально вопроса о природе взаимодействия электронов Хо'. Как уже упоминалось, в решетке электроны взаимодействуют друг с другом посредством виртуальных квантов звукового поля кристал. ла — виртуальных продольных фононов. Это взаимодействие $ Ю] ЭЛЕМЕ!!ТЛРИАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ 489 имеет характер притяжения и может превышать кулоиовское отталкивание.

Такое взаимодействие электронов проявляется в узкой области квазиимпульсов в непосредственной близости к границе Ферми, ограниченной условием Отсюда с учетом «й+ айр 2пто гпо — =ЦР получаем (см. рис. 29.2) гоп ~й — й,! < —. и. (29. 24) Рис. 222.

Область эффективного взаимодействия электронов в процессе образованна пар. Так возникает механизм, создающий условие для образования куперовских пар. Движение электронов становится коррелированным, причем все пары движутся когерентно как бозе-квазичастицы. Энергия спаривания, вообще говоря, очень мала. Достаточно повысить температуру, и тепловое возбуждение ф может разрушить пару — разрушить когерентное состояние. Однако, для того чтобы разрушить пару, надо затратить энергию, не меньшую чем Л вЂ” ~~Ь энергия связи пары, Поэтому при низких температурах когерентное движение электронов становится устойчивым. Все пары электронов, подчиняющиеся статистике Бозе, находятся в одном и том же состоянии, образуя конденсат; пары при этом движутся когереитно. В последовательной микроскопической квантовой теории сверхпроводимости (см.