Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 79

28.5), то тогда для возбуждения тока, 469 ГГВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА т 28! гетические щели у которых достигают больших размеров. В самом деле, в чистом виде (без примесей) все тела с заполненной энергетической зоной при температуре абсолготного нуля являются изоляторами. Однако поскольку величина запрещенной зоны энергии (энергетической щели) у них различна, с возрастанием температуры обнаруживается также и различие в свойствах электропроводности. Так, в частности, у алмаза ширина энергетической щели достаточно большая (6 — 7 эВ), поэтому алмаз остается изолятором не только при абсолютном нуле, но и при комнатной температуре.

У германия заполненная и свободная зоны близко расположены друг к другу — энергетическая щель мала (0,72 эВ). Поэтому уже при комнатной темпе« ратуре в результате тепловых флуктуаций заметное число элек тронов перебрасывается в свободную (незаполненную) зону проводимости. Кристалл германия становится проводником. Таким образом, полупроводниками являются твердые тела, проводимость которых равна нулю при Т = О и заметно растет при увеличении температуры. Остановимся несколько подробнее на проводимости полупроводников. 1.

Собственная проводимость. Заметим, что при возбуждении электрона он перебрасывается из нижней зоны через энергетическую щель в более высоко- расположенную зону (см. рис. 28.6). Одновременно в заполнен. ооиапрободилоото Запоаазиииая зона Валолиаииаягзапзнтиоя] зола Рис. Яка. Схема електрониой и дырочкой проноднмооти полтпронодиика. ной зоне образуется пустое место — «дырка». Движение «дыр. ки» оказывается возможным интерпретировать как движение положительно заряженной частицы (Гейзенберг, 1931 г.).

Таким образом, проводимость чистого полупроводника (собственная проводимость) может рассматриваться как движение электронов в верхней зоне (электронная проводимость) и движение дырок в нижней почти заполненной зоне (дырочнвя лроводимость) о), *) Эта интерпретация имеет тесную аналогию с фоном Дирака (см.

й 22), ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 470 — Даиариыйуройепь паимеаи хуииеппуаеиыи ураЮепь прим Рис. 28.7. Схема примесной проводимости полупроводника. тел. Мы рассмотрели здесь только идеальные кристаллы. Де42екты решетки могут оказывать существенное влияние на электропроводность, однако эти н другие вопросы выходят за рамки нашего изложения, и мы отсылаем читателя к специальной литературе '). Заметим, что зоиная теория энергетического спектра твердых тел является приближенной моделью. Ряд выводов этой теории позволяет описать многие важные свойства твердого тела простым и наглядным способом. Однако такое описание нельзя *) См.

на стр. 4ов монографии ао теории твердого тела. 2, Примесная проводимость. Пока речь шла только о чистых полупроводниках. Следует заметить, что включение примесей в кристалл полупроводника может оказать существенное влияние на его пвоводимость. Так, например, включение одного атома бора на 10 атомов увеличивает прежнюю проводимость в 1000 раз. Атомы примеси могут отдавать свои электроны в свободную зону проводимости кристалла — так называемые донорные примеси. Тогда в процессе проводимости участвуют электроны, которые движутся в незаполненной зоне проводимости.

Такие электроны называются электронами проводимости, а полупроводники, легированные донорами, называются полупроеодникалеи п-типа (и — пена()че). Атомы примеси могут захватывать алек. троны из нижней заполненной зоны кристалла — так называемые акцепторные примеси. Тогда в почти заполненной нижней зоне образуется дырка, движение которой можно рассматривать как движение положительно заряженной частицы. Полупроводники, легированные акцепторами, обладают дырочной проводимостью и называются пол~проеодникгьии р-типа (р — роз(1!че) (см. рис. 28.?).

Таковы основные следствия зоиной теории энергетического спектра, которые обгпясияют проводимость твердых КВЛЦТОНЛЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА э е81 считать совершенным, ибо исходные положения теории являют- ся во многом идеализированными. ж) Движение электрона в зоне проводимости. Эффективная масса. Рассмотрим теперь движение электронов в зоне проводимости и введем понятие эффективной массы. В общем случае движения электронов в кристалле кинетическая и потенциальная энергии ведут себя довольно сложным образом. Полная энергия частицы поэтому не может быть выражена элементйрно так, как это было в случае свободного движешья. Рассмотрим для простоты одномерный кристалл и разложим энергию Е(й) в ряд Тейлора в окрестности точки йо. Е(й)=Е(йо)+(й — йо), + — (й — йо)' — в+ ...

(28.55) д'о З да ив Выберем далее точку Гео так, чтобы Она соответствовала экстремуму функции Е(я), и положим Е (й) = Е (йе) + —. (й — Фо)' + ..., (28.56) где э44ективная масса т' равна (28,57) Таким образом, в указанном приближении (приближение Блоха) электрон в полосе разрешенных значений энергии движется как частица с эффективной массой, определяемой соотношением (28.57). Легко заметить, что эффективная масса электрона отличается от истинной — это отличие касается и абсо.

лютной величины и знака. Действительно, пусть электрон движется в зоне проводимости, содержащей небольшое число частиц. Тогда электрон находится в состояниях, близких к дну зоны (т. е. к минимуму энерд'Е гии), и поэтому йо — точка минимума Е(й), а — „, > О. Следовательно, электронная проводимость характеризуется положитель. ной эффективной массой. Напротив, если в энергетической зоне много электронов (почти заполненная зона), то й, будет соответствовать максимуму энергии. При этом, очевидно, д'Е/дйв ( О и эффективная *) В случае трехмерного кристалла это выражение переходит в тенаор эффективвоа массы * „,, дтп / да да т твогия многих частиц !ч гц !72 масса отрицательна.

Таким образом, вблизи верхнего края зоны электрон ведет себя как частица с отрицательной эффективной массой !па ( О. Как уже было отмечено, в энергетических зонах, почти заполненных электронами, удобно учитывать не занятые состояния, а свободные, т. е. дырки. Отсутствие электрона в заполненной зоне эквивалентно появлению положительно заряженной частицы с эффективной массой т„"„„„= — т* > О. Поэтому движение электронов с отрицательнои эффективной массой соответствует так называемой до!рочной проводимости.

Это нетрудно проиллюстрировать также общей формулой, являющейся аналогом закова Ньютона классической механики. С помощью выражвнир (28.247 для скорости электрона и (28.27) для квазиимпульса йолучйем до 1 с! дЕ 1 даЕ ИА 1 даЕ ! — — — = — — — = — — Р— Р, (28.58) Е! а Е! ддй аа два т аа дяа и* где т' — эффективная масса. Если теперь рфчь идет о движении электрона под действием электромагнитных сил, то !о — сила Лоренца: (28.59) Тогда из (28.58)' следует, что электрон с отрицательной эффективной массой эквивалентен частице с положительным зарядом и положительной эффективной массой *). Как мы уже говорили, когда электрон диэлектрика забрасывается в зону проводимости, в нижней зоне остается незанятое состояние — дырка. Эта дырка, как было установлено, обладает положительным зарядом. Таким образом, возбужденный электрон должен испытывать взаимодействие с положительно заряженной дыркой. Можно представить себе электрон и дырку вращающимися друг относительно друга.

Такая связанная пара называется экситонол "). з) Колебания решетки. Фононы. В предыдущем изложении этого параграфа было рассмотрено движение электронов в периодическом поле. Эта задача относится к основам теории твердого тела, поскольку кристаллнческая структура является для него характерной и определяющей ряд важнейших свойств. Общие выводы рассмотренной нами теории были основаны на предположении о неподвижности атомов (нонов), составляющих решетку. В действительности такая постановка задачи является ') Ср.

с фоков Дарака, 4 22. '") См., напрныер, Давыдов А. С. Эксатоны.— Мэ Наука, !968. квлнтозля теогня твеРдого телА Ф гв] лтз (28.60) где а~ — базисные векторы решетки, а пю — целые числа. Обозна. чим через Ха,смещение атома от своего положения равновесия й и-й ячейке. Тогда энергия колебаний решетки может быть записана в виде Н ~' Х„'+ — '~Х~' ~Х~'С Х Х,+, (2861) где М вЂ” масса атома, а коэффициенты С удовлетворяют усло.

вию С =С (28.62) Второе слагаемое в равенстве (28.61) представляет собой по' тенциальную энергию взаимодействия атомов между собой. Его явный вид и условие (28.62), наложенное на коэффициенты С„„ определяются тем требованием, чтобы силы взаимодействия ме. жду' атомами зависели только от относительного расстояния между ячейками, в которых они расположены. Классическое уравнение движения для и-й ячейки, соответствующее энергии (28.61), с учетом условия (28.62) получается в виде МХ.= — ХС Х., (28.63) идеализацией, поскольку атомы (ионы) решетки подвержены колебаниям.

Эти колебания оказываются весьма существенными, так как они определяют такие физические свойства твердых тел, как например, теплоемкость, электрическое сопротивление и др. Рассмотрим движение решетки более подробно. При этом мы будем предполагать, что атомы совершают гармонические колебания относительно своих положений равновесия в узлах решетки.

Детальное описание двнжения атомов весьма затруднительно, так как требует знания особенностей структуры данного кристалла. Между тем колебания с малой частотой (длрнноволновые колебания) можно описать сравнительно прото. Прн этом используется следующая идеализация: длинноволновые колебания суть звуковые колебания твердого тела, которые представляют собой коллективные движения атомов твердого тела. Эти движения можно рассматривать, таким образом, как волны деформации (звуковые волны), распространяющиеся в твердом теле, не интересуясь деталями перемещения каждого атома в отдельности.