Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 80

Для простоты вначале будем предполагать, что возможны только одномерные колебания, причем в каждой ячейке нахо' дится один атом. Положение ячейки будем характеризовать век' тором (28.1) и = п,а1 + пзаз + пзпз тсогия многих члстип 1ч ги 474 Решение последнего уравнения представим в виде разложения в ряд Фурье Х == ) (Хче'ч" + Хче 'ч"), ,т (28.

64) где Ж вЂ” число ячеек в кристалле, а суммирование ограничено значениями волновых векторов д, лежащих внутри области — и ( да; ~ н (1 = 1, 2, 3), т. е. в пределах ячейки обратной решетки (28.15). Коэффициенты разложения Хд должны следующим образом зависеть от времени.

Х (б)=Х е ч, (28.65) тогда уравнение (28.63) удовлетворяет я, а для частот ач находим Мгэч = ~ С е'ч"'. (28.66) ч ю Обозначая результат преобразования Фурье для коэффициентов С через С, С.=ЕС (28.67) получим собственные. частоты колебаний гэ' =С /М. ч ч Преобразуем теперь выражение для энергии (28.61) с помощью разложения (28.64) н равенства (28.65). Для кинетической энергии, таким образом, получаем — МХ,',= ~~ — Ма' (Х Х*+ Х'Х вЂ” Х Х вЂ” Х*Х* ), (28.68) л причем здесь использовано соотношение Х'е~ мч+ч1ч )Убч ч, тде б ° =б Ь ° Ь ° — трехмерный символ Кронекера. Аналогично, для потенциальной энергии находим 1 —,',) ',)" с х.х., = и юв ~~' С (ХчХче 'ч'"+Х'Хче'ч +ХчХ че 'ч'"+Х~х'че'™).

ю ч (28.69) Используя далее уравнение для частот колебаний (28,66), потенциальную энергию можно записать в той же форме, что и кине- КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА з 2В1 тическую энергию (28.68), однако знаки перед последними дву- мя членами будут, согласно (28.69), положительными. В сумме получаем энергию колебаний О = Е (Х Х* + Х" Х ) Мезе. Перейдем теперь к квантованию колебаний кристалла, для чего классические смещения Х» и Х* следует заменить опера- торами Х» и Х» (ср. с квантованием электромагнитного поля, $ 9).

Квантовое уравнение движения с учетом явной зависимо- сти Х» от 1 (28.65) имеет вид их — »= — [Н Х]= — йоХ. Лс В Это уравнение будет удовлетворено, если операторы Х» и Х» подчинить следующим коммутационным соотношениям: [Х„Х,'1= — „"„б,, [Х„Х,[=[Х,', Х,") =6. Введем вместо Х и Х» новые операторы*) (28.70) для которых получим [а, а+1=6 Заметим, что точно таким же коммутационным соотношениям удовлетворяют операторы, введенные нами ранее (см. 5 7) при изучении гармонического осциллятора. Используя операторы а» и а+, гамильтониан системы с учетом условия (28.71) запишем в виде Н = Х лш (а+а + '/я). (28.72) Квадратичная комбинация а+а, как было показано в 5 7, представляет собой диагональный оператор, собственные значения которого — пелые числа: и» = О, 1, 2, ...

Поэтому энергия системы, т. е. собственное значение гамильтониана (28.72), оказывается равной Е = 2, (и»+ '/я) йаз . (28.73) *) Здесь и далее, а отличае от 5 9, операторы а и а+ удобнее обозначать прямым шрифтом, 4уб теогия многих члстиц нг ги (28.74) и) Взаимодействие электронов с фононами. Электропровод- ность. Электроны проводимости при своем движении воспринимают любые нарушения идеальной периодичности решетки. Поэтому колебания решетки, о которых идет речь в этом разделе, являются существенным дополнением общей картины движения электронов в кристалле. Взаимодействие электронов с колеблющимися атомами (ионами) решетки оказывается удобным рассматривать методом квантовой теории как взаимодействие с фононами. При этом имеет место известная аналогия такого рассмотрения с проблемой взаимодействия электронов с квантованным электромагнитным полем. На языке квантовой теории такое взаимодействие электронов с решеткой выражается в квантовых переходах электронов при поглощении и испускании фононов.

Такое взаимодействие электронов с фононами может '1 Энергия основного состояния ~/з 2 аы может быть заменена нулем, если перейти к другому началу отсчета энергии. ' Этому выражению можно дать следующую интерпретацию. Целые числа пе, стоящие под знаком суммы, можно понимать как числа элементарных возбуждений, илн квазичастиц, каждая нз которых обладает энергией дозе.

Эти квазичастиг)ы, называемые фононами, сопоставляются звуковым колебаниям кристалла. Сумма по всем значениям гу представляет колебательную энергию кристалла как полную энергию всех фононов, находящихся в состояниях с энергией Лгое н квазиимпульсом йд а). Прн этом оператор а+, увеличивающий число и на единицу (и — па+1) (5 7), можно интерпретировать как оператор рождения фононов, а оператор ае, уменьшающий число пе (и, — пе — 1) — как оператор уничтожения фононов.

Здесь мы рассмотрели частный случай одномерных колебаний при условии, что в каждой элементарной ячейке находится по одному атому. Точно так же проводится квантование и в общем случае, когда число атомов ячейки равно т, причем каждый из них может совершать колебания в трех взаимно перпендикулярных направлениях. В результате элементарным возбуждениям кроме квазиимпульса йиу мы должны приписать в соответствии с увеличившимся числом степеней свободы еще индексы а, указывающие тип колебания и изменяющиеся от 1 до Зн. Формула для гамильтониана будет иметь, очевидно, тот же вид, что и (28.72), с заменой гое-ьоте „а„- ае,„, и -ьп „причем суммирование следует производить не только по д, но также и по индексам а, а энергия системы будет равна Е = Х (пе.

о+ Чз) йгне, . е. о 477 квантовая теогия твврдого твлд приводить к ряду эффектов, из которых мы здесь остановимся на двух: рассеяние электронов на фононах (процесс, лежащий в основе явления электрического сопротивления) и сверхпроводимость. Очевидно, что в идеальной кристаллической решетке с покоящимися остовами средняя длина пробега электронов должна быть бесконечной.

Действительно, в модели Блоха состояние электрона задается функцией ф = (уа(г) е'"', причем скорость 1 электрона в этом состоянии определяется как в = — йтаба Е(Й). =в В случае отсутствия каких-либо возмущений электрон остается в этом состоянии без всяких изменений сколь угодно долго. Однако в обычных условиях (металл) имеются существенные отступления от идеальной решетки. В частности, решетка подвержена тепловым колебаниям, вследствие которых электроны могут испытывать рассеяние "), Участвуя в актах поглощения и испускания фононов, электрон меняет свой квазиимпульс, что приводит к хаотическому движению.

Это и обусловливает электрическое сопротивление металлов. Рассмотрим сейчас задачу о рассеянии электронов на продольных (акустнческих) колебаниях решетки. Решение этой задачи мы проведем методом теории возмущений, рассматривая в качестве энергии возмущения некоторый эффективный потенциал, включающий в себя квантованные амплитуды колебаний решетки. Пусть, например, имеется ионный кристалл, причем положительные и отрицательные ионы колеблются по периодическому закону с одинаковой амплитудой. Тогда смещение этих ионов в противоположных направлениях можно представить в виде следующих фурье-компонент: бг,"= е ( ' т Ьг = — е ( ' 7 (28.75) д Ф Здесь Ф вЂ” число ионов кристалла, 9 — амплитуда колебаний, д — волновой вектор. Пренебрегая далее разностью координат ионов, входящих в одну и ту же ячейку, можно записать выражение для диполь- ного момента системы двух ионов, рассчитанного на единицу объема сан = —" еще'- '>.

аао Ч/М (28.76) е) Мы не рассматриваем адесь дефекты решетки, также играющие существенную роль в пронессе рассеяния электронов. См. выше литературу ао финике твердого тела на стр. 4об. ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [ч иг 478 (гсключая которую с помощью уравнения Пуассона ЧЧ> = — 4пр, (28.77) (гаходим выражение для электростатического потенциала ф 4па!Тат впхоо 74М го; им (28.78) Ч а,ЯIМ д Следовательно, дополнительная энергия электрон-фононного взаимодействия может быть записана в виде вп хогг Ь~Е ген У(г) = — еФ= ~ — е'М' олг= ~ 0 — ецо' ", (28.79) =а.,ГН ~; ег ' — 2- о,ГЯ где 8н2его (7 о Оооч' (28.80) Полученный здесь вывод, основанный на рассуждении применительно к ионным кристаллам, может быть обобщен введением так называемого потенциала деформации, характеризующего электрон-фононное взаимодействие )7(„) = T Р '~~ е < — о ~(л (28,8!) В дальнейшем мы рассматриваем только продольные колебания решетки (звуковые колебания), для которых д и ое параллельны.

Поэтому р (е) ~о,го о емоо-оО (28.82) В этом выражении теперь необходимо заменить амплитуду гармонических колебаний Я соответствующим выражением через операторы рождения и уничтожения фононов (28.70) (4 = г~/ —, (а + а+). 172 2Мооо (28.83) Напомним, что здесь а — оператор уничтожения, а а+— оператор рождения фонона с частотой ото, М вЂ” масса колеблющегося атома (иона). Вдесь ого — объем ячейки, Еео — заряд иона, У' — вектор поляривтации (в соответствии с определением, известным в электродинамике) .