Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 81

При этом возникает плотность локального заряда р: б!ч<У'= — р, 479 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА $28! Строго говоря, для состояния электронов в кристалле в невозмущенной задаче мы должны были бы в качестве волновых функций взять функции Блоха. Однако с хорошим приближе нием для движения электронов в зоне проводимости можно взять плоские волны (28.88). Тогда для матричных элементов в (28.87) получаем П2 (й' / 2го»погл ! й)» ~ ег гл+»-лэг Г(зх» б +», (23 39) Таким образом, процесс поглощения фонона происходит при соблюдении законов сохранения энергии и импульса: е(й') =е(й) + й»2», й'=й+ д.

(28.90) (28.91) Рассмотрим далее поглощение фононов методом теории воз. мущений и с этой целью запишем соответствующую поглощению часть оператора электрон-фононного взаимодействия (Гпогл( ) л,',7погл Тгпогл Р „" гча г»~-Рл»2 (23 34) г =~ » г» = "г,/2ЛМо» » Обозначая теперь Р'»=Ггпу( —," 7 (28.85) запишем окончательное выражение для энергии возмущения, вы. деляя не зависящую от времени часть гпогл )70 погл -Рл»4 )гл погл г г»г (28 38) У ~Гм ,Воспользуемся нестационарной теорией возмущений. В соответствии с формулами 5 8, п.

ж), аналогично тому, как это было сделано в теории излучения (9 9, и. в)), для вероятности кван. товых переходов электрона из состояния й в состояние й' с по. глощением фононов получаем следующее выражение: пгл, » = — „' ~(й' ! К~ "~"'! й) ~~Ь(е(й') — е(й) — 34е»). (23,37) впал Здесь и» вЂ” число фононов с энергией йег»; е(й)= — — энер гия электрона, свободно перемещающегося в зоне проводимости, а матричный элемент оператора Р»"'"" должен быть рассчитан с помощью электронных волновых функций свободного движения гр (г) = =е'"'. /у и (28.88) теОРия мнОГих члстиц !ч гп 480 Поэтому окончательно для вероятности перехода, связанного с поглощением фононов, имеем выражение 2л )!с гасе"" = — ~ пеЬ (е (Й + д) — е (Й) — Йвч). (28.92) Мы рассмотрели сейчас процесс поглощения электроном фонона с импульсом Йд, т. е. квантовый переход Й' = Й + 4!.

Очевидно, что тому же самому переходу Й' = Й+д отвечает процесс испускания фонона с импульсом — Йд (при этом Й' = Й вЂ” ( — д) = = Й+ е)). Расчет, аналогичный проведенному, приведет нас к формуле ц,исп ~ (и +1) Ь(в(Й+д) — е(Й)+ Йв ). (28.93) 2п [!с ]2 Полную вероятность такого квантового перехода можно получить, несколько упростив результаты. Для этого заметим, что энергия фонона Йсэч значительно меньше, чем энергия электрона в(Й). Действительно, полагая Йач = Йдо„ где ое — скорость звуае "е ка, имеем также, что энергия электрона равна — = — ' ° Но скорость электронов о, намного больше скорости звука. Поэтому в дальнейших вычислениях мы пренебрегаем членами Йеч, входящими в аргумент дельта-функции, и, объединяя (28.93) и (28.92), получаем 4л 1!с гвл, э+я — — — „— ляб[е(Й+ д) — в(Й)] = 2п 1!ел = — — е ЙГЯЯЬ [е (Й + и) — е (Й)].

(28.94) а л!мс', Заметим, что, полагая число фононов достаточно большим пч >) 1, мы отбросили в (28.94) единицу по сравнению с пч. Вообще говоря, как это видно нз (28.93), процесс рассеяния может происходить даже, если в начальном состоянии фононы отсутствуют. Это следует из того, что множитель пч+ 1 никогда не обращается в нуль. Среднее число фононов в зависимости от температуры решетки удобно выразить с помощью функции распределения Бозе — Эйнштейна ! е = елсе41лвг — ! Итак, вероятность квантовых переходов электрона Й -ь Й' = = Й+ д при рассеянии имеет следующее выражение: 2п 0еасее ! га*,э+Я= —, лв ~е г Ь[в(Й+и) е(Й)] (28.96) а 22] квантовая теория твврдого талл 46] При вычислении электрического сопротивления металлов обычно интересуются так называемой скоростью хаотизации импульса — = у (й — й)н(»,» = — —, (1 (») <а) ш Л т (28.97) где т — параметр, называемый временем релаксации, Смысл этой величины непосредственно вытекает из определения, поскольку решением (28.97) является (й(1)) = й(0) и-цт (28.98) Заметим, что проводимость металла о связана со временем релаксации т соотношением ") ]те от о= — ' (28.99) где Уе — число свободных электронов в единице объема.

Итак, для нахождения проводимости необходимо найти сумму (28.97), имея в виду, что й' = й+ (7. Вводя далее угол О между векторами й и (7, имеем с помошью (28.97) — = — т ш»,»+и — созО. Л и (28. 100) Рассмотрим два предельных случая. 1.

Случай в ы со к их температур. В этом случае йвТ )) йота, и тогда из (28.95) получаем — Авт пи=— аюи (28.101) (28,102) получаем 2и и —,-- („,)з з „Ц пц ~ ]((р ~ з]п О((ОХ о о о Г д тп Овавт Г а' х 1 —  — †, е 1 в (еее в.~- е'(1 1. (28.(ев( а *) Си. литературу, иитироваииую иа стр. 456. ]6 А. А. соколов и лр. Подставляя это выражение в формулу (28.96) и переходя от суммы (28.100) по д к интегралу тяогия многих частиц !ч.

ш 482 за 1 цегг~йвТ лг (!з Тг~йвтглй г 4пяМее йза л а М4 Как следует из этой формулы, время релаксации зависит от энергии рассеиваемого электрона, поскольку входит множитель й, пропорциональный импульсу электрона И. Далее, учитывая (28.99), можно утверждать, что для металлов при высокой температуре сопротивление линейно зависит от Т. 2. Случай низких температур. В этом случае необходимо использовать полный вид распределения Бозе — Эйнштейна (28.96). Тогда интегрирование по углу 0 в (28.103) снимается, а интеграл по д получает следующий вид: 1 Йе ) и! (йвт) ( х г)х 4л Й Мзззйз (Ьее)4 3 ех— (28.106) ! О где аме йчео х= — =— ант унт (28.!06) причем верхний предел с учетом экспоненты под знаком интеграла при ЙТ(<йсее можно положить равным ее *).

Характерная зависимость этого результата от температуры наблюдалась при низких температурах для многих металлов. Не вдаваясь в более детальное рассмотрение проблемы электрического сопротивления твердых тел, заметим еще раз, что физической причиной этого является рассеяние электронов проводимости при их взаимодействии с фононами, т. е.

с акустическими колебаниями решетки. ") Интеграл, входящий в равенство (28305), равен 40 — 1= 24ь(6), з где С(5) ее 1,037 — значение Ь-функции Римана й(х) при х 5, 1т!ы здесь сделали заменУ, полагаЯ !ее = дое, где ое — скоРость звука. Проводя интегрирование по углу 0 с помощью дельта- функции и восстанавливая правильный предел интеграла по с(д по обычным правилам интегрирования дельта-функций, полу- чаем %ел ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ й ЕВ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ а) Сеерхпроеодящее состояние.

Как ни парадоксально на первый взгляд, но оказывается, что и явление сверхпроводимости тоже вызвано взаимодействием электронов с фононами. Взаимодействие электронов с колебаниями решетки может, таким образом, приводить и к рассеянию, обусловливая электрическое сопротивление, и к сверхпроводимости. Действительно интересно заметить, что хорошие проводники (Аа, Ап, Сп) не переходят в сверхпроводящее состояние. Вместе с тем сильное электронфононное взаимодействие (РЬ, Вп), приводящее к большому сопротивлению, способствует также и образованию сверхпроводящего состояния. Как известно, явление сверхпроводимости было экспериментально обнаружено задолго до создания микроскопической теории этого явления.

Действительно, еще в 1911 году было обнаружено, что сопротивление некоторых металлов при низкой температуре (Т -Р О) падает до неизмеримо малой величины (Камерлинг-Оннес). В 1933 году было установлено также на опыте, что сверхпроводяшее тело выталкивает приложенное извне магнитное поле, — явление, получившее название эффекта Мейсснера (Мейсснер, 1933 г.). Развитие теории началось значительно позже. Разработка феноменологической теории сверхпроводимости Ландау — Гинзбурга в 1950 г. явилась важным этапом, поскольку эта теория одержала ряд успехов и оказалась хорошим аппаратом в приложениях.

Однако микроскопический подход к явлению сверхпроводимости долгое время не удавался. В 1950 г. было высказано предположение о том, что косвенное взаимодействие электронов посредством фононов приводит к их особому притяжению (Фрелих, 1950 г.). И только более чем через 40 лет после экспериментального открытия явление сверхпроводимости получило теоретическое объяснение в рамках микроскопической теории. Это было сделано трудами Вардина, Купера и Шриффера (США), а также Н. Н. Богол1обова, давшего наиболее полную теорию этого явления.

Микроскопическая теория сверхпроводимости явилась очень большим успехом квантовой теории. Развитие теории сверхпроводимости продолжается до настоящего времени. Надо заметить, что математический аппарат теории обладает известной сложностью Дело не только в том, что последовательное описание электрон-электронного взаимодействия посред. ством переноса его фононами требует квантования не только звукового поля, ио и полн электронов и позитронов. Задача о расчете электрон-электронного взаимодействия оказывается сложной еще и потому, что обычный метод теории возмущений ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 1ч.

и! для электрон-фононного взаимодействия оказывается неприменимыы и. Не имея здесь возможности дать полное решение задачи *), постараемся передать физический смысл теории. Одним из решающих моментов всей теории является электрон-фононное взаимодействие, или обмен виртуальными фоно- нами между парой электронов. Физически это означает, что один электрон испытывает на себе деформацию решетки, вызываемую другим электроном. При этом оказывается (Купер, 1956 г.), что непускание электроном с импульсом йй фонона 11 и поглощение этого фонона электроном с импульсом пй' обусловливает взаимодействие электронов, имеющее характер притяжения.

Образуется связанное состояние электронов — спаривание электронов (куперовские лары). Важно отметить, что наименьшая энергия такого спаривания достигается при условии противоположности импульсов и спиноз обонх электронов. Характер движения электронов в этих условиях меняется: онн движутся коррелированно, т. е.