Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 78

В соответствии с общими положениями теории возмущений ири наличии вырождения (см. $8, п. д) ) в первом приближении получаем Е(й) =е(й):Ь у'~ 'и'А, А о Г =е(/г) ~ ~ )т~„„м ~з, (28.42) а ' а причем соответственно теОРия мгюгих частиц )ч ит Волновая функция прн этом имеет вид / гпшх чпшх Х чрй(х)==~а ' Т-е й (28.45) Типичный вид зависимости Е(й) для случая почти свободных электронов представлен на рис.

28.1. Энергия теперь не является непрерывной функцией квазиимпульса Ьй. Вместо этого энергия расегаа г лала о щи — падается на зоны или полосы, претерпевая разрывы вблизи определенных значений й (на границах зон Бриллюэна). В энергетическом спектре возникают области запрещенных значений энергии — энергетические щели. В зонах разрешен.

ных значений энергия по-прежнему остается непрерывной функцией й. ак ат а гэ лл * Заметим, что энергетические зо- ны являются следствием периоднчеа~р5оя хэлл ской структуры кристалла э) н вмеНЛислюэгги сте с тем они представляют собою Р .МЛ. З .«. ° р, л фУНДаМЕНтаЛЬНЫЕ ХаРаКтЕРИСтИКИ случая почти свобохиых электронов. заштрихованы области вапрещеииык электРОИИОЙ структуры твердого теэиачеаий энергий. ла. Расчет энергетических зон в ка- ждом конкретном случае — достаточно сложная и трудоемкая задача.

Мы здесь ограничимся лишь еще одним примером — так называемой задачей Кронига и Пенни. д) Задача Кроника и Пенни. Один из простейших примеров одномерного периодического поля, рассмотренный Кронигом и Пенни (1931 г.), допускает точное решениезадачи. Несмотря на схематичность модели кристалла, этот пример заслуживает внимания, ибо он наглядно показывает природу возникновения ванной структуры энергетического спектра.

Рассмотрим движение электрона в одномерном периодическом поле, изображенном на рис. 28.2. Решения уравнения Шредингера выберем в виде чР (х) Дачах 1 Ве-тих а о (28 46) чузтшон ") Заметим, что вахсиые зонные соотношения й' — й=С, й'э йэ астре. чаются в теории лифракпии рентгеновских лучей на кристаллах (так называемое уравнение Лауэ). Это указывает на тесную связь появления зон энергии с волновыми свойствами электронов, КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА — в областях, где потенциальная энергия равна нулю, и ф (х) =Сева+ Ве-Ви И аг "'е( е 1 (28,47) а — в области барьера. Условия сшивания функции и ее производной на границах — Ь, О, а — Ь запишем в виде ерь (О) = ег, (О), ег, (О) = ер, (О), (28.481 а также е)Ф, ( — Ь) = е-гхаф, (а — Ь), фг ( 6) е-гла,Р~ („6) (28.49) где Х вЂ” действительная величина. В последних соотношениях мы воспользовались общими свойствами волновых функций электрона в периодическом поле, подчииягошихся закону трансляции (см.

(28.9) ) ЬР (х + а) еграг(г(х) Подставляя решения уравнения Шредингера (28.46) и (28.47) в условия сшивания (28.48) и (28,49), получаем уравнения для определения неизвестных постоян- ныхА, В, С,В, Х: Кж> С+В=А+В, С вЂ” В=а — (А — В), Ь Гге Се-зь + Вевь е-!Аа (Аега<а-и + Ве-га (а-и + ! Везь ГГ гз-Ь гь л», Ш -Гха г л га (а-ьг ге гага мг Рие. М.Р. Погеиииел Кроииге пе ии. (28.50) Комбинируя эти равенства, нетрудно получить (А+ В) [с)грЬ вЂ” е-'А'сова(а — Ь)) = = Г (А — В) ~ — з)г 86 + е-" Е1п а (а — Ь)1, (А + В) г( з(т 86 — —" е "" з1п а (а — Ь) 1 = р = ((А — В) ( — с)г 86 — ~ е-'А' соз а (а — Ь)1.

Эти уравнения совместны, если определитель равен нулю, т. е. если соз )ьа = ~ " з11 РЬ з!и а(а — Ь) + сЫЗЬ сова(а — Ь). (28.52) твория многих члстиц Отсюда графическим методом можно определить энергетический спектр, имея в виду, что правая часть равенства по модулю не должна превышать значение, равное единице. С целью упрощения задачи и большей наглядности ее решения перейдем в выражении для потенциальной функции (рис.

28.2) к цепочке дельта-функций, полагая, что Ь-мй, Уо — и оо. Но при этом предельном переходе величина — аЬ=у, где~'о (28.53) пропорциональная площади внутри барьера, остается конечной. Тогда, учитывая, что в этом приближении 811 рЬ вЂ” Ьр, с(1 рЬ = 1, вместо (28.52) получаем соз йа = у игн йп + соз аа. (28.54) Поскольку Х вЂ” действительная величина, это уравнение удовлетворяется в случае, если правая его часть изменяется в пределах от — 1 до +1 (см.

рис. 28.3). ' ыэ Таким образом„и в этом примере энергетический спектр обнаруживает зонную структуру — чередующиеся полосы разрешенных и запрещенных значений энергии. В рассмотренных двух частных случаях движения электрона в периодическом поле вскрывается общая характерная особенность спектра энергии: чередование зон (или полос) разрешен. ных и запрещенных значений.

В общем случае, независимо от конкретной модели периодического поля, этот вывод остается справедливым. Однако структура зон энергии может быть более сложной и, в частности, зоны разрешенных значений иногда могут перекрываться между собою. Рис. 88.8.

График допустимых значений инертна и модели Кроннга-Пении. Донуетимые аначеиии инертна 1аа) показаны мирной чертой. ЦВЛ!!ТОВЛЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 467 % тв] Следует заметить, что расчет зон для конкретных кристаллов является сложной и трудоемкой задачей *). Мы рассмотрели некоторые общие вопросы приложений квантовой механики к движению электронов в кристалле. Несмотря на ряд идеализаций, допущенных нами при решении этой задачи, выводы, особенно касающиеся структуры энергетического спектра, имеют в физике твердого тела важное значение. Одним из наиболее существенных достижений теории явилось объяснение ряда закономерностей при изучении электропроводности твердых тел.

е) Свойства электропроводносги твердых тел с точки зрения ванной структуры спектра энергии. Основываясь на зонной структуре энергетического спектра твердых тел, попытаемся классифицировать нх электропроводяшие свойства в зависимости от характера заполнения этих зон электронами. Будем предполагать, так же как и прн рассмотрении атомов, что в нормальном состоянии твердого тела электроны стремятся занять наннизшее энергетическое состояние. Напомним (см. (5.78)), что при температуре абсолютного нуля электроны заполняют все энергетические уровни вплоть до граничного верхнего уровня Ферми.

Таким образом, в основном состоянии кристалла будут заняты все состояния внутри некоторой поверхности в пространстве волновых векторов (нмпульсов), все же состояния вне этой поверхности оказываются свободными. Такая поверхность, называется поверхностью Ферлш. Соответствующая энергия ЕР, отсчитанная от дна зоны, называется энергией Ферми. Заметим, что в случае почти свободных электронов, энергия которых квадратично зависит от импульса (см.

(28.40)), поверхность Ферми представляет собой сферу Ь'й' ~ 2тоЕр (сгйера Ферми). Структура зон энергии твердого тела и характер их заполнения (положение уровня Ферми) позволяют разделить твердые тела по характеру их проводимости. 1. Проводники. Характерной чертой проводников (металлов) является сушествование в основном состоянии частично заполненных зон разрешенных значений энергии (рис.

28.4)**). Действительно, электроны в твердом теле можно себе представить разбитыми на пары, в каждой из которых электроны движутся в противоположных направлениях с одинаковой ско- ") См. специальную литературу, цитированную на стр. 456. *') Поскольку электроны обладают спином '/а (см, й !6), то в соответствии с прннципом Паули (см.

5 24) в каждом обозначенном на рис. 28.4 со. стоннин могут находиться два электрона, отличающихся проекцией спина. теория многих чдстиц !Ч. И1 Рнс. 22лк Частично наполненная энергети- ческая вона, характерная для металла. Вона праВаеанааанг Ваарец галан дан* Вапааненная ГваненагнаЯ . нала Рне. 2В6. Заполнение энергетических вон. характерное лля диэлектриков. т.е.

преодоления этой щели, потребуется очень сильное электрическое поле и большие затраты энергии. Поэтому твердое тело с такими свойствами является изолятором, хотя его электроны и движутся в кристаллической решетке. Наличие в основном состоянии целиком заполненных нижних зон и пустых более высоколежащих зон, отделенных энергетическими щелями, типично и для полупроводников. Изоляторы суть полупроводники, энер- ростью. Тогда средний ток оказывается равным нулю, поскольку тони, текущие в различных направлениях, взаимно компенсируются. В случае не полностью заполненной зоны такое статистическое равновесие может быть легко нарушено, напри- мер, наложением слабого элек- Е тростатического поля, Тогда электрон переходит на близлежащий свободный уровень, и средняя скорость электронов становится отличной от нуля— ре появляется ток.

Поскольку ) дтнлагвге уровни энергии вблизи граниртгртаенннн цы Ферми располагаются близко друг к другу, возникновение тока может произойти при наложении весьма слабого поля. Такая картина заполнения энергетических уровней свойственна металлам. Положение меняется, если основная зона, над которой имеется энергетическая щель, заполнена полностью. 2. Диэлектрики. В случае, если основная зона (валентная зона) в твердом теле заполнена полностью, а свободные состояния последующей зоны отделены энергетической щелью (зоной запрещенных значений энергии) (см. рис.