Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 84

Пусть электрон находится в состояние с квазиимпульсом Ьй, т. е. Е = Е(й). Тогда величину тока туннелирования мы можем записать в виде Цй)=0(й) а — т=о(й) е . (29.38) к, О = ехр — — „е1 2п49 ()У вЂ” Е) 4(х (29.40) 2 Г х, содержит потенциал Ф вЂ” малую величину — и является достаточно плавной функцией, на интервале интегрирования мы можем считать ал приближенно постоянной величиной и вынести ее Здесь 0(А) — коэффициент прозрачности барьера, е — заряд дЕ электрона, Š— толщина металла о = — — скорость электрона. дага Тогда полный ток У будет равен ер — — — () — „= — „„~ ()к е0(й) дЕ 2е Г дЕ е (29.39) где суммирование по спину з дает коэффициент 2, а от суммы по й мы сделали переход к интегралу.

Поскольку, далее, коэффициент прозрачности (см. (5.56) ) элвмвнтлрнля твория свврхпроводнмости $221 499 из-под знака интеграла: 0 (Е) = 0(Ер) = О. При этом = — е)еФ = сопз1 Ф = —, на д' (29.41) (29.42) где )г = = — электрическое сопротивление. па е0 Таким образом, туннелирование в обычных металлах приводит к электрическому току, величина которого пропорциональна приложенной разности потенциалов, т. е. в этом случае справедлив закон Ома. Теперь рассмотрим туннелирование в сверх- проводниках. Это является новым примером про- хождения частиц сквозь потенциальный барьер (в данном случае спаренных электронов). Прп сближении двух сверхпроводников на близкое расстояние (рис.

29.5) реализуются особые кван- д гп дГ фг = ~ гфг+ нфг д й дг ф =)72фа+йф1. (29.43) Здесь рассматривается основное состояние, поэтому кинетическая энергия может быть опушена ввиду малости импульсов. В этом выражении )уг и )72 — потенцлальные энергии соответственно для первого и второго сверхпроводников, Й вЂ” некоторая константа, характеризующая переход, т. е. определяющая связь сверхпроводников друг с другом. В точной микроскопической теории коэффициент й получает полную расшифровку.

Здесь же ') Фебнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. — Мл Мир, 1992, гл. 19. "*) Мы отсылаем читателя по рассматриваемой проблеме к монографии: Солимар Л. Туннельный эффект в сверхпроволниках и его применение. — М.: Мир, 1974. тОВЫЕ ПЕрЕХОдЫ ДжОЗЕфСОНа С НЕОжыдаННЫМИ, рн,. 22,2, С„,„, на первый взгляд, свойствами. туннельного эффекта е ееерхнро. Дадим сейчас приближенную качественную еонннках. теорию этого явления. При этом мы будем следовать предложенному Фейнманом методу'), который благодаря своей наглядности и простоте находит сейчас ряд применений е'). Будем описывать поведение спаренных электронов в сверхпроводящем состоянии с помощью сверхпроводящей функции (29.27). Тогда система уравнений Шредингера для волновых функций ф~ и фз первого и второго сверхпроводников должна иметь вид ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 1Ч. ГП мы его вводим чисто феноменологически. Пусть к сверхпровод- никам приложена разность потенциалов, равная У, — Уо — — дУ, (29.44) где е = 2е — заряд пары, У вЂ” разность потенциалов батареи.

Положим для удобства расчета У1 = дУ/2, Уо = — Г/У/2, тогда система уравнений Шредингера будет иметь вид ГйФ = — фФ+ йфо, оУ Гйф =- 2'ф.+йф ЯУ (29А5) Тогда получаем систему четырех уравнений, связывающих р и ф, Р, = — т/ру, ЕГпа, ф, = — —,т/ — ' соза — —, (29.47) а '' ' ' а'~/р, 2а' 2о ! — .. а /р~ дУ Р = — —.УР Р з(па, фо= — —.А/ — сова+†о= а 712 = а 2а ' где и = фо — фь Из этих уравнений прежде всего следует, что Р|+ ро = О, т. е.

один сверхпроводник теряет заряд с той же скоростью, с которой другой сверхпроводник его приобретает. Поскольку любая убыль заряда восстанавливается батареей — источником напряжения, содержащийся в общей цепи заряд в среднем остается постоянным, и мы можем положить (29.48) Р1 Рг=ро Таким образом, между сверхпроводниками начинает течь ток / = Р, = — Р, = — Ро зш а = /о з)п а.

2Ф о (29.49) Заметим, что в строгой теории /о — ОЛ, где Ь вЂ” ширина энергетической щели сверхпроводника. Вторая пара уравнений (29.47) при этих предположениях дает фо ф1=5= еУ (29.50) где учтено, что ро — — р, =ро, и поэтому ! а=ао+ ~ ( УГГГ. а о (29.51) Перейдем далее к выражению для сверхпроводящей функции (29.27) ф(г Г)= т/Р е' Р=Р(г Г) ф=ф(г, Г). (29.46) э ея элвмвнтлонхя твогия сввгхпооводимости У равнения У=Уо з(па, (29.52) а=ао+ — „' ~ У У! о описывают эффект туннелирования в сверхпроводниках (эффект Джозефсона) .

Рассмотрим следствия этих уравнений. !. Стационарный эффект Джозефсона. Пусть к системе сверхпроводннков вообще не приложена разность потенциалов, т. е. У = О. В этом случае тем не менее ток отличен от нуля: Уо ~ ~У ак Уо. (29.53) причем величина его определяется разностью фаз оро — орь Отметим, что фаза ф, входящая в сверхпроводящую функцию (29.27), является наблюдаемой величиной, поскольку сама функ-.

ция отнесена к когерентному сверхпроводящему состоянию. Полученный нами вывод У = О, У Ф О находится в резкой противоПоложности обычным законам туннелирования (см. (29.42)). 2. Нестационарный эффект Джозефсона. Пусть теперь к системе сверхпроводников приложена постоянная разность потенциалов У = Уо Тогда из (29.52) мы получаем, что а=ао+ —, ~ Уе(!=ао+ — „' (, о (29.54) тогда ток имеет вид У =/о з(па=Уоз(п (ао+ — ). оУоо 1 а (29.55) У= Уо+ о сов(И+9). (29.56) !7 А. А.

Соколов в во. 2еУо Заметим, что а~= — является большой величиной (частота а Джозефсона), поэтому (и этот вывод является наиболее неожиданным) при постоянной разности потенциалов на контакте двух сверхпроводников должен возникать быстро осциллирующнй во 2еУо времени ток с частотой оое = — „. При усреднении по времени ток обращается в нуль. 3. Резонансный эффект.

Рассмотрим далее случай приложенного к сверхпроводнику переменного напряжения ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ гч. Ш 498 Тогда а=ос+ В ~ Уотс=по+в,5+ АП з!п ьог' (29.57) о (для упрощения здесь мы положили 0 = О). При этом ток тун. нелировання равен 7=7оз(п)(ао+вт5+ чо з(п ос5~. ви С целью анализа этого выражения выберем и «)та тогда приближенно получим, что з5п ~ао+ вт5+ ~ зш (И1 ж з!п (ао+ вт5) + АО (29.50) ++ з(п ос5 соз (ао+ вт5) + ..., (29.59) Прн наблюдении среднего по времени тока первый член аз-за быстрых осцилляций исчезает, а второй дает вклад, если только выполняется условие резонанса Я = вь Итак, мы рассмотрели туннельные переходы спаренных электронов в сверхпроводниках.

Эффект Джозефсона явился не только интересным следствием общей теории сверхпроводящего состояния, но и важным достижением теории для целей практического приложения: в проблемах квантовой генерации электромагнитных волн, в создании сверхпроводящих туппельных диодов для СВЧ и инфракрасного диапазонов, ячеек памяти для ЭВМ и других прикладных задач. По этим вопросам мы отсылаем читателя к специальной литературе'). й зв динжение электРОнА В $50стОяниом И ОДНОРОДНОМ МАГНИ1ИОМ ПОЛЕ В ряде задач современной теории взаимодействия частиц и полей оказывается важным располагать точнымн решеяиямн уравнения Дирака, описывающими квантовые состояния фер миона во внешнем поле. С помощью таких решений можно исследовать поведение частиц в условиях больших энергий, исследовать нелинейные эффекты в задаче об излучении, рассмотреть' взаимодействие частяцы с мощными электромагнитными волнами (с лазерными пучками) и др.

При этом во всех этих задачах ) См. ссылку но стр. 49б. и ток получает следующее выражение: У =Ус(з!п(по+ вт5) + —,соз(ао+ вт5) з!и ЙЕ~. (2960) 4эз движение элгктгонх в млгннтном поля частица полагается не свободной, электромагнитное поле входит в точное описание квантового состояния.' Последующие э(апы решения задачи о взаимодействии такой частицы с фотонами базируются на точном знании волновой функции с учетом внешних полей (представленпе Фаррн). а) Волновая функция. Начнем с того, что рассмотрим решение уравнения Дирака для релятивистского электрона, движущегося в постоянном н однородном магнитном поле, направленном по осн г цилиндрической системы координат (г, р, г).

За. метим, что цилиндрические координаты наиболее естественно связаны с характером движения электрона. В соответствии с этим вектор-потенциал А задачи выберем в виде А = — — уЖ, А = — хМ. А =О. 1 ! х — з у з а— (30. 1) не имеет явной зависимости от времени. Положим ф(г, 1)=е " ф(г), (ЗОА) где в = +1 характеризует знак энергии, а Е = се( ) Π— ее абсолютное зяачение. Для компоненты волновой функции ф(г) при этом мы получаем систему уравнений (еЕ г гилас ) фь з — с (Є— 1Рг) $4, з — сР фн ~ = О, (еЕ т гпэс ) ч"к 4 — с(Р.„+1Ре) фз, ~ + сР ф4, э =О, (30.5) в которой переменные г, ~р, г разделяются (в этом проявляется простота задачи, связанная с однородностью магнитного поля). Положим далее ф(У)=ф(1 йз)) ° (30.6) где функции е мм е с (ю-1/3) е ф(1. йз)= ~~ ортонормированы: ~ Ф~ ~ ~(~ф'(1', й,')ф(1, й,)=б„,,б„в в -тгз (30.7) (30.8) Эта величина не зависит от времени, поэтому уравнение Дирака (1й+', — Н) ф=О (30, 2) допускает переход к стационарной задаче, нбо гамильтониан Н = с (аР) + рупчс', Р = р+ —" А — 1ЗЧ + —" А (30.3) !ч.

гп теория многих чхстиц воо 1|е гзе его 1зе аогз аегз (30.9) Прн переходе к цилиндрической системе координат (х = г соз ар, у = г ейп ар, г) оператор кинетического импульса преобразуется к виду Р„*аР = — Ие~'о '( — ~ — — =г уг1. г д а д е 1.

дг г д<р Р= — И вЂ”, у= —. д еоЖ дз' 2е» ' (30.10) Далее удобно ввести новую безразмерную переменную р = угз, тогда система уравнений для определения компонент / получает следуаощий вид: (а~( ~ йо) 7ь з+ ЖА з — йз/з, а = О, (аК-а- йо)/з,а+ Жааз.а+Ма з=О (30.11) Здесь верхние знаки относятся к компонентам волновой функ- ции с первым индексом, а нижние — к компонентам со вторым индексом. Операторы и, и абаз равны Йа=1/ур ~2 д — 1 — — 1 Йз= у/ур ~2 — +1+ — ~. (30.12) Квадрируя (30.1!), т.е..исключая последовательно компоненты волновой функции (ь з или /з, а, получим систему уравнений второго порядка да р (! — 1)а а р — + — +1 — — — —— 3 1а.з=О, ьр р я 4 ар 1 (3013 ааа аа р — + — + х — — — — — — 1!а,з — — О, др' др а о ар3 причем 2 3 3 )о= ео ез Решения этих двух уравнений вполне аналогичны.