Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Здесь Фз 2паз/а'., аз = О, + 1, а-2, ..., ! = О, ~ь 1, а 2, ...— орбитальное число, характеризующее проекцию полного момента на ось г (т. е. на направление магнитного поля) (см. ниже (30.29) ). Значение матрицы ! радиальной части функции удобно искать в виде движение электооил в мкгнитном поле Рассмотрим второе уравнение из системы (30.13). Учитывая асимптотическое поведение волновой функции в начале координат (30.14) РУУз и на бесконечности (р -~ оо) ~-+) =е "', (ЗО. 15) сделаем переход к волновой функции и(р) У = Уо( и = е о"Р'"и (Р). (30.16) Тогда решение дифференциального уравнении для и(р) ри" + (! + 1 — р) и' + (Х вЂ” !) и = О, как известно, есть вырожденная гипергеометрическая функция (см.
$ !2) и=Ф( — (Х вЂ” !), !+ 1, р). (ЗО. 17) Для убывающих при р-ь оо решений необходим обрыв ряда гипергеометрической функции по аналогии с задачей о водородоподобном атоме (см. 5 !3). Это реализуется, если Х вЂ” 1= э, где э = О, 1, 2, ... — радиальное квантовое число.
Поэтому параметр Х приобретает целочисленные значения Х = э + ! = а = = О, 1, 2, ..., где и — главное или энергетическое число. С помощью (30.13) находим спектр энергии К = 1/Ао+ йз+ 4ун, (30. 18) где квантовое число п соответствует периодическому движению электрона в перпендикулярной к магнитному полю плоскости (уровни Ландау, см.
$ 16), а Ьйз — собственное значение оператора проекции импульса иа направление магнитного поля (свободное движение вдоль поля). В предположении целочисленности параметра Х гипергеометрическая функция (30.17) переходит в полинам Лагерра Я',(р) (см. (12.35)): Ф ( — э, 1+ 1 Р) = (, ! (1, ()з (Р), ()У(р) — ЕОР-С (Рз+УЕ-Р) — ~ ( !)У+з ( + У!! (30.19) ,*-У иэ ~ '( — у!!(з+У-У!!!! у-о Таким образом, волновые функции радиального движения должны быть пропорциональны функциям Лагерра (см. (13.24)): Уо,з(Р)= — е Р Яз (Р) (30.20) твория многих частиц Возвращаясь теперь к системе уравнений (30.11)' и учитывая действие операторов 1(а и Йз К,У„ь,(р) = — )/4пу 1„з(р), Ка(е,(р) = )/4пу У„„ь (р), (30.21) находим для радиальной функции 1(р) выражение С,(е — ь е (р) е-"П !Сз(е е (р) еаоП Са(е-~ е(р) е (30.22) УСз(е, е (Р) енеП в котором постоянные С„удовлетворяют системе алгебраических уравнений (еК а- йо) Сь а — 'аl4п у С4, а — йаСа.
а = О, (30.23) (еК =г йо) Са,, — ~/4лу С,, + (еаСь а = О. Из условия нормировки радиальной функции ~ ге(г) (=1 (30.24) о с учетом (30.25) находим, что (30.26) б) Спиновоаа состояния. Заметим, что волновая функция ф, полученная нами, является собственной для: оператора знергии Нф=еЕф, (30.27) оператора проекции импульса на направление магнитного поля р,ф,= ййаф, (30.28) а также оператора проекции полного момента на направление магнитного поля Л,ф= й (1 — —,') ф. Операторы р, и 4 коммутируют между собою и коммутнруют с оператором Гамильтона Н. В силу этого онн имеют общие с гамильтонианом волновые функции. Соответствующие оператое рам (30.28) и (30,29) механические величины являются инте.
движения электпонл в магнитном поли 503 гралами движения. Для полного определения квантового состояния ферми-частицы необходимо ввести оператор, характеризующий проекцию спина, т. е. ввести четвертое квантовое число, характеризующее спиновые свойства электрона. Оператор проекции спина — оператор поляризации — должен обладать необходимыми ковариантными свойствами, а также являться интегралом движения. Только в этом случае такой оператор будет иметь общие с гамильтонианом волновые функции. Вопрос о выборе оператора поляризации является особенно важным, если речь идет не о свободной частице, а об электроне, движущемся в электромагнитном поле. В нашей задаче описание спиновых свойств электрона можно произвести несколькими способами э): а) С помощью введения единггчного трехмерного вектора спина Р сзоз [ор) Р о =Рзз'+ грз Š— д(о+ сз) (30.30) (30.33) где р=п+рз —, е=р,— [ор) [ор) тзс ' з «ззс — пространственные и временные компоненты тензоров.
(30.33) ') См. книгу Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон.— Жз Наука, 1974. **) Заметим, что состояния продольной поляризации электрона, движу. птегося в магнитном поле, становятся неустойчивыми вследствие аномального (вакуумного) магнитного момента электрона, Эта величина не является ковариантной (у нее нет 4-й составляющей), однако проекция оо на поле вв является интегралом движения, в силу чего оо можно выбрать в качестве оператора поляризации. б) С помощью введения четырехмерного вектора поляризации Баргмана — Вигнера Зп — — ($, (Бз), Р [пр)  — рзо+ рз — з Бг вззс ' вззс ' Временная компонента этого 4-вектора является интегралом движения в магнитном поле и описывает состояния продольной поляризации, т.
е. проекцию спина на кинетический импульс (на направление скорости частицы)**). Интегралом движения является также проекция вектора 8 на направление магнитного поля (т. е, Бз-компонента). в) С помощью тензора поляризации ( М,з Мз, Мм) (рз рз Ми ММ МЗЗ гз зК З'аЗ ЗЕЗ ЫЗ гз ' твогия многих чкстиц !ч.
1п 004 В случае движения электрона в постоянном и однородном магнитном поле рз-компонента (проекция спина на направление магнитного поля) становится интегралом движения, и оператор описывает состояния поперечной поляризации (если движения вдоль поля нет). Следует заметить, что все перечисленные операторы: о„.', 8„ 80 рз в нерелятивистском приближении переходят в обычный оператор паулевского магнитного момента и тем самым допускают довольно простую и очевидную интерпретацию. В обзцем случае релятивистского движения электрона операторы спина такой простой интерпретации не имеют.
Это связано с тем обстоятельством, что в случае больших значений энергии электрона оказывается невозможным разделение спинового и орбитального движения частицы. Итак, для разделения решений уравнения Дирака (30.22) по спиновым состояниям воспользуемся оператором тензора поляризации (30.32), компонента рз которого коммутирует с гамильтониаиом, и подчиним волновую функцию зр дополнительному уравнению во= — ',"оо. к,—,,кк ~о',, о-*к розе) Здесь ~ = 1 соответствует орие тации спина электрона по направле1ппо магнитного поля, а ~ = — 1 — против направления магнитного поля. В соответствии с (30.34) находим систему уравнений для определения коэффициентов С„(см. (30.22)): (вК -Р ьКо) сз,з = йзсз,з' (6К ~ ьКО)С2,4= йзС4,2 (30.35) Сз я 1/а ззз (Аз — Аз) (30.36) где 4з=Ч/1+ейз/К, Аз=-во,в/! — ей/К, (30.3У) в; — когад оооо,, в,-о зо — Озок,. Таким образом, найдено полное точное решение уравнения Дирака для электрона, движущегося в постоянном и однородном магнитном поле, разделенное по состояниям поляризации которую необходимо решить совместно с системой (30.23), Решение этих алгебраических уравнений приводит нас к следующему выражению: движения электооно в магнитном поле электрона где матрица г определена формулами (30.22), (30.36), (30.37).
в) Спектр энергии. Физический смысл радиального кван~свого числа. Энергетический спектр электрона а нашей задаче релятивистского движения электрона нелинейно зависит от напряженности магнитного поля (см. (30.18)) и определяется главным, или энергетическим числом и = 1 + з; К =Е1сд =~lйо+ йз+ 4уп.
(30.39) В нерелятивистском приближении спектр становится экзиан- стантным (ЗОА2) Е тос'+ — ' + пйй, рз (:Ы. 40) 2мо где зз = еоЖ/тос — циклотронная частота. Заметим, что спектр энергии электрона имеет вырождение по радиальному квантовому числу з = О, 1, 2 ... Это вырождение физически связано с тем обстоятельством, что в однородном магнитном поле при заданном значении энергии частицы фиксируется только радиус ее орбиты вращения, но не центр орбиты. Радиус окружности можно определить, воспользовавшись известным соотношением классической теории рЕ = его.
(30.41) Предполагая далее, что движение происхсднт в плоскости орбиты вращения (из = 0), и сравнивая это выражение с формулой (30.39), получаем Е= ~ф. Таким образом, главное квантовое число и определяет радиус квазиклассической орбиты вращения. Если движение происходит по окружности, центр которой отстоит от начала координат на расстоянии а, то средний квадрат радиуса будет равен (см. также иерелятивистский случай 2 16) г'„п = — ~ Й0 (Лз+ а' — 2аЕ соз <р) = Лз+ а'. (30.43) о Определяя далее ту же величину по квантовой теории, находим (г )кв = ~~'., ~ г фозокфьзо,с'( к = (ЗО 44) ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч И1 боб откуда следует, что квантовое число з характеризует расстояние между началом координат и центром круговой траектории (30.45) т[т' Таким образом, движение заряда в магнитном поле с заданными значениями и и з можно рассматривать как наложение круговых орбит с одним и тем же значением радиуса (и = сонэ[), но обладающих различными цеятрами, отстоящими от начала координат на расстоянии а (з = О, 1, 2,...).
В последовательной квантовой теории для характеристики колебаний радиуса можно ввести квадратичную флуктуацию этой величины в соответствии с общим определением $" ~~',$(г — (г) )'4!'„вР е с['х=(г') — (г)' = —. (30.46) При этом мы учли, что (г)кв = ~~ ~ г"рвеекврвее 1[1 х — ~~/ (! + 4 ) (30.47) в предположении макроскопического характера движения (и Ъ 1) н достаточно малых колебаний центра орбиты (флуктуации радиуса) (л л з). е) Квантовая теория синхротронного излучения. Лоляриза[)ионные эффекты. Рассмотрим взаимодействие электрона„движущегося в магнитном поле с вторично квантованным полем фотонов.
Электроны подчинены уравнению Дирака с гамильтоиианом (30.3) [й —, = Нен[, Нв = с (ар) + Р,п[,с'. (ЗОА8) Электромагнитное поле фотонов можно представить в виде набора плоских волн, и тогда энергия взаимодействия электрона, дополнительная к (ЗОА8), примет вид Н = Но+ ц, и = ц++ и-, где ев ч в / влет! — !ев! Р [ве и = —, т т! — (аа)е в (30.49) Здесь амплитуды вектор-потенциала являются операторами рождения а+ и уничтожения а фотонов (см.$9). Рассмотрим далее два квантовых состояния а и Ь (Ее ~ Ев) и найдем в соот- ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ о эя ветствии с общими методами нестационарной теории возмуще.
ний Дирака (см. 3 8) вероятность квантового перехода Ь-~а в единицу времени п«ьо. Тогда мы получим оо ««3»» о п«ьо — зпв $ «» б («» — ньо) Ф, (30.50) где и« вЂ” (и" »ь) (о»ой) (кой) (30.51) В этом выражении хо = х//х/ — единичный вектор в направлении распространения фотона, сг»»»ьо = Еь — Е, характеризует изменение энергии электрона (рассматриваются спонтанные переходы), и матричный элемент матриц Дирака а в (30.51) имеет, вид а = ««Р+ ае м'ф»1«х. ь ° (30.52) Поскольку энергия излучаемого фотона пропорциональна частоте (е = сйк), для интенсивности излучения с помощью (30.50) после суммирования по конечнь«м состояниям электрона получаем формулу ьь~ [[7 = ~ сйньошь„—— —" ~ ~«[ь»»б (н — кь,) Ф. (30.53) ь ь а Рь и Рь — произвольные единичные векторы, перпендикуляр. ные друг к другу и к направлени«о вектора импульса фотона м: Рь = (иоРь) (ноРь) = (РзРз) = 0 (й = 2 3) (30 56) В силу этих соотношений единичные векторы Рз и Рь можно положить равными [ио)о[ «»о [»»о[о)»о о,=, .
«оо.о«« где [о — выделенное направление в пространстве ([ь — единич. ный вектор), Покажем далее, каким образом могут быть учтены поляризационные свойства излучения. Для линейно поляризованных фотонов амплитуду вектор-по. тенциала а следует представить в виде суммы двух взаимно перпендикулярных составляющих и = Рз«[ь + Рь«[ью (30.54) где отличная от нуля квадратичная комбинация вторично квантованных амплитуд равна «[,«[+=бом (з,з'=2, 3), (30.55) тнория многих частиц гч. гц 508 В нашей задаче об излучении движущегося в магнитном поле заряда в качестве такого выделенного направления естественно принять направление внешнего магнитного поля *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
