Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика.djvu), страница 86

Если мы теперь хотим учесть в интенсивности излучения (30.53) поляризацию фотонов, то вместо (30.53) необходимо записать е 11"ю — —, У. ! «хб(х — хаа) гРг. ь (30.58) где Фг зависит от типа поляризации. В частности, для линрйной поляризации Фа —— (аЩ (а()а). (30.59) Здесь )ь = 2 соответствует Уя, т. е. так называемой и-компоненте излучения, характерной тем, что электрический вектор поля излучения лежит в плоскости орбиты вращения и направлен к ен центру; )ь = 3 соответствует и-компонеите излучения, в которой электрический вектор излучения направлен по внешнему полю (рис. 30.!). Для круговой поляризации (1 =:Ь1 — правая и левая соответственно) имеем Фг = (а ()г) (арг) = — (~х'а |ьх а1 — — 1 (х ( а а Д)~.

(30.60) Очевидно, чго величина Ф, представляющая собой суммарную (по состояниям поляризации) интенсивность излучения (см. (30.53)), будет равна Э=Фа+ гРз=гРг+© г (30.61) Полученные нами формулы для вероятности квантовых переходов и интенсивности излучения имеют общий характер. Рассмо. трим теперь задачу о синхрогронном излучении, т. е. когда начальное состояние Е,К„, '! н конечное Е !'ф г ° т'! определены а( езазС) 'ч "з азС/ волновыми функциями в виде точного решения уравнения Дирака для электрона, движущегося в постоянном и однородном магнитном поле (см. формулы (30.22), (30.36) — (30.38)).

ргчг+ р-гч-г причем отличная от нуля квадратичная комбинация равна дгдг, Ьггп Единич- + нне векторы р~ связаны с ра и ()з соотношениями Вг (Р~+ гфз). ! з/2 причем ! = ! соответствует правой, а ! = †! †лев поляризации. ') Для исследования круговой.

поляризации фотонную амплитуду а удобно разбить нз компоненты 509 движении электгони в магнитном полк Матричный элемент матриц Дирака а (см. (30.62)) о = ~ф'..., е-«"' аф о«хл (30.62) и е 222 инизС можно проще всего рассчитать введением для волнового вектора х сферических координат: х« — — х з(п 8 соз «р', хх = — х з!п 8 з!пф', хн = х соз О. (30.63) В силу аксиальной симметрии внешнего магнитного поля интен- сивность излучения не должна зависеть от угла ф'. Поэтому, не нарушая общности рассуждений, можно положить этот угол равным любому значению, например, ф' = х/2.

Тогда находим хи=0, хо=- з(п О, хо = сов О (30.64) и для Ф«(см. (30.59)) получаем Ф2 о««««' Фз=(оисозΠ— ан з!и 8)', 1 Ф« = ~ (Фг + Фз — 11Ф«), (30. 65) (30.66) (30.67) где Ф« = (н«ои — а,',а«) соз Π— (о",а, — ана«) з(п 8. (30.66) Эти формулы лежат в основе теории синхротронного излучения. вне. 20Л. Сиихиохроиное ихнгиенне. 1(айдем теперь общие выражения для вероятное~и перехода и интенсивности излучения с учетом поляризации фотонов. Матричный элемент матриц Дирака (30.62) можно записать достаточно просто, полагая, что в начзльном состоянии электрон не имел движения вдоль поля (ян = О): Ы2 2И 1 «2= — ~ ехр(- 1а(я', + х сов ОЦ «Ь —,, ~ «(ф ')г«(г К -Ь/2 о о Хехр(-1хг з!и О з!п «р+1(1 — 1')ф))'+а7, (30.69) теОРия мнОГих ЧАстиц !Ч !П в!о где 0 — угол вектора и с осью г, а 4р — полярный угол цилиндри- ческой системы координат электрона.

Воспользуемся известны- ми соотношениями ыз — 4(г ехр1 — уг (й'+ и соз О)) = Ьз' „„, о, (30.70) -ьл — „~ 4(!рехр1- (иг з!п 0 з(п !у+1(1 — 1') 4р) =1, „(нг з!п О), (30.71) о в которых 6 — символ Кронекера — Вейерштрасса, а 1! г— функция Бесселя, а также учтем значение интеграла от функций Лагерра 1„(р) (30.20) ОЭ $ 1, „(21/хр)1„, (р) 1„,,(р) 4(р =1, (х) 1„, (х), (30.72) о в котором и'=1'+з', о=1+а. х=545 —.

4т Тогда, суммируя по йм получаем, что -' 1 = —,' ЖА4+ А~Аз) (ВзВ41„,„, !(х) ~ аз 1 ~ В',В,1„, „, (х)) 1„, (,), где спиновые коэффициенты начального (А, В) и конечного (А', В') состояний определены формулами (30.73). 141ы всюду ограничиваемся случаем положительных значений энергии, полагая в волновой функции е = е' = 1.

Аргумент функций Лагерра х в (30.73) зависит от частоты фотона ы сн; н 5!и в х= 4т (30.74) Учитывая, что движение электрона происходит -в начальный момент (до излучения) в плоскости орбиты вращения, т. е. Фз = О, для спиневых коэффициентов (30.371 получим точные выраже- аз = 4 (АзАз А,'А4) (ВзВ51 -ь,з -! (х) + + В4В 1 (х)) 1 5 (х), (30.73) движения электвонл в мягнитном пола ния простого вида: (30.75) где е,=1 — 6Я, 6=о/с. Полную интенсивность излучения мы можем получить сумми. рованием по т = и — и' (номеру гармоники), з', 1' Х )Р1 2 %', = — „~Ч~ ~ с('хб (х — х„„,) Ф„ хесн (Ч0.76) где сх„„, - "— „(ń— Е„,), Ф, определено формулами (30.65)— 1 (30.68). Записанные здесь выражения являются точными и позволяют рассмотреть полностью все вопросы квантовой теории синхротронного излучения без всяких ограничений на энерги1о электрона.

Иш 7„„, ~ "~ ) = У, (х), (30.77) ') См., например, Соколов А, А., Тернов И, М. Релятннистекна влек. трон. - М,: Наука, 1974, д) Классическая формула Шотта с учетом поляризации синхротронного излучения. Рассмотрим классическую теорию синхротронного излучения, отвлекаясь от квантовых эффектов. Предполагая, что движение электрона происходит по макроскопической траектории и частица имеет большую энергию (Е )) пенсе), мы встречаемся здесь с квазиклассическим случаем квантовой механики, характерным большими значениями квантовых чисел.

Поэтому прежде всего запишем приближение для функций Лагерра 7„,,(х), входящих в выражения для матричных элементов матриц Дирака а. Как известно е), функции Лагерра в предельном случае боль. ших квантовых чисел могут быть выражены через функции Бес- селя твооия мнОГих чкстиц 512 удовлетворяющие рекуррентным соотношениям уо 1(х)+ 'о+1(х) = —,. 7,(х)е Х,, ( ) — 7,+, ( ) = 27'„(~).

(30.78) В классической теории переворот спина не вносит вклада в мощность излучения. Этот вклад пропорционален й' (см. ниже), и поэтому можно во всех расчетах положлть Ь' = Ь. Тогда для матричных элементов матриц Дирака а получаем — 1а1 ! 2 Н(1 н'- ~1-1 ')1 ' ав .! аз = О. (30.79) Все функции здесь зависят от аргумента к (30.74). Подставляя эти выражения в формулу для интенсивности излучения (30.76), производя суммирование по спину (т, е.

полагая ь' = ь) и радиальному квантовому числу з'1 (30.80) и переходя к классическому пределу (30.77)', получаем обобще- ние формульс Шотта, учитывающее не только спектрально-угло- пое, но также и поляризационные свойства синхротронного из- лучения *) ') Соколов А, А., Тернов И.

М, — КЭТФ, 31, 1956, с. 4?3. е еез (Р'"„;„= — ' ~~ т'~ 3!и ОА8(107',(трзАп8)+1 с(п87„(тД 3!Ий))', н-1 Е (30,8 !) где 1вв = с8/Я = еоИс1Š— частота обращения электрона по орбите, с которой связана частота излучения ео =тевв гармоники о=1,2,3,... Если в . той формуле положить 1о= ! и 1 = О, то мы получим интенсивность о-компоненты линейной поляризации излучения, характерной тем, что вектор электрического поля излучения лежит в плоскости орбиты вращения электрона и направлен почти к центру.

Интенсивность и-компоненты линейной поляризации синхротронного излучеуия может быть получена, если в (30.8!) положить 1, =О, 1„— 1. Вектор электрического поля изАучения, соответствующий этой компоненте, направлен практически вдоль внешнего магнитного поля (ось г), движе!и!е эле1<тропА В мдпштном поле 5!з 2 с ее ч-т 1)У, „= ~~~ ~, р тю ~ з!п От!О (!о(!ЕК ~,( ~ в ь) + т ! 0 + 1„с!и О )ЙКь Я в*!)~'.

(30.83) Интегрируя это выражение по углу О, получим 1(та, н~ ~ )1'а.и(у) !аут о (80.84) ! Иваненко Л. Лт Содолоо А, А. ДАН СССР, 69, И48, с. !55!. Угловое распределение компонент линейной поляризации излучения оказывается существенно различным (рис. 30.2). Домн" пирующая о-компонента имеет резко выраженный максимум в плоскости орбиты вращенкя, напротив, п-компонента в этой плоскости обра!цается в нуль, два максимума излучения и-компоненты смещены на равные интервалы вниз и вверх ог плоскости г = 0 (положение равновесной орбиты электрона).

тхнализ спектральных и угловых свойств синхротронного излучения удобно провести путем аппроксимации функций Бесселя в (30.81), ибо этн выражения малоудобны для рассмотрения: иу! большая величина ч » 1 входиг одновременно и в индекс, и в аргумент функции 7„(ъ0 з!п О). Методом Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (см. $5) было с.-гюлям показано е), что при т » 1 (х.-ы т — О) а а 1 эу еа ут Л, (Чр З(П О) = — К А ~ — а'1т), чГз '~з (30.8Я) рис.

20.2. Теоретические и экснериыен- тальяые данные. характернэуюоане лиЗдесь К вЂ” б неэную ноляриаацию синкротронното десь ʄ— бесселева функция нелучсная. мнимого аргумента (функция хт Макдональда), е=1 — —,, х=тбз!ПО; производная Хт взята по всему аргументу. Тогда формула (30,81) может быть записана в более удобной для анализа форме: 1ч. 11! твогия многих частиц б14 где спектральное распределение о- и и-компонент поляризации имеет вид к.,.~,>-ки" —,' л()к;,(ол лкч(л)~. ккял) „„а 1/з и В равенстве (30.83) от суммы по т мы перешли к интегралу (эффективная область гармоник т,й 1)~ -+ ~ Нч, причем здесь к к о положено 2 ° 2 э у =-чз"= — — в'ь е =1 — йл Зо 3 ма о'о ° а под 1к'"л имеется в виду полная интенсивность излучения в классическом приближении (30.86) Складывая выражения (30.85), для спектрального распреде.