Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике.djvu), страница 9

о о Первое слагаемое в правой части равно У, нбо оно представляет собой выражение для числа частиц л(' системы при нулевой температуре. Поэтому (Р-Мо) р(РО) Бт'Ят)гр,(Р,) = О. С учетом (3.16) равенство (3.15) переписывается в виде М Е = пс ср(с) + ~ ЯТ) Яз ). (3.17) о Теперь для теплоемкостн С получаем С = к А2Р(Ро)т. (3.18) Видно, что значение теплоемкостн определяется плотностью состояний на уровне Ферми. 3.

Используя известное соотношение квантовой статистической механики й = -(2/3)Е, можно провести вычисление тепло- емкости С ферми-газа при постоянном объеме таким образом. Найдем энтропию системы 5, для которой справедливо равенство ба 2аЕ ~ =-Зт = аозт 57 С помощью приближения (3.17) для энергии Е, найденного в предыдущей задаче, получим для 5 выражение 2 ~Рйхр(р )Т Теперь для теплоемкости С находим СУ = Т ВТ = У$ я р(мо)Т- дЗ 2п 2 Как согласовать этот результат с формулой (3.18) предыдущей задачи? Р е ш е н и е.

Формула для энтропии 5 = -дЯ/дТ предполагает выполнение дифференцирования при фиксированном химическом потенциале системы р: Поэтому, используя результаты предыдущей задачи, следует дифференцировать не выражение (3.17), а выражение (3.14), содержащее химический потенциал р при конечной температуре Т, а не при Т = О. Тогда получим я = — («у) = «(р]ч = ~«й !Рмю'(р]]т.

(3.(9] Р н Для нерелятнвистского газа плотность состояний р(с) пропорциональна с р(с) = Ас Поэтому справедливо равенство р())-рр (р) = ~р® Подставляя это соотношение в (3.19) и учитывая, что р можно положить равным энергии Ферми р~, приходим с помощью выражения для теплоемкости С = Тд5/дТ к правильному результату: С„= й2р(ц )Т.

4. В зонной теории собственных полупроводников и полуметаллов термодинамический потенциал Й электронной системы дается выражением ((] й ИТЯ )'Жр(с)!п(1+ехр(~~5) (3. 20) Е -о] где суммирование производится по электронным зонам. Рассматривая приближение двух зон — валентной зоны о и зоны проводимости с, выяснить, как запишется термодинамический потенциал й после перехода к «дырочному» представлению, когда вместо электронов в валентной зоне рассматриваются положительно заряженные дырки. Р е ш е н и е.

Рассмотрим для определенности случай собственного полуметалла, зонная схема которого показана на рис. 1. Энергию отсчитываем от дна зоны проводимости; перекрытие зои равно Ь. В случае полупроводника Ь ~ Π†э ширина запрещенной зоны. Будем считать валеитную зону ограниченной снизу значением энергии е = -б, хотя в приближении только двух зон в конечных результатах следует положить б -~ со. Рнс. 1. Зонная схема полуметалла Вводим число состояний У,(е) в 1-й зоне с энергией, ие превосходящей е, так что р(е) = пУ.(е)/пе (1' = о, с). (3.21) Тогда, интегрируя (3.20) по частям, получаем "с(е У (е) и'е У (е) ь )) — -1 ' — ) " астм )и) )и [1 ехр1)У) ~ „)3.22) о 1+ е х р~~т0 о1+е х р~й 0 Вводим величину (3.23) где Ф вЂ” число электронов в целиком заполненной валентиой зоне, равное полному числу электронов в собственном полуметалле в модели двух зон: Ж (Ь) = Ж.

Последнее слагаемое в 13.22) иа нижнем пределе интегрирования обращается в нуль; поэтому с учетом (3.23) выражение (3.22) записывается следу- 59 ющим образом: с( ) Л( (3.24) Переходим к дырочному представлению. Делаем замену с' = Ь-Е, вводим (гЛ = Ь-р и определяем число дырочных состояний с энергией, меньшей е: Л'Л(е) = лрЛ(Ь вЂ” е). Тогда второе слагаемое в (3.24) принимает вид 1+е х )'гл Ь,(, ~.(,) Ь+д,1, й,Л(,) (3.25) д 1+ехР д О 1+с хр Л Учитывая равенство — с -1 -иЛ -1 1+ехр+- = 1 — 1+ехр-~7- используя (3.25) и вычисляя интеграл в третьем слагаемом в (3.24), перепишем (3.24) следующим образом: И~ лр',(~) И~ У„( ) — ° 1,е р„(с~ — рррр а(1 рЯ.

о 1+ехр д о 1+ехр "- о (3.26) Третье слагаемое в этом выражении является постоянной величиной и может быть отброшено. Учитывая необходимость предельного перехода д -р ер в модели двух зон, можно переписать последнее слагаемое в (3.26) в виде ~рррр п (~ + ррах] ррр р1. Слагаемое лрд, являющееся постоянной величиной, можно отбросить. Теперь видно, что выражение (3.26) для термодинамического потенциала 0 электронной системы кристалла приобетает ст кт 0= 0 +0„— НУ, (3.27) где 0 и 0„, определяемые первым и вторым слагаемыми в е (3.26), имеют смысл потенциалов электронов проводимости и дырок соответственно.

Соотношение (3.27) удовлетворяет условию сохранения полного числа электронов в системе. Действительно, определяя число электронов лр' в системе по обычной формуле Ф = -д0/др и учитывая, что д/др = -д/др„, получаем из (3.27) выражение (3.28) е Ь 60 получим й = -ЙТА(СсР. ! '(1 ° е рЧ]. а " ~ с — Ьы (а+1/2) Суммирование проводится по таким значениям п = О, 1, 2, ..., при которых подынтегральное выражение вещественно. Меняя порядок интегрирования и суммирования и выполняя интегриро. ванне по частям, приведем это выражение к виду Ф О! й= -2А1; ] ((е ЬСд (п+1/2) (с 1/2! (1 е р(рй] . (2.22! 61 где Ф и У вЂ” числа электронов в зоне проводимости и дырок в е Ь валентной зоне. Например, дифференцируя по р первое слагаемое в (3.26), имеем ЮО -1 в е-(сс 2(,(с! р- (1 + ехрЯИ] = /серх (с(р- (1 ехр1~Я] ° !.

о о Интегрируя теперь по частям и учитывая (3.21), получаем Ф -1 ! = (Сер(с!(1+ехрррР] = 21 о В собственном полуметалле Ж = Ф„в соответствии с форму- е лой (3.28). Вычисление других термодинамических характеристик производится дифференцированием термодинамического потенциала Й при фиксированном значении химического потенциала )(, так что последнее слагаемое в (3.27) не будет давать вклада. Итак, если при расчетах явно учитывать условие Ж = У„, то последнее слагаемое в (3.27) можно отбросить и е записать термодинамический потенциал в виде е и 0 = 0+ЙЬ, причем ~ — ' = ~ —.

е и' Ь 5. Найти термодинамический потенциал й для нерелятивистского электронного газа в квантующем магнитном поле при произвольной температуре. Получить выражения для энтропии системы 5. магнитного момента М и среднего числа частиц У. Р е ш е н и е. Используя общее выражение (3.7) для термодинамического потенциала ферми-системы и формулу (2.39) для плотности состояний р(е) в квантующем магнитном поле 3/2 Р(С! — !72 2 ХЕ с 1 = АЯ 1 2 н~Ь л П Здесь суммирование по а, как легко убедиться, осуществляется в указанных пределах.

Совершая замену переменных с — йи х с х (22+1/2) = лТх, переписываем (3.29) следующим образом: 3/ 2 22 1/2 р — Ьо (и+1/2) П = -2А)АУ) А )Ах (! ° е р)х — — -22 — ]1 п=О = О Используя определение (3.9) интеграла Ферми — Днрака и подставляя значение А, получим с( ) Гр 1 х х е х ~ !Ах) 27 ) 2 и Ь п О С помощью термодинамического равенства а = -521Т вЂ” л)'21Н вЂ” Мр)(В находим р — ль) ( 22+1/2) — 2! — А)хр) -!2- АР,, ( — ~у — ))А-Аи)ю)/2)), п=о г Н вЂ” РАь) (и+1/2)2 — — — — А — )ХАТ) А Р <х ~~~)~+)/2), с п=о 1/2 о) Н-Ьь) (л+1/2) А(плТ) ~; Е, (3.31) Теперь, используя полученные формулы, можно убедиться в справедливости равенства (5/2)й + Т5 + НУ + МВ = О (3. 32) Это соотношение является аналогом хорошо известного равенства квантовой статистической механики й = -(2/3)Е, Е= Š— МВ.

Используя термодинамическое определение потенциала Й: а = Š— То — р/)') (3.33) (3.34) и равенство (3.33), с помощью формулы (3.32) получаем й = -(2/3)Е. справедливого в отсутствие внешних полей. Действительно, запишем энергию системы Е как сумму энергии магнитного момента в поле, равной -МВ, и оставшейся части Е, которая, очевидно, представляет собой энергию хаотического движения частиц прн наличии магнитного поля: Подчеркнем, что при наличии внешнего магнитного поля средняя энергия хаотического движения зависит от магнитного поля. Отметим, что соотношение (3.32) остается справедливым и при учете спинового расщепления энергетических уровней в магнитном поле.

6. Показать, что средняя энергия Й хаотического движения частиц в квантующем магнитном поле делится поровну между тремя поступательными степенями свободы. Р е ш е н и е. Вычислим средние значения энергии поперечного и продольного движения в магнитном поле: Е = <М> (и+1/2)>, Ей — — <р /(2т)>. Выражение для Е~ можно записать непосредственно с помощью соотношения (3.4): р~~/(2т)+бы (и+1/2)-Н Е = Я йю (и+1/2) 1+ехр о;и,р,р е (3.34) р~ г р2 ~(2ги)+вы (и+1 Ей = Я 2-'- 1+ ехр 0',и, р,р 9 Преобразуем зто соотношение аналогично (3.35). Получим 2 Р/(2т)+Ы (и+1/2) — Н Е~ — — ' Я ~0р р 1+ ехр 2н262 =о "= О ыс з/2 Н-иы ( и+1/2) ~372 э71~ 2~ ~ ~ 1/2 ( ЙТ ) б3 Действуя так же, как и в задаче 2.9, посвященной вычислению плотности состояний в квантующем магнитном поле, приведем это выражение к виду Ут~ы в р /(2ги)+М (и+1/2) — Н Е = ' ~;,(и+1/2)~г(р 1+ехр и Л и=о О Совершая замену переменной р = 2тАТх н учитывая определение интегралов Ферми — Дирака (3.9), получим Е = — -7 — ~ — (ИТ) ЯР ( — ~~ — — ) (а 1,~2).

и=о Выражение для энергии продольного движения Е1 можно записать в виде Используя полученные выражения для Е и Ей и выражение (3.31) для магнитного момента М в квантующем магнитном поле, убеждаемся в справедливости равенства МВ= 2Ей — Е. (3.36) Но это равенство как раз и означает, что средняя энергия хаотического движения Й поделена поровну между всеми тремя поступательными степенями свободы. Действительно, энергию системы Е можно представить в двух видах: Е = Е + Ей = Š— МВ. Но равенство (3.36) можно получить отсюда только при выполнении условия Е = 3Е)].

7. Показать, что термодинамический потенциал 0 электронного газа в квантующем магнитном поле, даваемый формулой (3.30), переходит в обычное выражение в отсутствие магнитного поля при и + О. с Р е ш е н и е. Записав выражение для термодинамического потенциала Й в квантующем магнитном поле в виде Чтя~и Ят)м~ Н-Ы,(п+1/2) ~ ) перейдем от суммирования по и к интегрированию по непрерывной переменной х. Прнбавляемая к и величина 1/2 меньше самого и, и поэтому она выбрасывается при переходе от суммирования к интегрированию. Учитывая свойство интегралов Ферми-Дирака (3.10), получаем к .,("— 4т' — ''-]-1* „(-"-Ф]=-г .,Г-Ф]~ о (3.38) На верхнем пределе это выражение в силу определения (3.9) обращается в нуль.