Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике (Кондратьев А.С., Романов В.П. Задачи по статистической физике.djvu), страница 12

Подставляя (4.25) и (4.27), имеем <Итар> = -йт. (4. 29) Далее, (4.32) <ьььр> = я <~ьрР> ° я <ьрьт> = -ьтя] [я = ьт[ьтр] . (4.30) Для вычисления флуктуаций <(Ь5) >, <(Ьр) > и <ЬрЛ5> можно выразить их через Ю н ЬТ. Например, С„, 2 <~ьь1>> = < [[ь~1] ьр, 'ьт] >. Раскрывая квадрат суммы и учитывая формулы (4.25)-(4.27), найдем <~ьь~р> [ьтр]р [ьр] ьт, р ьт' Учитывая соотношение с -с„= -тЯ] [Щ, (4.31) окончательно получаем <(Ь5) > = ртС .

Р' Аналогично дьр)>> = <[Я ьр. [ф] ьт] — -ьт[ь1] [ьь] 'т . (4.33) С помощью (4.31) имеем И,' = — '-Р], Подставим это выражение в (4.33) и приведем подобные члены: <щ>'> = ьтгьЯ] = ьтЯ (4.34) р т 5 В отличие от предыдущих задач выражение для и( в данном случае не распадается на произведение множителей, зависящих только от Ы и ЬЯ, поскольку показатель экспоненты содержит слагаемое, пропорциональное М Ьр. Это означает, что флуктуации <Ь5 ЬТ> не равны нулю.

В соответствии с формулой (4.5) в данном случае необходимо обратить матрицу ттЩ, -тт[»Я, -гК, Ы„ Обычное вычисление дает для обратной матрицы (а . ) 0 ' ЬИ,-'[и], Используя (4.39), в соответствии с (4.5) имеем «"(' =-[е„-Р], КГ5 <(Ь5(~) = Йт[ф] [~ — [ф] + [Я] ], (4.40( "'"' = — [',И,. И,'Г "И„ Видно, что <неудачный» выбор независимых переменных приводит к довольно громоздким выражениям, которые, естественно, приводятся к (4.27), (4.32) н (4.30) тождественными термодинамическнмн преобразованиями. Прежде всего обратим внимание на то, что знаменатель в этих формулах может быть записан в виде якобнана Щ,.

[В], = 6ЕЙ в чем легко убедиться, раскрывая это равенство справа налево и учитывая, что (дТ/дР) = -(др/дБ) р . Теперь, например, для с(Ы) >, получаем выражение, совпадающее с (4.27): '"'' = М.т]тЬ((]] "= -втюдттт = "Ы„ Совершенно аналогично преобразуются и остальные два выражения (4.40). 4. Одной из основных причин молекулярного рассеяния света являются флуктуации плотности. В спектре рассеянного света 80 наблюдается триплет, центральная компонента которого обусловлена флуктуациями энтропии, а боковые (дублет Мандельштама — Бриллюэна), связанные с доплеровским смещением в звуковой волне — флуктуациями давления.

Флуктуации энтропии прн постоянном давлении не распространяются в нормальной (не сверхтекучей) среде и затухают лишь благодаря тепло проводностн. Найти отношение интенсивности центральной компоненты к интенсивности компонент дублета. Р е ш е н и е. Интенсивность рассеянного света в рассматриваемом случае пропорциональна среднему квадрату флуктуаций плотности: 1 <(йр) > Для выполнения расчетов удобно выразить ее через флуктуацию объема. Поскольку ЬР = — — ЛУ, то Т ° (Щ >. ~2 Выразим флуктуацию объема через флуктуации и давления: И = д Л5+ д~~ Ьр.

Возводя все члены равенства в квадрат и учитывая, что <Ь5Ьр> = О, получаем для среднего значения квадрата флуктуации объема выражение <~ь«>>> = Я] <~ьф> ° (~У] <~ьр>'>. р В соответствии со сказанным в условии задачи имеем для отношения интенсивностей центральной компоненты ! к интенсивно- К сти компонент дублета ! выражение а д (дР/др)~з <(Ьр) > Для <(65) > и <(Ьр) > в задаче 1 получены выражения <(65) > = яС, <(Ьр) > = -ИТ(др/д7) Производную (дР/д5) удобно преобразовать следующим образом: р дР дР дГ дТ д(~ Т Р Р Р Аналогично для (дР/др) имеем Подставляя приведенные выражения в соотношения (4.41), полу- (ВУ/дТ) (4.42) Входящее в (4.42) отношение производных, как следует из задачи 1.3, выражается через разность теплоемкостей С вЂ” С„: Р (дУ/дТ) С вЂ” С =-Т Поэтому для отношения интенсивностей 1 /Т окончательно поц.

л лучаем 1 С вЂ” С г 'г„ Это соотношение называется формулой Ландау — Плачека. 5. Вычислить средний квадрат флуктуации энергии в рамках гауссовой теории флуктуаций и сравнить полученный результат с формулой (4.8). Р е ш е н и е. Выберем в качестве независимых переменных У и Т. Тогда для 5Е имеем ЬЕ = РУ йУ+ 8Т ЛТ. Возводя это выражение в квадрат и учитывая, что флуктуации объема и температуры независимы (<ЛУЬТ> = 0), получаем <(ЬЕ)~> = [~] <(ЛУ) г Ц <(ЬТ) >. (4.43) Учитывая, что <(ЬУ) > = — ИТ(дУ/др)г, <(ЬТ) > = ИТ /С, и используя соотношения Я =с„. ЯЯ -тЯ] -р.

получаем для <(аЕ) > с(~~)'> = — ~~[гг] [~я] — р] ° ~~ ~ . ~4.44~ Перепишем формулу (4.8) тождественно следующим образом: <(ЬЕ) > = ИТ 8Т<Е> = АТ С (4.45) поскольку производная по р в (4.8) вычисляется при фиксированном объеме в соответствии с определением канонического ансамбля. Видно, что формула (4.44) содержит лишнее слагаемое по сравнению с формулой (4.45). Дело в том, что соотношение (4. 43) определяет флуктуацию энергии системы в результате как флуктуации температуры, так и объема.

В формуле (4.45) флуктуации объема не фигурируют вследствии того, что в каноническом ансамбле объем системы фиксирован. Чтобы в рамках такого подхода прийти к формуле (4.44), следует использовать нзотермо-изобарический ансамбль. Полученный в задаче результат имеет обший характер. Флуктуации, вычисляемые в рамках определенного ансамбля статистической физики, соответствуют условиям, в которых находится рассматриваемая система в данном ансамбле. В этом смысле формула (4.6) соответствует изотермо-нзобарическому ансамблю, так как в ней не учитываются только флуктуации числа частиц в системе.

6. Получить соотношение (4.44) для флуктуации энергии, используя изотермо-изобарический ансамбль. Р е ш е н и е. В рамках изотермо-изобарического ансамбля выражение для <Е> дается формулои <Е> 1 т, Е -ЯЕ,+рч) (4. 46) 1,Р где статистическая сумма У есть ~;Р(е,+~ ) Дифференцирование выражения (4.46) для <Е> по ]3 и р приводит к соотношениям д<Е> -~~ — — — — <Е > — р<ЕМ>+ <Е> + р<Е>Я> = -<(АЕ) > — р<ЬЕЮ, 2 2 д< Е> (4.47) о ]3<Е(>> + Р<Е> <г> ор Умножая второе из уравнений (4.47) на р/]3 и вычитая полученное произведение нз первого уравнения.

получаем <(ЬЕ) > = — — ~-~) — + ~1~-р —. Вводя обозначение <Е> н Е и переходя к Т = 1/(9А), получаем <~ье) > = Фт (гг] ° мтР( — ] . (4.48> Используя фундаментальное равенство Гиббса для системы с постоянным числом частиц НЕ = Тг15 — рсй~, перепишем (4.48) в виде с(ЬЕ\ > = -МТ р(~~] ° О~(~у] — ЫГр Я + »Т р~~ — ] . (4.49) 83 Разумеется, при вычислении <(ЬЕ) > в различных ансамблях з будут получаться разные результаты, 8.

Показать с помощью уравнения Ланжевена (4.11), что х = Вт есть время, в течение которого средняя скорость частиц <о(г)> уменьшается в е раз по сравнению с начальной скоростью и . Найти <г)~Щ> и показать справедливость формулы (4.15) при выполнении условий (4.12) и (4.13). Р е ш е н и е.

Интегрируя уравнение (4.И) при начальном условии о(0) = и, имеем -~/х, -г/х, 1~ /х, Е „ (4.50) о Производим усреднение по ансамблю реализаций случайных сил Е(г). Учитывая свойство (4.12), находим <г)(1)> = г) е 1+ е 1 — ) е" 1<Е(и)> г(и = о е 1 . о тз о о (4.51) Из выражения (4.51) следует приведенное в условии задачи утверждение о величине х = Вт.

Теперь рассмотрим <о (г)>. Возведем (4.50) в квадрат; тогда, снова учитывая свойство (4.12), получаем <,г(Г)> = иге г~/х1 + е г'/х1 1 (г1иг1 ("+")/х1 <Е(и)Е(о)>. "о е г( иое т о (4.52) Фигурирующий в (4.52) двойной интеграл легко вычисляется при использовании своиства (4.13) корреляционной функции: Сх, С) )и)> е) ) >В)и — ») = — ~-(е ! — 1] . о Теперь для <г) (г)> имеем Сх <„!)!)> „2-2»т!„>1! -2>т>] (4. 53) 2тг~ При достаточно большом времени (г -~ м) влияние начальных условий сглаживается.

При этом <о (г)> принимает равновесное значение, равное аТ/т. Поэтому с помощью (4.53) находим <г) (Г)> — ~ <и > = Сх/2т = йТ/т. г г —. г ~-ио Отсюда получаем С = 2йТт/х = 2йТ/В, 85 Подставляя найденное значение С в соотношение (4.53), имеем <дИ~~~>,Рг Зlт1 МТ[1 г аlт1) ~4.~4~ о т Из этого выражения следует, что равновесное значение среднего квадрата скорости броуновской частицы установится лишь по прошествии времени, значительно превышающего т: 1 ъ т 9. Пользуясь уравнением Лаижевена (4.11), определить характер зависимости координаты броуновской частицы от вре- х — )г ~дщ е(~'') 1<Е(~)г"(~)>. о о Учитывая (4.13) и (4.15), переписываем (4.56)в виде < (и) (з)> изе — (и+к)/т1 + йТ вЂ” [и-ю[/т1 (и+к)/т "о' т (4.56) (4.

5? ) При получении (4.57) мы перешли к новым переменным «-г. = а, (1/2)(~+О = Р, (4,58) так что Щ~ = НаИР. Подставляем (4.57) в (4.51) и делаем замену переменных типа (4.58) при вычислении интеграла, содержащего ехр(-[и — з[/х ). Для этого интеграла получаем Р йТ('<1и<(ее [и ~[/т1 йТ('~р ~'чае [ [~т1— т 3 т 3 о о 2АТ 2яТ 2[ -~/т т 1 т мени. Р е ш е и и е. Воспользуемся соотношением (4.50) для скорости броуновской частицы, получаемом при итегрироваиии уравнения (4.11). Интегрируя выражение (4.50) для и(г) по времени при условии х(0) = О, получаем х(1) = )го(и) Ни. о Возведя это равенство в квадрат и усреднив по ансамблю реализаций случайных сил г(г), найдем <хэ(г)> = ~с(исЬ <и(и)> <(з)>.